二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法

1、二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn)二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式（，）對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)二次根式化簡(jiǎn)二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會(huì)收到事半功倍的效果，下面通過(guò)具體的實(shí)例

2、進(jìn)行分類解析1公式法【例1】計(jì)算； 【解】原式原式【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了“完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計(jì)算較為簡(jiǎn)便2觀察特征法【例2】計(jì)算：【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以，即得分子，于是可以簡(jiǎn)解如下：【解】原式【例3】 把下列各式的分母有理化（1）；（2）（）【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè)因式相等，計(jì)算將很繁，觀察分母中的兩個(gè)因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式 【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡(jiǎn)但是，不

3、難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，可以解答如下：【解】原式 3運(yùn)用配方法【例4】化簡(jiǎn)【解】原式 【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開(kāi)方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“”4平方法【例5】化簡(jiǎn)【解】 【解后評(píng)注】對(duì)于這類共軛根式與的有關(guān)問(wèn)題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡(jiǎn)5恒等變形公式法【例6】化簡(jiǎn)【方法導(dǎo)引】若直接展開(kāi)，計(jì)算較繁，如利用公式，則使運(yùn)算簡(jiǎn)化【解】原式 6常值換元法【例7】化簡(jiǎn)【解】令，則：原式 7裂項(xiàng)法【例8】化簡(jiǎn)【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式 【例9】化簡(jiǎn) 【方法導(dǎo)引】這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù)之和

4、，于是則有如下簡(jiǎn)解：【解】原式 8構(gòu)造對(duì)偶式法【例10】化簡(jiǎn)【解】構(gòu)造對(duì)偶式，于是沒(méi) ，則，原式 9由里向外，逐層化簡(jiǎn) 【解】 而 原式【解后評(píng)注】對(duì)多重根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡(jiǎn)的方法處理10由右到左，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)【例11】化簡(jiǎn) 【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡(jiǎn)【解】原式 【解后評(píng)注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號(hào)逐層脫去，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的的返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡(jiǎn)具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)（即二次根式）

5、的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見(jiàn)的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用1根式變形法【例1】比較與的大小【解】將兩個(gè)二次根式作變形得 ，即【解后評(píng)注】本解法依據(jù)是：當(dāng)，時(shí)，則；若，則2平方法【例2】比較與的大小【解】，【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng)，時(shí)，如果，則，如果，則3分母有理化法通過(guò)運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小【例3】比較與的大小【解】 又4分子有理化法在比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化，利用分母的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小【例4】比較與的大小【解】 又而5等式的基本性質(zhì)法【例5】比較與的大小【解法1】 又 即【解后評(píng)

6、注】本解法利用了下面兩個(gè)性質(zhì)：都加上同一個(gè)數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變非負(fù)底數(shù)和它們的二次冪的大小關(guān)系一致【解法2】將它們分別乘以這兩個(gè)數(shù)的有理化因式的積，得 又【解后評(píng)注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個(gè)正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變6利用媒介值傳遞法【例6】比較與的大小【解】 又 【解后評(píng)注】適當(dāng)選擇介于兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進(jìn)行比較7作差比較法在對(duì)兩數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：；【例7】比較與的大小【解】 8求商比較法與求差比較法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng)，時(shí)，則：；【例8】比較與的大小【解】【解后評(píng)注】得上所述，含有根式的無(wú)理數(shù)大小的

7、比較往往可采用多種方法，來(lái)求解有時(shí)還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對(duì)于具體的問(wèn)題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn)二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式（，）對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)二次根式化簡(jiǎn)二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡(jiǎn)是

8、二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會(huì)收到事半功倍的效果，下面通過(guò)具體的實(shí)例進(jìn)行分類解析1公式法【例1】計(jì)算； 【解】原式原式【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了“完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計(jì)算較為簡(jiǎn)便2觀察特征法【例2】計(jì)算：【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以，即得分子，于是可以簡(jiǎn)解如下：【解】原式【例3】 把下列各式的分母有理化（1）；（2）（）【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè)

