年級數(shù)學(xué)第十章第1-3節(jié)圖上距離與實(shí)際距離 黃金分割 相似圖形

1、.年 級初二學(xué) 科數(shù)學(xué)版 本江蘇科技版內(nèi)容標(biāo)題圖上距離與實(shí)際距離、黃金分割編稿老師蘇和平【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：10.110.3 圖上距離與實(shí)際距離、黃金分割二. 教學(xué)目標(biāo)：1、結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境了解線段的比和成比例的線段，理解并掌握比例的性質(zhì)。2、了解黃金分割、黃金矩形、黃金三角形的意義，會找一條線段的黃金分割點(diǎn)，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。3、理解相似三角形、相似多邊形、相似比的概念，能在諸多圖形中找出相似圖形。三. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：1、成比例線段的意義和比例的性質(zhì)。 2、相似三角形的概念與相似圖形的識別。難點(diǎn)：黃金分割的概念及其應(yīng)用。四. 課堂教學(xué)：（一）知識要點(diǎn)知識點(diǎn)1、兩

2、條線段的比：兩條線段長度的比叫做兩條線段的比。兩條線段的比值一定是沒有單位的正數(shù)；兩條線段的長度單位要一致，其比值與采用的長度單位無關(guān)。知識點(diǎn)2、成比例的線段：在4條線段中，如果兩條線段的比等于另兩條線段的比，那么稱這4條線段成比例。知識點(diǎn)3、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：如果，那么adbc;反過來，如果adbc（b0，d0），那么。（2）合比性質(zhì)：如果，那么如果，那么（3）等比性質(zhì)：如果，且bdn0，那么。知識點(diǎn)4、比例中項(xiàng)：如果（或b2ac），那么我們把b叫做a和c的比例中項(xiàng)。知識點(diǎn)5、黃金分割：點(diǎn)B在線段AC上，如果，那么稱線段AC被點(diǎn)B黃金分割，點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)。AB與AC（或B

3、C與AB）的比值約為0.618（精確值為），這個(gè)比值稱為黃金比。知識點(diǎn)6、黃金矩形：若矩形的兩條鄰邊長度的比值約為0.618，這種矩形稱為黃金矩形。知識點(diǎn)7、黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形。黃金三角形具有如下性質(zhì)： （1）底邊與腰的比值約為0.618 （2）底角的平分線與對邊的交點(diǎn)是該邊的黃金分割點(diǎn)。知識點(diǎn)8、相似三角形：各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，其中對應(yīng)邊的比值叫做它的相似比。知識點(diǎn)9、相似多邊形：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形相似。相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫做相似比?！镜湫屠}】 例1. 線段a

4、5，b1，那線段ab與ab的比例中項(xiàng)是 。解：設(shè)ab，ab 的比例中項(xiàng)是x，則x2(ab)(ab)，即x26×4，x224，由題意知x0，所以x 。 所以線段ab，ab的比例中項(xiàng)是。評析：比例中項(xiàng)若是線段則為正，若是數(shù)，則可正可負(fù)。例2. （1）如圖，已知，求的值。（2）如果，（k為常數(shù)），那么成立嗎，為什么？解：（1）由，得a3b，c3d 因此， （2）成立因?yàn)榈胊bk，cdk所以評析：該例題實(shí)際為我們展示了一個(gè)求比值的常用方法設(shè)k法，將等比式化為等積式，用含一個(gè)字母的代數(shù)式表示另一個(gè)字母，再代入求比值。例3. 已知三個(gè)數(shù)1，2，請你再添上一個(gè)（只添一個(gè)）數(shù)，使它們能構(gòu)成一個(gè)比例式

5、，則這個(gè)數(shù)是 。 解：從1：2：x，求出x 從1：x：2，求出x 從1：2x：，求出x故這個(gè)數(shù)為，或評析：這是一道開放創(chuàng)新題，由于題中未明確告知構(gòu)成比例的各數(shù)的順序，因此所添的數(shù)的位置有很大的靈活性。本題只要求添一個(gè)數(shù)，因此在解題時(shí)，不要被這種靈活性所困擾，而應(yīng)避繁變簡。例4. （1）如圖，兩個(gè)矩形是否相似？（2）已知四邊形ABCD四邊形ABCD，且AB：BC：CD：DA7：6：5：4，若四邊形ABCD的周長為44，則AB ，BC= ，CD= ，DA= 解：（1），不相似。 （2）四邊形ABCD的四邊長的比為7：6：5：4，分別設(shè)7x，6x，5x，4x， 7x6x5x4x4422x44x2AB

6、14，BC12，CD10，DA8。評析：從定義的角度出發(fā)是我們解決問題一個(gè)重要的方法，應(yīng)加以重視。例5. 如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，求H的大小及BC、EH的長度。解：四邊形ABCD與四邊形EFGH相似BF100°CG50°HD360°（ABC）360°（45°100°50°）165°，由，得BC由，得EHH165°，BC，EH評析：本例在求角度時(shí)，不但用到了相似多邊形性質(zhì)，還要結(jié)合四邊形的內(nèi)角和才可求出H，這就需要正確運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式，n邊形的內(nèi)角和（n2）·180

