羅必達(dá)法則應(yīng)用研討論文

1、畢業(yè)設(shè)計(論文)課 題 名 稱羅必達(dá)法則應(yīng)用研討 系、年級專業(yè) 理學(xué)系06級信息與計算科學(xué) 摘 要極限問題是高等數(shù)學(xué)的基本問題之一 ，如何求極限又是極限問題的核心，求解極限問題有很多方法，其中未定式極限的求解方法常用羅必達(dá)法則。本文將從羅必達(dá)法則的定理出發(fā)分析應(yīng)用羅必達(dá)法則求極限應(yīng)注意的幾個問題；通過解析相關(guān)例題總結(jié)出用羅必達(dá)法則求各種類型未定式極限的一般程序 ；通過類比解析一類利用羅必達(dá)法則不能得心應(yīng)手，不能通過簡單套用得出結(jié)果的求極限問題來分析如何克服羅必達(dá)法則運用的弱點，從而選擇恰當(dāng)、合適的方法來靈活解題。最后，通過以上對羅必達(dá)法則求極限方法的分析與在解某些題目時與其它求極限方法 的優(yōu)劣

2、對比，能夠達(dá)到深刻理解羅必達(dá)法則求不定型極限的定理，熟練掌握用羅必達(dá)法則求極限的方法，正確應(yīng)用其它求極限的方法輔助解題，簡化解題過程。關(guān)鍵詞：羅必達(dá)法則；未定式；解題方法；極限ABSTRACTLimitproblemisone of the basicproblemsof higher mathematics, While how to calculate limit is the core of the limit problem.There are a large number of ways to calculate limit.To undetermined type,the most

3、 commonly method is Luo Hpitals rule.This thesis start from the theorem of Luo Hpitals rule to analyse several issues that should be pay attention to when use the theorem to calculate limit problem ; through resolving some relevant examples to sum up the general procedure of solving all kinds of und

4、etermined type limits problem ; and through comparing different methods to solve a kind of limit problem which is a hard nut to crack to Luo Hpitals rule to analysis of how to overcome the weaknesses of Luo Hpitals rule and choose the appropriate, suitable and flexible approach to solve the problem.

5、Finally,by compare of thestrengths and the weaknesses of a variety of ways in calculate limit, we can deep understanding of Luo Hpitals rule and master this method to solve limit problem , also we can use other ways to help solve problems correctly and simplify the process of problem solving.Key Wor

6、ds: Luo Hpitals rule undetermined type limit Problem Solving Method目錄摘要IABSTRACTII第1章緒論11.1 數(shù)學(xué)家羅必達(dá)簡介11.2 羅必達(dá)法則的提出11.3 掌握羅必達(dá)法則求極限的意義2第2章羅必達(dá)法則的定理32.1 定理的容32.2 定理的證明32.3 定理的限定條件分析82.4舉例解析各類未定式極限8第3章用羅必達(dá)法則解題應(yīng)注意的問題103.1 定理條件的限定性103.2 羅必達(dá)法則的失效103.3 使用羅必達(dá)法則解題過程繁瑣10第4章如何克服羅必達(dá)法則在解題中的弱點114.1結(jié)合恒等變形與極限四則運算簡化解題過

7、程114.2結(jié)合無窮小量替換簡化解題過程134.3結(jié)合泰勒公式簡化解題過程134.4結(jié)合拉格朗日中值定理簡化解題過程15總結(jié)37參考文獻(xiàn)38致39附錄40第1章 緒論1.1羅必達(dá)（LHospital）羅必達(dá)是十七世紀(jì)世界著名的數(shù)學(xué)家之一，1661年出生于法國的貴族家庭，1704年2月2日在巴黎去逝。他一生聰明好學(xué)，在15歲時就學(xué)會解旋轉(zhuǎn)線的問題。羅必達(dá)最突出的成就是對微積分學(xué)的貢獻(xiàn)，創(chuàng)造的羅必達(dá)法則傳至今日。羅必達(dá)早年曾在軍隊里擔(dān)任騎兵軍官職位，后來因為視力聽不佳而不得不退出軍隊。這也成為羅必達(dá)人生中一個重大的轉(zhuǎn)折點。此后羅必達(dá)潛心學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在瑞士數(shù)學(xué)家白努力的門下學(xué)習(xí)微積分，并成為法國新解析

