高等數學下冊期末試卷答案

1、.2000級(一)(BA) LB20010627；.八：；當時，發(fā)散，時，收斂，故收斂區(qū)間為。設，則有。又，有，當時，有，時，。從而2000級(一)(B) LB200107;；4.；.2001級(下)(A) LB20020629；. 2001級(一)B L20020821C； 三：1：切點，切向量，切線；法平面。2：，四：1.令,則積分與路徑無關.2:同LB20000822第六大題。六：1：LB20000822第八大題。2：LB20000822第七大題。 2002級(下)(A)；5.；. 六:1:同00級LB20010627第五大題。七:同01級LB20020629第七大題.2002級(下)(

2、B)； ；.七：作業(yè)題30頁第二大題第3小題。03級A卷LB20040707一：二3.0. .三1. 解：切點為（，）于是切線方程為法平面方程為2. 解：于是，解得又，則四.投影為：2.解：五1解： . 則積分與路徑無關。 于是取路徑 L: W.2.解:取 下側六解：級數發(fā)散收斂區(qū)間為，設，令七證：單調減少且有下界，故如果則收斂，矛盾且則收斂，收斂03級B卷LB20040823一：A B C D C A 二：1.， 2.， 3.，5.，6.，7.，8.， 4.三：1. 切點，切向量為則切線：，法平面：。2.，四：1.2.投影區(qū)域：，；則面積為。五：1.，令，則，積分與路徑無關。沿直線積分，。2

3、.補上取下側，則由高斯公式 又，則原式=。六.1.，則R=1，當時，級數，均發(fā)散。收斂區(qū)間為。設。2.，則，七：設，則，又，收斂，收斂，故原級數絕對收斂。04級A卷（20050708）一、 C B C A D B二、 1 2 34 5 67 8三、1解：點代入求得切線 ，法平面2解： 四、1解：原式= 2解： 五、1解：，所以積分與路徑無關。2解：取下側 ；， ；。六、計算題 1解 ；收斂，收斂，從而原級數 絕對收斂 。2解：法一：，；法二：，；七、證明題(6分) 證明： 設球面方程為，兩球面交線的投影為圓，半徑為 ， 故為最大，當時，含在定球面的球面部面積最大。04級B 卷（20050827

4、）一： B D B C D A 二：1：2x-y+2z-9=0； 2：e(dx+dy); 3：2x+y-4=0; 4：5：； 6：； ； 8：三：1：解：將t=1代入得到點為（2，1，0）； ；切線為： ；法平面：。2：解：；。四：1：解：；2：，；五：1：；補：；。2：補取下側；六：1：；發(fā)散；發(fā)散。單調下降趨于零，滿足狄立克萊收斂定理，收斂，為條件收斂。2：；當時，級數收斂，時，級數發(fā)散。X=1時，發(fā)散；x=-1時，發(fā)散。收斂域為。設，；七： ；設曲面上任一切點為，則法向量可取；切平面為：將點(a,b,c)代入切平面方程，等號成立。證畢。05級A卷（20060707）一、 C B A B

5、D C二、 1； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8。三、1解： ，2解：設所求的點為，則，又因為與平面垂直，所以，故法線方程為。 四、1作業(yè)。2與05級A卷的四2相同。五、1解：，。2解： 六、計算題 1解：因為 ，發(fā)散，所以發(fā)散；又因為，故且，所以收斂，從而原級數條件收斂 。2解：，所以收斂域為，設，則，；（或）。七、證明：與04級A卷的題七相同。05級B 卷（20060825）一： A B C D D B 二：1. 5； 2. ； 3.（2，-2）； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 4； 8. 。三：1. 解： 取又因為平面過點，所以平面方程為，即。2. 解：；同理；故。四：1.

6、 解：方程對求導，把代入解得，故切線為： ；法平面為：，即。2. 解：。五：1. 解：。2. 解：，所以積分與路徑無關，。六：1. 解：補，取下側，則；。2. 解：，收斂，收斂，從而原級數為絕對收斂。七：證明：問題即為求在條件下的最值，令 ，則 可解得；故當P時，。2007年7月4日 (20070704) 一、1C 2D 3C 4D 5B 6D二、1. 2 3. 4 5 6. 7. 8.三、1.解：過直線的平面束方程為: (2x-y+z)+l(x+y-z+1)=0, 即(2+l)x+(l-1)y+(1-l)z+=0, 由(2+l, l-1, 1-l)×(1, 2,-1)=0解得, 代

