2018年中考數(shù)學(xué)專題突破導(dǎo)學(xué)練第14講二次函數(shù)的應(yīng)用試題

1、第14講 二次函數(shù)的應(yīng)用【知識梳理】（一）基本知識點1.實際問題中二次函數(shù)關(guān)系式的確定列二次函數(shù)解析式解決實際問題與列整式方程的思路和方法類似，不同之處是，表示量與量的關(guān)系的式子是含有兩個變量的等式，而求出二次函數(shù)的最大值和最小值是解決實際問題的關(guān)鍵。運用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：（1）審清題意，找出其中的等量關(guān)系；（2）設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，分清自變量和函數(shù)；（3）列出二次函數(shù)解析式；（4）結(jié)合已知條件或點的坐標(biāo)，求出解析式；（5）根據(jù)題意求解，檢驗所求得的解是否符號實際，即是否為所提問題的答案；（6）寫出答案。注意：（1）實際問題情境下二次函數(shù)中自變量的取值范圍不一定是全體實數(shù)，所對應(yīng)的

2、圖象也可能是拋物線的一部分；（2）實際問題情境下的二次函數(shù)的最值不一定是整個拋物線的頂點的縱坐標(biāo)。2.二次函數(shù)與最大利潤問題這類問題反映的是銷售額與單價、銷售量及利潤與每件利潤、銷售量間的關(guān)系，為解決這類實際問題，我們需要掌握幾個反映其關(guān)系的公式：（1）銷售額=銷售單價×銷售量；（2）利潤=銷量額-總成本=每件利潤×銷售量（3）每件利潤=銷售單價-成本單價。3.二次函數(shù)與最大(小)面積 (1)規(guī)則圖形面積由面積公式直接計算(如：圓、三角形、矩形、梯形)。（2）不規(guī)則圖形的面積多采用分割法求得，即把圖形分割成幾個規(guī)則圖形，分別求得面積再把它們加起來，然后聯(lián)系二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)

3、公式求解。注意：表示圖形面積的各量之間的關(guān)聯(lián)變化及其取值的實際意義。4.二次函數(shù)與拋物線形建筑問題拋物線在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如拱形橋洞的修建、涵洞和隧道的修建、公園里噴泉水柱運行的軌跡、投出的鉛球和籃球的運動軌跡、兩端固定自然下垂的繩子等。解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇合適的位置建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合問題中的數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題?！究键c解析】考點一：求利潤最大問題【例1】九年級（3）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天（1x90，且x為整數(shù)）的售價與銷售量的相關(guān)信息如下已知商品的進(jìn)價為30元/件，設(shè)該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售

4、量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w（單位：元）時間x（天）1306090每天銷售量p（件）1981408020（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結(jié)果【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用【分析】（1）當(dāng)0x50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖形可得出當(dāng)50x90時，y=90再結(jié)合給定表格，設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n，套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即

5、可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售數(shù)量即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問題當(dāng)0x50時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值；當(dāng)50x90時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結(jié)論；（3）令w5600，可得出關(guān)于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結(jié)論【解答】解：（1）當(dāng)0x50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k、b為常數(shù)且k0），y=kx+b經(jīng)過點（0，40）、（50，90），解得：，售價y與時間x的函數(shù)關(guān)

6、系式為y=x+40；當(dāng)50x90時，y=90售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y=由書記可知每天的銷售量p與時間x成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n（m、n為常數(shù)，且m0），p=mx+n過點（60，80）、（30，140），解得：，p=2x+200（0x90，且x為整數(shù)），當(dāng)0x50時，w=（y30）p=（x+4030）（2x+200）=2x2+180x+2000；當(dāng)50x90時，w=（9030）（2x+200）=120x+12000綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關(guān)系式是w=（2）當(dāng)0x50時，w=2x2+180x+2000=2（x45）2+6050，a=2

7、0且0x50，當(dāng)x=45時，w取最大值，最大值為6050元當(dāng)50x90時，w=120x+12000，k=1200，w隨x增大而減小，當(dāng)x=50時，w取最大值，最大值為6000元60506000，當(dāng)x=45時，w最大，最大值為6050元即銷售第45天時，當(dāng)天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元（3）當(dāng)0x50時，令w=2x2+180x+20005600，即2x2+180x36000，解得：30x50，5030+1=21（天）；當(dāng)50x90時，令w=120x+120005600，即120x+64000，解得：50x53，x為整數(shù)，50x53，5350=3（天）綜上可知：21+3=24（天），故

8、該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元考點二：利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題【例2】（2015遼寧省朝陽,第15題3分）一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h（m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（s）之間具有函數(shù)關(guān)系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后經(jīng)過4s落地，則足球距地面的最大高度是19.6m考點：二次函數(shù)的應(yīng)用分析：首先由題意得：t=4時，h=0，然后再代入函數(shù)關(guān)系h=at2+19.6t可得a的值，然后再利用函數(shù)解析式計算出h的最大值即可解答：解：由題意得：t=4時，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=4.9，函數(shù)關(guān)系為h=4.9t2+