8、的主要成員。羅必達(dá)所著的無限小分析（1696）一書是微積分學(xué)方面最早的教課書，在十八世紀(jì)時為一模著作，書中詳細(xì)介紹了用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限的算法。羅必達(dá)逝世后，白努利發(fā)表聲明該法則與許多的其它發(fā)現(xiàn)歸功于羅必達(dá)。其著作闡明曲線的無窮小分析 1696，是世界上第一本系統(tǒng)的微積分學(xué)教科書，他由一組定義和公理出發(fā)，全面地闡述了變量、無窮小量、切線、微分等概念，這對傳播微積分理論起了很大的作用。羅必達(dá)還寫作過幾何，代數(shù)與力學(xué)方面的文章。他亦計劃寫一本名為圓錐曲線分析論的書。但因天嫉英才，英雄早逝而未完成。其遺留的手稿由白努力幫其發(fā)表，于1720年巴黎出版。1.2羅必達(dá)法則的提出 十七世紀(jì)

9、著名法國數(shù)學(xué)家羅必達(dá)LHospital在微積分這個領(lǐng)域卓有成就，他最著名的著作是闡明曲線的無窮小分析，這是世界上第一本微積分的教科書，書中記載著著名的羅必達(dá)法。1696羅必達(dá)提出了處理和不定型極限的方法，后人命名為羅必達(dá)法則。1.3熟練掌握羅必達(dá)法則求極限的意義 羅必達(dá)法則的提出無疑是解決某些零比零或無窮比無窮型極限計算的一個簡便有力的工具?？墒菍W(xué)生在使用羅必達(dá)法則時經(jīng)常會得出一些錯誤的結(jié)果或者難以得出結(jié)果。這種現(xiàn)象，從教學(xué)和學(xué)習(xí)方法的角度來看是值得進(jìn)行分析研究的。 首先，學(xué)生在學(xué)習(xí)一個定理時往往習(xí)慣于記公式，套結(jié)論，不善于去分析公式中的條件。本文幫助學(xué)生去培養(yǎng)分析問題的能力。深刻理解定理的涵

10、，熟悉定理的使用條件，歸納總結(jié)解題的一般步驟，靈活使用各種方法輔助解題，開拓解題思路。 通過對羅必達(dá)法則的深入分析，能夠使讀者對羅必達(dá)法則學(xué)得深，學(xué)的活，進(jìn)而也培養(yǎng)學(xué)分析問題的能力。第2章 羅必達(dá)法則的定理2.1定理概述定理1 設(shè) （1）當(dāng)xa時，函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零； （2）在點a的某去心領(lǐng)域，; （3）（或為無窮大） 那么 這就是說，當(dāng)存在時，也存在且等于；當(dāng)為無窮大時，也是無窮大。這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為羅必達(dá)法則。定理2設(shè)（1） 當(dāng)時函數(shù)飛f(x)與F(x)都趨于零；（2） 當(dāng)|x|N時與都存在，且；（3） 存在（或為無窮大） 那

11、么 2.2 定理的證明 以定理1為例 定理2同理可證證：因為求與f(x)與F(x)無關(guān)，所以可以假定f(x)=F(x)=0于是由條件（1）（2）知道，f(x)與F(x)在點a的某一領(lǐng)域是連續(xù)的。設(shè)x是這個領(lǐng)域的一點，那么在以x與a為端點的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有(在x與a之間) 令xa,并對兩端求極限，注意到xa 時 ，再根據(jù)條件（3）便得證 如果 當(dāng)xa時仍是零比零型，且這時能滿足定理中f(x)與F(x)滿足的條件，那么可以極限使用羅必達(dá)法則先確定從而確定即且可以依次類推。2.3定理限定條件的分析的2.3.1羅必達(dá)法則的條件（1）告訴我們，只有不定型極限才能使用羅必達(dá)法則，在

