二次函數(shù)輔導(dǎo)講義

1、 江陰名思教育一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo) 名思教育輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名張曉楠輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)年級(jí)初三授課教師劉琳琳課題 二次函數(shù) 授課時(shí)間 教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)及考試要求教學(xué)內(nèi)容一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c（a0），則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax2+bx+c（a0）頂點(diǎn)式：y=a(x-h) 2+k（a0），此時(shí)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（h，k）交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)（a0）僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以?xún)山稽c(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，0）和 B（x2，0），對(duì)稱(chēng)

2、軸所在的直線(xiàn)為x=注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-，k= ； x1, x2= ；x1+x2=-三、二次函數(shù)的圖像 從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形。四、拋物線(xiàn)的性質(zhì)1拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = -，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）2拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P（-，）。 當(dāng)x=-時(shí)，y最值=，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y有最小值；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時(shí)，P在y軸上（即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0）；當(dāng)= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上（即函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)）。3二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物

3、線(xiàn)的開(kāi)口方向和大?。葱螤睿?。 當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下。|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。對(duì)于兩個(gè)拋物線(xiàn)，若形狀相同，開(kāi)口方向相同，則a相等；若形狀相同，開(kāi)口方向相反，則a互為相反數(shù)。4二次項(xiàng)系數(shù)a和一次項(xiàng)系數(shù)b共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左邊時(shí)，a與b同號(hào)（即ab0）； 當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右邊時(shí)，a與b異號(hào)（即ab0）。 5常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位置，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)（0，c）。6拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a0）與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：= b2-4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩

4、個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根；= b2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。 = b2-4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。 五、二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax2+bx+c（a0），當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。（參考四-6）二、考點(diǎn)分析考點(diǎn)一、圖象 1、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，判斷與a、b、c相關(guān)的代數(shù)式是否成立例1、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖1所示，有下列5個(gè)結(jié)論： ； ； ；

5、 ； ，（的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)2、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，比較與a、b、c相關(guān)的代數(shù)式的大小例2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，且P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，則P、Q的大小關(guān)系為 。3、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定對(duì)應(yīng)一元二次方程的解例3、已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為 。4、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定有a、b、c構(gòu)成橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的點(diǎn)的位置例4、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在第 象限。5、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定兩個(gè)函數(shù)在同

6、一坐標(biāo)系中的大致圖象例5、在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=ax+b和y=ax2+bx+c的圖象只可能是 。 6、根據(jù)二次函數(shù)圖象提供的信息，確定某一個(gè)待定系數(shù)的范圍例6、如圖6所示的拋物線(xiàn)是二次函數(shù)的圖象，那么的值是 ?？键c(diǎn)2、考拋物線(xiàn)的解析式求二次函數(shù)的解析式，是重點(diǎn)內(nèi)容。1、已知拋物線(xiàn)上任意的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解析式例1、已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求拋物線(xiàn)的解析式。2、已知拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，和某一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解析式例2、已知拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)是A（-2，0）、B（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，8）。求該拋物線(xiàn)的解析式。3、已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，和某一個(gè)點(diǎn)的

7、坐標(biāo)，求解析式例3、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A（1，-4），且過(guò)點(diǎn)B（3，0）求該二次函數(shù)的解析式。4、 已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，和某兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解析式例4、有一座拋物線(xiàn)形拱橋，正常水位時(shí)，AB寬為20米，水位上升3米就達(dá)到警戒水位線(xiàn)CD，這時(shí)水面的寬度為10米。請(qǐng)你在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，求出二次函數(shù)的解析式。5、已知一個(gè)拋物線(xiàn)的解析式，求平移的函數(shù)解析式例5、將拋物線(xiàn)y=x2的圖象向右平移3個(gè)單位，接著再向上平移6個(gè)單位，則平移后的拋物線(xiàn)的解析式為_(kāi)。例6、將拋物線(xiàn)y=2（x+1）2-3向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式為 例7、在同一坐標(biāo)平面內(nèi)