9、19.6t，足球距地面的最大高度是：=19.6（m），故答案為：19.6點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確確定函數(shù)解析式，掌握函數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式考點三：利用二次函數(shù)求跳水、投籃等實際問題【例3】（2017溫州）小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1），完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點A，出水口B和落水點C恰好在同一直線上，點A至出水管BD的距離為12cm，洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示，現(xiàn)用高10.2cm的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經(jīng)過點D和杯子上底面中心E，則點E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離EH為2482cm【考點】HE：二次函數(shù)的應(yīng)用【專題】153

10、：代數(shù)幾何綜合題【分析】先建立直角坐標(biāo)系，過A作AGOC于G，交BD于Q，過M作MPAG于P，根據(jù)ABQACG，求得C（20，0），再根據(jù)水流所在拋物線經(jīng)過點D（0，24）和B（12，24），可設(shè)拋物線為y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入拋物線，可得拋物線為y=320x2+95x+24，最后根據(jù)點E的縱坐標(biāo)為10.2，得出點E的橫坐標(biāo)為6+82，據(jù)此可得點E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，過A作AGOC于G，交BD于Q，過M作MPAG于P，由題可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，RtAPM中，MP=8，故DQ=8=OG，

11、BQ=128=4，由BQCG可得，ABQACG，BQCG=AQAG，即4CG=1236，CG=12，OC=12+8=20，C（20，0），又水流所在拋物線經(jīng)過點D（0，24）和B（12，24），可設(shè)拋物線為y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入拋物線，可得&24=144a+12b+24&0=400a+20b+24，解得&a=-320&b=95，拋物線為y=320x2+95x+24，又點E的縱坐標(biāo)為10.2，令y=10.2，則10.2=320x2+95x+24，解得x1=6+82，x2=682（舍去），點E的橫坐標(biāo)為6+82，又ON=30，

12、EH=30（6+82）=2482故答案為：2482【點評】本題以水龍頭接水為載體，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)用，在運用數(shù)學(xué)知識解決問題過程中，關(guān)注核心內(nèi)容，經(jīng)歷測量、運算、建模等數(shù)學(xué)實踐活動為主線的問題探究過程，突出考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和解決問題的能力，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)建模，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題考點四：利用二次函數(shù)求最大面積【例4】【中考熱點】（2017溫州）如圖，過拋物線y=14x22x上一點A作x軸的平行線，交拋物線于另一點B，交y軸于點C，已知點A的橫坐標(biāo)為2（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；連結(jié)

13、BD，求BD的最小值；當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式【考點】HA：拋物線與x軸的交點；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】（1）思想確定點A的坐標(biāo)，利用對稱軸公式求出對稱軸，再根據(jù)對稱性可得點B坐標(biāo)；（2）由題意點D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，推出當(dāng)O、D、B共線時，BD的最小值=OBOD；當(dāng)點D在對稱軸上時，在RtOD=OC=5，OE=4，可得DE=OD2-OE2=52-42=3，求出P、D的坐標(biāo)即可解決問題；【解答】解：（1）由題意A（2，5），對稱軸x=-22×14=4，A、B關(guān)于對稱軸對稱，B（10，5）（2）如圖1中，由題意點D在以

14、O為圓心OC為半徑的圓上，當(dāng)O、D、B共線時，BD的最小值=OBOD=52+1025=555如圖2中， 圖2當(dāng)點D在對稱軸上時，在RtODE中，OD=OC=5，OE=4，DE=OD2-OE2=52-42=3，點D的坐標(biāo)為（4，3）設(shè)PC=PD=x，在RtPDK中，x2=（4x）2+22，x=52，P（52，5），直線PD的解析式為y=43x+253【點評】本題考查拋物線與X軸的交點、待定系數(shù)法、最短問題、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會利用輔助圓解決最短問題，屬于中考常考題型【達(dá)標(biāo)檢測】1. 某公司計劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每年產(chǎn)銷x件已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的

15、有關(guān)信息如下表：產(chǎn)品每件售價（萬元）每件成本（萬元）每年其他費用（萬元）每年最大產(chǎn)銷量（件）甲6a20200乙2010400.05x280其中a為常數(shù)，且3a5（1） 若產(chǎn)銷甲、 乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為y1萬元、y2萬元，直接寫出y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤；（3）為獲得最大年利潤，該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？請說明理由【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x²+10x-40（0x80）；（2） 產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品的最大年利潤為(1180-200a)萬元，產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品的最大年利潤