7、入平面束即得所求平面為 9x -3y+3z+1=0.2.解：切點為(0,1,2), ,則切向量, 故切線方程為, 法平面為.四、1.解：設,則, .2.解：質量.五、1.解：功,故積分與路徑無關.2.解：,.六、1.解：作取上側的輔助面: ,記S 與S 1所圍閉區(qū)域為W, 則有：原積分.2.解：(1) ,故.(2) , 令, 得.七、證明：由已知得, ,令,則,級數收斂, 故級數收斂, 即絕對收斂.2007年8月31日 (20070831) 一、1B 2A 3D 4C 5D 6B二、1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8.三、1.解：過點垂直于已知平面的直線為：,代入平面方程得：，,故直線

8、與平面的交點為利用中點公式得所求對稱點為.2.解：, , .四、1.解：在點M處,方向向量, .2.解：原積分.五、1.解：功,.2.解：,.六、1.解：作取下側的輔助面: , 記S與S 1所圍閉區(qū)域為W, 則有：原積分.2.解：, 級數收斂, 級數收斂, 故原級數絕對收斂.七、證明：(1), , 又當時,級數收斂, 時,級數發(fā)散,故級數收斂域為.(2) 令,則, ,.2008年7月1日 一、1D 2C 3A 4A 5A 6B二、1. 2 3. 4 5 6. 7. 8.三、1.解：, .2.解：過直線的平面束方程為: (4x-y+3z-1)+l(x+5y-z+2)=0, 即(4+l)x+(5l

9、-1)y+(3-l)z+(2l-1)=0, 由(4+l, 5l-1, 3-l)×(2, -1,5)=0解得 l=3, 代入平面束即得所求平面為 7x +14y+5=0.四、1.解：.2.解：, 質量.五、1.解：作取上側的輔助面: , 則S 與S 1為所圍閉區(qū)域W的內側, 則有：原積分.2.解：記, 則, ,記 L與L1所圍閉區(qū)域為D, 則有.六、1.解：令,則,當時, , 故級數與級數有相同的斂散性.(1) 當,即時級數收斂, 即原級數絕對收斂.(2) 當時級數發(fā)散. ,且, 故原級數收斂, 且為條件收斂.2.解：, , 七、解：設橢圓上的點為(x,y,z), 則引力大小為,(其中

10、k>0為引力常數).則問題化為求在條件下的最值點, 令,解方程組得或 在點處, ,在點處, ,故在點P處引力最大, 在點M處引力最小.2008年8月23日 一、1C 2B 3B 4A 5C 6B二、1. 2或 3. 5 6. 7. 8. 4三、1.解: 切點為(0,1,2), 切向量, 切線方程為, 法平面為即.2.解: 令, 則, 有 四、1.解: 由得,故立體W 在xoy面投影域為D：,則立體體積 .2.解: 由, 得, 故曲面在xoy面投影域為D：, 故所求面積.五、1.解：功,故積分與路徑無關, 取路徑L1: , 則.2.解：作取下側的輔助面: ,則S 與S 1為所圍閉區(qū)域W的內

11、側,則有：原積分.六、1.解：(1), , 又當時,發(fā)散, 時,發(fā)散, 故級數收斂域為.(2) ,.2.解：, (由得).七、證明：單調減少且有下界(),故,且.若, 則收斂, 與題設矛盾,且,則,故幾何級數收斂, 從而級數收斂高等數學B期末試題參考答案與評分標準（090629）一、單項選擇(每小題3分，共18分) 1.C 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D二、填空(每小題2分，共16分) 1. ， 2. ， 3.， 4. ， 5. 0， 6. 7. 8. 三、計算題(每小題7，共14分)。(沒有利用合并扣1分)設切點為，則切平面的法向量， 解得 (1+1) 四、計算題(每小題7，共14分

12、)2.解 。五、計算題(每小題7，共14分)1.解 補曲面 由Gauss公式得 2.解 ， 。(2+2)六、計算題(每小題8，共16分)1.解 ，.，2.解 ，由，得 (2+2)則 ，(1+1)七、計算題(8分)解 兩直線上任意兩點間的距離為記，令，解得所以兩直線間的距離為(用其它方法不得分)2009年8月29日 一、1. D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.D二、1. 2 3. 4 5 6. 7. 8. 三、1.解: 對曲面,在點M處法向量對曲面,在點M處法向量在點M處切向量, 故切線方程為, 法平面為即.2.解:記, 梯度, 要使最大, 則應有, 即應有 .四、1.解: D：.2.解:

13、 密度函數為, 曲線L：故質量.五、1.解：功,故積分與路徑無關, 取路徑L1: , L2: , 則.法二：解：功,故積分與路徑無關, .2.解：作取下側的輔助面: ,則S 與S 1為所圍閉區(qū)域W的內側,則有：原積分.六、1.解：記, 則當時, 級數收斂, 級數收斂, 故原級數絕對收斂.2.解: (1), 故.(2) , 令, 得.七、證明：在曲面上任一點P(m,b,c)處, 有, 切平面的法向量為,切平面方程為,即.故四面體體積為,即四面體體積為常數.2010年6月27日 一、1. D 2. A 3. A 4. B 5. B 6. D二、1. 2 3. 4 5. 6 7. 8. 三、1.求過

14、兩平面,交線且垂直于平面的平面方程.解：過直線的平面束方程為: 即 由 解得將代入平面束即得所求平面為 2. 求曲線在點的切線方程和法平面方程.解: 曲面在點M處法向量曲面在點M處法向量在點M處切向量,曲線的切線方程為: 法平面方程為即.四、1. 設,其中具有二階連續(xù)導數, 求.解: 令, 則, 有 2.設球面及錐面圍成的空間區(qū)域上分布有質量密度, 已知物體的質量密度與點到球心的距離平方成正比, 且在球面處密度為1, 求物體的質量. 解: 密度函數為： 球面方程為：由已知有 即故質量五、1. 設一質點受變力作用從點沿曲線移動到,求變力所作的功.解：功, , 故曲線積分在xoy面上與路徑無關,

15、2. 設曲線位于第一象限內的一段弧, 其中計算 解：六、1. 求, 其中為曲面上側.解：作取下側的輔助面: ,則S 與S 1為所圍閉區(qū)域W的外側,原積分2. 把展開成的冪級數.解: (由)七、設偶函數在上具有二階連續(xù)導數, 且證明級數收斂.證明：由已知得為奇函數,且存在正數M使 由泰勒展式有: (為介于0與x之間的常數), 而收斂,故收斂, 即絕對收斂.2010年8月28日 一、1. B 2. A 3. C 4. A 5. B 6. C二、1. 2. 3. 5. 4 6 7. 8. 三、1.求過兩平面,交線且垂直于平面的平面方程.解：切向量所求點為2. 求曲線在點的切線方程和法平面方程.解:

16、四、1. 設,其中具有二階連續(xù)導數, 求.解: 2.設球面及錐面圍成的空間區(qū)域上分布有質量密度, 已知物體的質量密度與點到球心的距離平方成正比, 且在球面處密度為1, 求物體的質量. 解: 密度函數為： 故質量五、1.設一平面為場, 求變力把質點從點沿不經過y軸的曲線L移動到所作的功.解：功,故積分與路徑無關, 取路徑L1: , 則.2. 計算曲面積分, 其中為曲面的上側.解：作取下側的輔助面: ,則S 與S 1為所圍閉區(qū)域W的內側,則有：原積分.六、1. 求, 其中為曲面上側.解：級數收斂區(qū)間為.,.2. 把展開成的冪級數.解: ,七、設正項級數收斂,證明級數收斂.證明：由于級數收斂,故存在

17、正整數N使時從而有 由比較判別法可知級數收斂.2010級高等數學B(下)期末試題A參考答案（20110703）一、1.D 2.A 3.C 4.A 5.B 6.D二、1. ， 2. 3， 3. ， 4. ，5. ， 6.，7. ， 8. 三、計算題(每小題7分，共14分)四、計算題(每小題7分，共14分)五、計算題(每小題8分，共16分)1.解 ， ,得.六、計算題(每小題8分，共16分) 七、證明 所以級數當時收斂；當時發(fā)散. 2010級高等數學B期末試題B參考答案（20110828）一、1.A 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、 1、， 2、， 3、，4、， 5、， 6、， 7、， 8、 三、計算題(每小題7分，共14分)四、計算題(每小題7分，共14分)五、計算題(每小題8分，共16分)2. 解：功,故積分在xoy面上與路徑無關, 取折線積分, 則.六、計算題(每小題8分，共16分)1.解 補曲面 由Gauss公式得，。2.解 七、2011級高等數學B期末試題A參考答案（20120629）一、單項選擇1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A二、填空 1. ， 2. ， 3. ， 4. ，5. ， 6.， 7. ， 8. .三、四、五、.2.解 ， ,故積分在xoy