12、每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢查所求極限是否屬這兩種類型的不定型。如果不是就不能使用羅必達(dá)法則，否則就會得出錯誤的結(jié)果。例1 求極限 這個極限既不是型的不定式，也不是型的不定式。如果使用羅必達(dá)法則就會得出如下錯誤的結(jié)果：事實上，根據(jù)極限運算法則有=1例2 求極限 同理這個極限也不是不定型，而是確定型。如果用羅必達(dá)法則會得出錯誤答案= =1而正確解法為：=0 由此可見，不是型或型的不定式就不能使用羅必達(dá)法則否則就會出錯。2.3.2 羅必達(dá)法則的條件（2）要求在a的某去心領(lǐng)域從而保證了洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。2.3.3分析羅必達(dá)法則的條件（3）尤其應(yīng)該注意此條件只是充分條件，而

13、不是必要條件。因此，當(dāng)極限不存在也不是時，就不能肯定原極限也不存在。這時，應(yīng)當(dāng)改用其他方法。例3： （用羅必達(dá)法則） = 由于右邊的極限不存在，故左邊的極限，即原極限也不存在。 這個結(jié)論是錯誤的，上式中的等號不成立。事實上，我們有 = =3/52.3.4羅必達(dá)定理給出的不定型只有兩種 型，型 而對于這些不定型如型的未定型，則應(yīng)先轉(zhuǎn)換為型型再來計算。具體解法將在下節(jié)詳細(xì)解析2.4 解析各類未定型極限 2.4.1對型極限的求解分析：例4:求 分析： 逐一判斷是否符合羅必達(dá)法則的使用條件，首先這是一個型的未定式極限問題，符合羅必達(dá)法則使用條件（1），其次每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢驗是否屬于型或型

14、未定式。若不是未定式，則不能再使用羅必達(dá)法則。此題解法如下 解：=（仍為型，可繼續(xù)使用羅達(dá)法則） =（同上） =（同上） =12.4.2 對型極限的求解分析例5 求 （n0) 分析：此題為型不定式極限，其解題步驟與型類似，需要注意的地方仍就是每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢驗 解：原式= = = 0例6 求 （n為正整數(shù)0) 解： 相繼應(yīng)用羅必達(dá)法則N次，得=.=02.4.3 對不定型極限的求解分析 1. 對于不定型極限，求解的思路主要是把它們轉(zhuǎn)化為型或型未定式 然后應(yīng)用羅必達(dá)法則解題。例7：求 解 這是未定式 因為=當(dāng)x時，上式右端是未定式，應(yīng)用羅必達(dá)法則，得=0例8： 求 解：此極限屬于型可

15、化為型未定式= = =例9： 求 解 這是未定式 應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為型，再應(yīng)用羅必達(dá)法則 因為= 當(dāng)X時，上式右端為型未定式，由羅必達(dá)法則求得=0例10： 求極限分析： 所求極限為 應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為型，再應(yīng)用羅必達(dá)法則 解：= = = = = =例11：求極限 分析：所求極限是型未定式，但是無法直接化為型或型的未定式。這時可從括號提出無窮大因子X,先化為型未定式，然后再通過換元化為型未定式求極限 解：= = = = = =2. 對于不定型極限，求解的思路一般是通過取對數(shù)求極限法再應(yīng)用羅必達(dá)法則例12： 求解 這是未定式 設(shè) y= 取對數(shù)得 lny=xlnx當(dāng)x時，上式右端是未定式則=0因為 y=, 而l