16、為440萬元；（3）當(dāng)3a3.7時，選擇甲產(chǎn)品；當(dāng)a=3.7時，選擇甲乙產(chǎn)品；當(dāng)3.7a5時，選擇乙產(chǎn)品【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x²+10x-40（0x80）；（2）甲產(chǎn)品：3a5，6-a0，y1隨x的增大而增大當(dāng)x200時，y1max1180200a（3a5）乙產(chǎn)品：y2=-0.05x²+10x-40（0x80）當(dāng)0x80時，y2隨x的增大而增大當(dāng)x80時，y2max440（萬元）產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品的最大年利潤為(1180-200a)萬元，產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品的最大年利潤為440萬元；（3）1180200440，解得3a3.7時，此時

17、選擇甲產(chǎn)品；1180200440，解得a=3.7時，此時選擇甲乙產(chǎn)品；1180200440，解得3.7a5時，此時選擇乙產(chǎn)品當(dāng)3a3.7時，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤高；當(dāng)a=3.7時，生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的利潤相同；當(dāng)3.7a5時，上產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤高2. 某片果園有果樹80棵，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少，單棵樹的產(chǎn)量隨之降低若該果園每棵果樹產(chǎn)果y（千克），增種果樹x（棵），它們之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在投入成本最低的情況下，增種果樹多少棵時，果園可以收獲果實6750千克？（3）當(dāng)增種果樹多少棵時，果園的總產(chǎn)量

18、w（千克）最大？最大產(chǎn)量是多少？【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b，把點（12，74），（28，66）代入解方程組即可（2）列出方程解方程組，再根據(jù)實際意義確定x的值（3）構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題【解答】解：（1）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b，該一次函數(shù)過點（12，74），（28，66），得，解得，該函數(shù)的表達(dá)式為y=0.5x+80，（2）根據(jù)題意，得，（0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70投入成本最低x2=70不滿足題意，舍去增種果樹10棵時，果園可以收獲果實6750千克（3）根據(jù)題意，得w=（0.5x+80）（80+

19、x） =0.5 x2+40 x+6400=0.5（x40）2+7200a=0.50，則拋物線開口向下，函數(shù)有最大值當(dāng)x=40時，w最大值為7200千克當(dāng)增種果樹40棵時果園的最大產(chǎn)量是7200千克3. （2016·湖北黃石·8分）科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園如圖所示，圖中點的橫坐標(biāo)x表示科技館從8：30開門后經(jīng)過的時間（分鐘），縱坐標(biāo)y表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù)圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=，10：00之后來的游客較少可忽略不計（1）請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待從10：30開始到12：0

20、0館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時，館外等待的游客可全部進(jìn)入請問館外游客最多等待多少分鐘？【分析】（1）構(gòu)建待定系數(shù)法即可解決問題（2）先求出館內(nèi)人數(shù)等于684人時的時間，再求出直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時的時間，即可解決問題【解答】解（1）由圖象可知，300=a×302，解得a=，n=700，b×（3090）2+700=300，解得b=，y=，（2）由題意（x90）2+700=684，解得x=78，=15，15+30+（9078）=57分鐘所以，館外游客最多等待57分鐘【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

21、握待定系數(shù)法，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型4. 如圖，拋物線y=a（x1）（x3）與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D（1）寫出C，D兩點的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；（2）設(shè)SBCD：SABD=k，求k的值；（3）當(dāng)BCD是直角三角形時，求對應(yīng)拋物線的解析式【考點】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）令x=0可求得C點坐標(biāo)，化為頂點式可求得D點坐標(biāo)；（2）令y=0可求得A、B的坐標(biāo)，結(jié)合D點坐標(biāo)可求得ABD的面積，設(shè)直線CD交x軸于點E，由C、D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式，則可求得E點坐標(biāo)，從而可表示出BCD的面積，可求得k的值；（3）由B、C、

22、D的坐標(biāo)，可表示出BC2、BD2和CD2，分CBD=90°和CDB=90°兩種情況，分別利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，則可求得拋物線的解析式【解答】解：（1）在y=a（x1）（x3），令x=0可得y=3a，C（0，3a），y=a（x1）（x3）=a（x24x+3）=a（x2）2a，D（2，a）；（2）在y=a（x1）（x3）中，令y=0可解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），AB=31=2，SABD=×2×a=a，如圖，設(shè)直線CD交x軸于點E，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，把C、D的坐標(biāo)代入可得，解得，直線CD解析式為y=2a

23、x+3a，令y=0可解得x=，E（，0），BE=3=SBCD=SBEC+SBED=××（3a+a）=3a，SBCD：SABD=（3a）：a=3，k=3；（3）B（3，0），C（0，3a），D（2，a），BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（a3a）2=4+16a2，BD2=（32）2+a2=1+a2，BCDBCO90°，BCD為直角三角形時，只能有CBD=90°或CDB=90°兩種情況，當(dāng)CBD=90°時，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=1（舍去）或a=1，此時拋物線解析式為y=x24x+3；當(dāng)CDB=90°時，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=（舍去）或a=，此時拋物線解析式為y=x22x+；綜上可知當(dāng)BCD是直角三角形時，拋物線的解析式為y=x24x+3或y=x22x+5. 如圖，直線y=x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A，B兩點（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作M