8、，圖象不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過(guò)平移變換、軸對(duì)稱(chēng)變換得到的函數(shù)是（）y=2（x+1）2-1 y=2x2+3 y=-2x2-1 6、拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的解析式結(jié)論：拋物線(xiàn)y= a+bx+c關(guān)于x 軸的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)為：y=-（a+bx+c）。例8、拋物線(xiàn) y=2（x-1）2+3關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的解析式為 。7、拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的解析式結(jié)論：拋物線(xiàn)y= a+bx+c關(guān)于y 軸的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)為：y=a-bx+c。例9、拋物線(xiàn) y=2（x-1）2+3關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的解析式為 。8、拋物線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的解析式結(jié)論：拋物線(xiàn)y= a+bx+c關(guān)于x 軸的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)為

9、：y=-a+bx-c。例10、拋物線(xiàn) y=2（x-1）2+3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的解析式為 。 考點(diǎn)3、圖形面積最優(yōu)化問(wèn)題1、 只圍二邊的矩形的面積最值問(wèn)題例1、 如圖1，用長(zhǎng)為18米的籬笆（虛線(xiàn)部分）和兩面墻圍成矩形苗圃。（1） 設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x（米），面積為y（平方米），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2） 當(dāng)x為何值時(shí)，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？2、 只圍三邊的矩形的面積最值例2、 如圖2，用長(zhǎng)為50米的籬笆圍成一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一面靠墻。問(wèn)如何圍，才能使養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大？4、截出圖形面積的最值問(wèn)題例4、 如圖4,ABC是一塊銳角三角形的余料,邊BC=120mm,高AD=80m

10、m,要把它加工成長(zhǎng)方形零件PQMN ,使長(zhǎng)方形PQMN的邊QM在BC上,其余兩點(diǎn)P、N在A(yíng)B、AC上。（1） 問(wèn)如何截才能使長(zhǎng)方形PQMN的面積S最大？（2） 在這個(gè)長(zhǎng)方形零件PQMN面積最大時(shí)，能否將余下的材料APN、BPQ NMC 剪下再拼成（不計(jì)接縫用料和損耗）一個(gè)與長(zhǎng)方形零件PQMN大小一樣的長(zhǎng)方形？若能，給出一種拼法；若不能，試說(shuō)明理由。5、采光面積的最值例5、 用19米長(zhǎng)的鋁合金條制成如圖所示的矩形的窗框。（1） 求窗框的透光面積S（平方米）與窗框的寬x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2） 求自變量x的取值范圍；（3） 問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使窗框透過(guò)的面積最大？最大的透光面積是多少？三、課堂練

11、習(xí)一、 選擇題：1. 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是（ ）A. 直線(xiàn)B. 直線(xiàn)C. 直線(xiàn)D. 直線(xiàn)2. 二次函數(shù)的圖象如右圖，則點(diǎn)在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限3. 已知二次函數(shù)，且，則一定有（ ）A. B. C. D. 04. 把拋物線(xiàn)向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式是，則有（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知反比例函數(shù)的圖象如右圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致為（ ） 6. 下面所示各圖是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的大致圖象，有且只有一個(gè)是正確的，正確的是（ ） 7. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，若，則（ ）A. ，B. ，C. ，

12、D. ，二、填空題：8. 將二次函數(shù)配方成的形式，則y=_.9. 已知拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么一元二次方程的根的情況是_.10. 已知拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則=_.11. 請(qǐng)你寫(xiě)出函數(shù)與具有的一個(gè)共同性質(zhì)：_.12. 有一個(gè)二次函數(shù)的圖象，三位同學(xué)分別說(shuō)出它的一些特點(diǎn)：甲：對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)；乙：與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3.請(qǐng)你寫(xiě)出滿(mǎn)足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)解析式：13. 已知二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且與y軸的正半軸相交，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的二次函數(shù)的解析式：_.14. 如圖，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，與x軸交于A(yíng)、B

13、兩點(diǎn)，若B點(diǎn)坐標(biāo)是，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是_. 三、解答題：1. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）.（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求使y2的x的取值范圍.2. 如右圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B.（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo).3. 某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到贏(yíng)利的過(guò)程，下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系）.（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？4. 盧浦大橋拱形可以近似地看作拋物線(xiàn)的一部分. 在大橋截面1:11000的比例圖上去，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，線(xiàn)段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DEAB，如圖（1）. 在比例圖上，以直線(xiàn)AB為x軸，