16、im y=lim =( 當(dāng)x時)所以 =1例13： 求 解 這是型未定式，恒等變形為= 由=- 所以= 評析： 此題用恒等變形求解，其實質(zhì)仍是取對的思想，但是它避免了引入未知數(shù)從而簡化解題過程。例14：求W=解： 這是型未定式 因為 = = =2 所以W=例15：:求W=分析：這是一個型未定式極限，其求法與類似 解：= = = =1第3章 使用羅必達(dá)法則解題應(yīng)注意的問題3.1注意定理的使用條件在前一章羅必達(dá)法則的定理分析中我已對定理的條件進(jìn)行了初步分析，下面我將結(jié)合具體例題從正反兩個方面不同角度來分析在用羅必達(dá)法則求極限時應(yīng)注意定理條件從而加深讀者的印像。3.1.1只有不定型極限才能直接使用羅

17、必達(dá)法則 請參考第九頁2.3.1 在此不再重復(fù)論述。3.1.2在每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢查所求極限是否屬于不定型。如果不是就不能再使用。例16： 求分析：此式為型未定式，符合羅必達(dá)法則 解：原式= = = = = 這個結(jié)果是錯誤的 。此極限雖然屬于型，但問題在于，在繼續(xù)使用羅必達(dá)法則時沒有堅持每次使用羅必達(dá)法則之前都要進(jìn)行檢查。 事實上，在連續(xù)使用兩次羅必達(dá)法則后，原極限已經(jīng)轉(zhuǎn)化成確定型了，因此正確解法是： （型）（用羅氏法則） =（型） =（確定型） =例17：問a,b取何值時，=1成立（a0) 解（1）（）=10（*） 而=0，由此得到=0，于是b=1，所以 = = = =1即a=4

18、 根據(jù)以上從左到右的推導(dǎo)，問題出在（*）式，即的存在性并沒有論證。根據(jù)羅比達(dá)法則的條件（2），只有當(dāng)存在時，（*）式才成立，這個問題往往被人們忽視，因此后面的兩步就失去了根基，所以解法（1）是錯誤的。 解（2）（）= 如果b1,則上式等于0，與已知條件矛盾；如果b=1，是型未定式，用羅必達(dá)法則求解，即（）=（） = = = = =1即a=4評析： 解法（2）求出 =后，討論了其存在性，排除b1的情形后，得出b=1；此時是型未定式，從而可繼續(xù)應(yīng)用羅必達(dá)法則進(jìn)行求解，避免了武斷上述極限存在的錯誤。該問題的關(guān)鍵還是討論的存在性，只有它存在，才能使用羅氏定理。每次使用羅必達(dá)法則之前，必須檢驗是否屬于不

19、定型。若不是未定式，則不能使用羅氏法則。又如：=，如果不檢驗，盲目地繼續(xù)使用羅必達(dá)法則，將得出錯誤的結(jié)果：=1.羅必達(dá)法則的條件是充分而非必要條件，也就是說，當(dāng)遇到不存在時（除外），不能斷定 不存在。這也是將要討論的使用定理的第三點需要注意的地方。 3.1.3當(dāng)遇到不存在時（除外），不能斷定 不存在。 例18：這是一個型的不定式。如果使用羅必達(dá)法則就得=但是當(dāng)x時，sinx cosx 震蕩不定，所以當(dāng)x時sinx cosx的極限都不存在。但是并不等于說不存在。事實上，適當(dāng)變形可得=1例19： 這是一個 型不定式。如果使用羅必達(dá)法則就得 = 當(dāng)x0時，的極限不存在，從而不存在。但是使用適當(dāng)變形由