7、6;，求對應(yīng)邊的長時(shí)，必須先由已知求出對應(yīng)邊的長，再根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例這一性質(zhì)，列出比例式或方程，從而求出未知邊的長度。例6. 科學(xué)研究表明：當(dāng)人的下肢長與身高之比約為0.618時(shí)，能使人看起來感到勻稱美，某成年女士身高153cm，下肢長92cm，據(jù)上述觀點(diǎn)，她所選高跟鞋鞋跟的最佳高度應(yīng)約為多少?(精確到0.1cm)解：設(shè)該女士穿高跟鞋時(shí)，鞋跟的最佳高度為xcm，根據(jù)題意得：(92x)(153x)0.61810.618(153x)92xx6.7(cm)評析：應(yīng)該特別值得注意的是，該女士穿高跟鞋以后，身高和下肢的長都增加了，其增加的高度均為鞋跟的高度。例7. 古希臘時(shí)期的巴農(nóng)臺神廟，把

8、它的正面放在一個(gè)矩形ABCD內(nèi)，以矩形的寬為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，如圖，那么我們驚奇地發(fā)現(xiàn)：，點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)嗎？矩形ABCD的寬與長的比是黃金比嗎？解：四邊形ABCD是矩形，四邊形AEFD是正方形ADBCAE又 即因此點(diǎn)E是線段AB的黃金分割點(diǎn)，矩形ABCD的寬與長的比是黃金比評析：在上面這個(gè)矩形中，寬與長的比是黃金比，這樣的矩形叫黃金矩形， 黃金矩形給人以美感。另外還有黃金三角形（頂角為36°的等腰三角形）等。例8. 頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖ABC，BDC，DEC都是黃金三角形，已知AB1，則DE 。解：ABC，BDC，DEC都是黃金三角

9、形設(shè)DEX則DCX，0.618則DE0.618×0.618AB0.382評析：用比例式解題很有效，還可以用方程的思想來解。例9. 如圖，四邊形ABCD與四邊形ABCD相似，試求未知邊AB， BC的長度以及C的度數(shù)。解：四邊形ABCD與四邊形ABCD相似，它們的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等； 解得AB27，BC31.5又DD134° C360°(70°83°134°)73°評析：在利用相似多邊形的基本特征解題時(shí)，要注意邊和角的對應(yīng)順序.例10. 如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，DFFC31圖中有哪些相似三角形？請說明理

10、由。解：ABEECFAEF理由如下：設(shè)正方形的邊長為4K，根據(jù)題意，得BECE2K，CFK，所以，又因?yàn)锽C90°，所以ABEECF因?yàn)锳E2AB2BE2，EF2EC2CF2，AF2AD2DF2，所以AE2（4K）2（2K）220K2， EF2（2K）2K25K2， AF2（4K）2（3K）225K2，所以AE2EF2AF2，即AEF90°，又因?yàn)?，所以所以AEFABE，綜上所述，ABEECFAEF評析：利用代數(shù)計(jì)算的方法得到幾何論證，也是說理的一種重要方法。【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）（一）選擇題1、已知A、B兩地的實(shí)際距離是250cm，若畫在圖上的距離是5cm，則

11、圖上距離與實(shí)際距離的比是（ ） A、150 B、15000 C、1500 D、1500002、若點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（PAPB），則下列式子錯(cuò)誤的是（ ）A、AP2AB·PB B、 C、BP2AB·PA D、AP3、已知線段AB1，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AC的長度為（ ） A、 B、 C、 D、以上結(jié)論都不對4、下列說法中，正確的是（ ） A、所有的矩形都相似 B、所有的等腰三角形都相似 C、所有的正方形都相似 D、所有的等腰梯形都相似5、有甲、乙兩張同樣的地圖，若它們的比例尺分別為：1100和1300，則甲地圖與乙地圖的相似比為（ ）A、13 B、31 C、9

12、1 D、19（二）填空題：6、正方形的邊長與對角線長的比是 。7、已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（ACBC），那么AC是線段 與 的比例中項(xiàng)；如果AB12cm，那么AC cm，BC cm。8、若兩個(gè)相似多邊形的相似比為23，且周長的和為50cm，那么這兩個(gè)相似多邊形的周長分別為 和 。9、如圖所示，在ABC中，BCa，B1，B2，B3，B4是AB邊的五等分點(diǎn)，C1，C2，C3，C4是AC邊的五等分點(diǎn)，B1C1B2C2B3C3B4C4 。10、如圖所示，E為平行四邊形ABCD的邊長AD延長線上的一點(diǎn)，且D為AE的黃金分割點(diǎn)；即ADAE，BE交DC于點(diǎn)F，若AB，則CF的長為 （三）解答題：11、已知xyz235，求的值。12、已知：abcd，證明：。13、科學(xué)研究表明，當(dāng)人的上肢長與下肢長之比為0.618時(shí)，看起來最美，某成年女士身高為153cm，上肢長為61cm，該女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度約為多少厘米（精確到0.1cm）?14、如圖， （1）若，求的值（2）若AO30，AB70，CD105，求OD的長？15、如圖，在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，分別取PA、AB、AC的中點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、FD，DEF與PBC相似嗎？請說明理由?！驹囶}答案】（一）選