9、因式相等，計(jì)算將很繁，觀察分母中的兩個(gè)因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式 【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡(jiǎn)但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，可以解答如下：【解】原式 3運(yùn)用配方法【例4】化簡(jiǎn)【解】原式 【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開(kāi)方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“”4平方法【例5】化簡(jiǎn)【解】 【解后評(píng)注】對(duì)于這類共軛根式與的有關(guān)問(wèn)題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡(jiǎn)5恒等變形公式法【例6】化簡(jiǎn)【方法導(dǎo)引】若直接展開(kāi)，計(jì)算較繁，如利用公式，則使運(yùn)算簡(jiǎn)化【解】原式 6常值換元法【例7】化簡(jiǎn)【解】令，則：原式 7裂項(xiàng)法【例8】化簡(jiǎn)

10、【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式 【例9】化簡(jiǎn) 【方法導(dǎo)引】這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù)之和，于是則有如下簡(jiǎn)解：【解】原式 8構(gòu)造對(duì)偶式法【例10】化簡(jiǎn)【解】構(gòu)造對(duì)偶式，于是沒(méi) ，則，原式 9由里向外，逐層化簡(jiǎn) 【解】 而 原式【解后評(píng)注】對(duì)多重根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡(jiǎn)的方法處理10由右到左，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)【例11】化簡(jiǎn) 【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡(jiǎn)【解】原式 【解后評(píng)注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號(hào)逐層脫去，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不

11、具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的的返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡(jiǎn)具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見(jiàn)的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用1根式變形法【例1】比較與的大小【解】將兩個(gè)二次根式作變形得 ，即【解后評(píng)注】本解法依據(jù)是：當(dāng)，時(shí)，則；若，則2平方法【例2】比較與的大小【解】，【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng)，時(shí)，如果，則，如果，則3分母有理化法通過(guò)運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小【例3】比較與的大小【解】 又4分子有理化法在比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要

12、將其進(jìn)行分子有理化，利用分母的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小【例4】比較與的大小【解】 又而5等式的基本性質(zhì)法【例5】比較與的大小【解法1】 又 即【解后評(píng)注】本解法利用了下面兩個(gè)性質(zhì)：都加上同一個(gè)數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變非負(fù)底數(shù)和它們的二次冪的大小關(guān)系一致【解法2】將它們分別乘以這兩個(gè)數(shù)的有理化因式的積，得 又【解后評(píng)注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個(gè)正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變6利用媒介值傳遞法【例6】比較與的大小【解】 又 【解后評(píng)注】適當(dāng)選擇介于兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進(jìn)行比較7作差比較法在對(duì)兩數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：；【例7】比較與的大小【解】 8求商比較法與求差比較

13、法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng)，時(shí)，則：；【例8】比較與的大小【解】【解后評(píng)注】得上所述，含有根式的無(wú)理數(shù)大小的比較往往可采用多種方法，來(lái)求解有時(shí)還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對(duì)于具體的問(wèn)題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡(jiǎn)具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見(jiàn)的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用1根式變形法【例1】比較與的大小【解】將兩個(gè)二次根式作變形得 ，即【解后評(píng)注】本解法依據(jù)是：

14、當(dāng)，時(shí)，則；若，則2平方法【例2】比較與的大小【解】，【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng)，時(shí)，如果，則，如果，則3分母有理化法通過(guò)運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小【例3】比較與的大小【解】 又4分子有理化法在比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化，利用分母的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小【例4】比較與的大小【解】 又而5等式的基本性質(zhì)法【例5】比較與的大小【解法1】 又 即【解后評(píng)注】本解法利用了下面兩個(gè)性質(zhì)：都加上同一個(gè)數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變非負(fù)底數(shù)和它們的二次冪的大小關(guān)系一致【解法2】將它們分別乘以這兩個(gè)數(shù)的有理化因式的積，得 又【解后評(píng)注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個(gè)正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變6利用媒介值傳遞法【例6】比較與的大小【解】 又 【解后評(píng)注】適當(dāng)選擇介于兩個(gè)