20、極限運算法則有=0故存在3.2羅氏定理在某些情況下失效3.2.1當(dāng)時,函數(shù)式中包含或和當(dāng)時，函數(shù)式中包含sinx或cosx羅必達(dá)法則失效。例20: 求分析： 此極限是 型不定式，將分子分母分別求導(dǎo)后的極限為由于極限式子中含有，該極限震蕩不能繼續(xù)求導(dǎo)，但是不能說原極限不存在。此時只能說羅必達(dá)法則對此題失效.例21：證明極限存在，但是不能用羅必達(dá)法則計算 證： 因為= = =1 但是= = 不存在 因此，不能用羅必達(dá)法則來求解 評析： 此題雖然當(dāng)時是型，但是分子分母導(dǎo)數(shù)之比的極限屬于震蕩型不存在，由此而斷定原極限不存在時錯誤的。此例表明，應(yīng)用羅必達(dá)法則的條件不具備，需用其它方法來求解，即羅必達(dá)法則

21、失效。3.2.2在連續(xù)使用羅必達(dá)法則后，如果出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，也說明羅必達(dá)法則失效。例22:這是一個型未定式，如果連續(xù)使用羅必達(dá)法則就得 原式= = =出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象。這說明羅氏法則失效，應(yīng)當(dāng)使用其它方法，求解如下= = =1或者通過適當(dāng)變形后，再使用羅必達(dá)法則求解=1評析：羅必達(dá)法則是求不定型極限的有力工具，但不是所有不定式求值問題都能解決，該法則是有局限性的。在下一章將著重闡述如何克服羅必達(dá)法則的這些弱點。3.3對于某些題目使用羅必達(dá)法則解題過程繁瑣。例23：求 此題如果不先化簡，則相當(dāng)繁，導(dǎo)致難得出結(jié)論（）= =（） = = =例24：求極限 分析：此極限雖然是型未定式，但是分子，分母各自求導(dǎo)

22、以后，由于分母中含有和這樣的復(fù)雜式子，求導(dǎo)后所得的極限式會變得更加復(fù)雜。為克服這一弱點，可考慮利用泰勒公式適當(dāng)展開后在計算。這將在下一章4.5中詳細(xì)介紹。例25：求極限（） 分析：此題若用羅必達(dá)法則求解過程很繁瑣，如果使用下一章介紹的等價無窮小量替換則會起到“柳暗花明”的效果。第4章 羅必達(dá)法則在解題中的弱點克服4.1結(jié)合極限四則運算簡化解題過程有些人學(xué)了羅必達(dá)法則后，常常習(xí)慣于一遇到不定型就直接使用羅必達(dá)法則，而不是先觀察式子能否化簡，能否將某些確定型因式提出單獨求極限（即不參與求導(dǎo)運算）。應(yīng)當(dāng)指出，這樣做有時是相當(dāng)繁瑣的起到事倍功半的效果，甚至難以求出結(jié)果。因此，每次使用羅必達(dá)法則之前，一

23、般宜先化簡。例26：（） =（） = = =5例27：求極限 （） =（）先化簡 = （先將確定型因式2提出單獨求極限） =2 =2（）用羅必達(dá)法則 = =1例28：求極限 原式 = =+ =+ =+ =+ =+ = =1評析： 此例先用了加項，減項，等價無窮小替換，再運用羅必達(dá)法則和重要極限，結(jié)合極限四則運算法則大大簡化了計算。 例29：求極限W= 解：W= = =- =- =- =- =- 評析：此題結(jié)合恒等變形與極限四則運算法則大大簡化了解題過程，如果只采用羅必達(dá)法則計算將非常復(fù)雜難以得出正確結(jié)果。例30：求極限W= 分析：極限式子中含有tan(a+x)tan(a-x)這樣的復(fù)雜三角函數(shù)

24、式，如果直接使用羅必達(dá)法則求解將會很棘手，因此必須利用三角函數(shù)恒等變形和極限四則運算法則來解答此題。 解：W= = =例31：求極限W= 解析：恒等變形：分子分母同乘 得 W= = = = = =4.2結(jié)合無窮小量替換簡化解題過程例32：求極限 解：原式= =（其中） 由（)知后面一個極限為1 =1例33：求極限W= 解：先做恒等變化與等價無窮小量替換再用羅必達(dá)法則 W= = =例34：設(shè)常數(shù)a0,求W=分析：這是零比零未定型，若直接用羅必達(dá)法則復(fù)雜。這里先分離出非未定式因子，再用無窮小量替換；若a0則，最后用羅必達(dá)法則求解。解：= = = = =例35：求極限 解：因為，故該極限為型未定式，

25、可化為零比零型未定式并結(jié)合等價無窮小量替換，最后用羅必達(dá)法則求極限。 原式= = = = =0例36：求極限W=解：將分母先作等價無窮小替換后再用羅必達(dá)法則，其中 W= = = = = = =-4.3結(jié)合泰勒公式簡化解題過程例37：求極限解：將復(fù)雜式子和cosx用泰勒公式展開=1+（）+（X） cosx=1- 則 cosx-= 因此= =- =- =-例38：求極限 解：因為 將其代人得：=-2+0=-2例39 求極限 解：將代人極限式 原式= =4.4結(jié)合拉格朗日中值定理簡化解題過程例40求極限 分析：此極限若直接用羅必達(dá)法則求解很繁瑣，但是先用拉格朗日中值定理轉(zhuǎn)換分子，再用羅必達(dá)法則求解就

26、簡單多了。解：當(dāng)所以在區(qū)間sinx,x上對函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理可得其中，由于當(dāng)= = = = = =例41：求極限解：滿足拉格朗日定理，得 則= = = =0總 結(jié)我從一開始寫這篇文章時對求極限問題只是有一些膚淺的了解，但是我對如何使用好羅必達(dá)法則求極限這個問題很有興趣，通過上網(wǎng)查閱資料對羅必達(dá)法則的定理，使用方法等進(jìn)行了系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和研究，然后我才開始著手寫這篇文章。在寫這篇文章的過程中我又學(xué)到了很多以前還沒掌握好的知識，對使用羅必達(dá)法則解題更加熟練了。于此同時我對其它的一些求極限的方法也進(jìn)行了研究學(xué)習(xí)，通過將其他求極限方法與羅必達(dá)法則的對比加強了自己求極限問題的能力。 這篇文章從羅必達(dá)法

27、則的定理出發(fā)，采用層層深入的方法來解析如何用好羅必達(dá)法則解題，首先詳細(xì)的敘述了定理的容，并給出了定理的證明過程。然后著重強調(diào)了在解題中應(yīng)注意的幾個問題，這也是如何用好羅必達(dá)法則解題的基礎(chǔ)，只有注意了這些問題才能夠正確的使用羅必達(dá)法則。接著我對各種類型未定式極限從不同角度選取了正反方面的典型例題進(jìn)行了詳細(xì)的解析，并在每道題目的開始進(jìn)行了思路分析，在每道題目的末尾進(jìn)行了總結(jié)評析。從而讓讀者更明白用羅必達(dá)法則解題的思路，步驟。 最后，這篇文章的重點是第三章和第四章，在第三章中我分析了羅必達(dá)法則求不定式極限失效的幾種情況，指出了羅必達(dá)法則解題的局限性。這也是學(xué)生在學(xué)習(xí)羅必達(dá)法則的過程中常常遇到的棘手問題。只有解決了這些問題才能真正的熟練掌握羅必達(dá)法則并且靈活運用它來解題而第四章正是對第三章的補充解答。在第四章中我分析了如何克服羅必達(dá)法則的弱點。主要的思路是結(jié)合各種求極限的方法來解答有一定難度的題目。其中有些題目是以羅必達(dá)法則為主，輔以其它的解法。也有一些題目主要是用其他求極限方法來解題，通過化簡最后再使用了羅必達(dá)法則解題。當(dāng)然并不是每個題目都必須要使用羅必達(dá)法則來解答，但是為了加深讀者對羅必達(dá)法則的理解，我在所有例