分式概念及意義

1、分式的意義和性質(zhì) 一、分式的概念 1、用A、B表示兩個整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。這就是分式的概念。研究分式就從這里展開。 2、既然除式里含有字母的有理代數(shù)式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意數(shù)值，但分母B不能為零，因為用零做除數(shù)沒有意義。一般地說，在一個分式里，分子中的字母可取任意數(shù)值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.（1）分式：，當(dāng)B=0時，分式無意義。 （2）分式：，當(dāng)B0時，分式有意義。 （3）分式：，當(dāng) 時， 分式的值為零。 （4

2、）分式：，當(dāng) 時， 分式的值為1。 （5）分式：，當(dāng) 時，即或時，為正數(shù)。 （6）分式：，當(dāng)時，即或時，為負數(shù)。 （7）分式：，當(dāng)時或時，為非負數(shù)。 三、分式的基本性質(zhì)： 1、學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)應(yīng)該與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比。不同點在于同乘以或同除以同一個不等于零的整式，這個整式可以是數(shù)也可以是字母，只要是不為零的整式。 2、這個性質(zhì)可用式子表示為：（M為不等于零的整式） 3、學(xué)習(xí)基本性質(zhì)應(yīng)注意幾點： （1）分子與分母同乘或同除的整式的值不能為零； （2）易犯錯誤是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子； （3）如果分子或分母是多項式時，必須乘以多項式的每一項。 4、分式變號法則的依據(jù)是分式的基本性

3、質(zhì)。 5、分式的分子，分母和分式的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，如下列式子： ，。 四、約分： 1、約分是約去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化簡為最簡分式，最簡分式又叫既約分式。 2、約分的理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。 3、約分的方法： （1）如果分式的分子和分母都是幾個因式乘積的形式，就約去分子和分母中相同因式的最低次冪，當(dāng)分子和分母的系數(shù)是整數(shù)時，還要約去它們的最大公約數(shù)。 例1，請說出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。 解：根據(jù)分式定義知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整

4、式。 說明：判斷一個代數(shù)式是否是分式要緊緊抓住除式中含不含字母。這里是分式，不能因為=a+b，而認為是整式，a+b是分式的值。要區(qū)分分式的值和分式這兩個不同的概念。另外是整式而不是分式。雖然分母中有，但不是字母而是無理數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的除式中不含字母。 例2，在分式（1）（2）（3）中，字母x的值有什么限制？ 解：（1）在中，當(dāng)x=2時，使得分母x-2=0， x2, （2）在中，當(dāng)x=-2時，使得分母x+2=0, x-2, （3）在中，當(dāng)x=-2或x=3時，使得分母(x+2)(x-3)=0， x-2且x3。 例3，x為何值時，分式，（1）無意義；（2）值為零；（3）值為1；（4）值為

5、非負數(shù)。 解：（1） 當(dāng)分母2x+3=0時分式無意義， x=-時，分式無意義。 （2） 當(dāng)時，分式值為零。 ， x=1時分式值為零。 （3） 當(dāng)時，分式值為1， x=-4時分式值為1。 （4） 當(dāng)或 時，分式值為非負數(shù)。 或 x1或x<-時分式值為非負數(shù)。 例4，當(dāng)x取何值時，分式（1）值為零；（2）無意義；（3）有意義。 解：（1） 當(dāng)(x+3)(x-1)0時，分式有意義， 當(dāng)x-3且x1時分式有意義。 又 6-2|x|=0時分式值為零，則3-|x|=0, |x|=3, x=±3。 ， x=3時分式值為零。 （2） (x+3)(x-1)=0分式無意義， 即x+3=0或x-1=

6、0， x=-3或x=1時分式無意義。 說明：對于（1）也可先令分子為零，求出字母的所有可能值為x=±3后，再逐一代入分母驗證是否為零，不為零者即為所求。 對于（2）當(dāng)x+3=0或x-1=0時，都會使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。 解：（3） (x+3)(x-1)0時分式有意義。 即x+30且x-10時， x-3且x1時分式有意義， 說明：對于（3）分母(x+3)(x-1)只有不為零時，分式有意義，而(x+3)(x-1)0，當(dāng)x+3=0或x-1=0都會使(x+3)(x-1)=0，所以應(yīng)將x=-3和x=1都同時排除掉，寫成x-3且x1，用“且”字，而不用“或”字。意義為x不

7、能為-3而且還不能為1，即-3和1都不能取。因為取任何其中一個值，分母(x+3)(x-1)都會為0，而使分式都會無意義。 例5，寫出等式中未知的分子或分母： （1）；（2）；（3）； （1）分析：這類問題要從已知條件入手，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分析變化的過程，如（1）右邊分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左邊分母為x+y，所以需將左式的分子和分母同乘以(x-y)。 解：， 未知的分子是(x-y)2, （2）分析：左邊分子a2-ab=a(a-b)，而右邊分子是a-b，所以需將左式的分子和分母同除以a。 解：=，未知的分母是b。 （3） a2+ab=a(a+b)（將分子因式分解） （比較分子，

8、發(fā)現(xiàn)分子、分母同乘以a） =，2ab即為所求的分母。 例6，把下列分式的分子和分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)。 （1）；（2）； （1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍數(shù)為15，再據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，分子和分母同乘以15。 解：=。 （2）解：= 注：必須乘以分子和分母的每一項，避免發(fā)生(0.2a+3b)×10=2a+3b這樣的錯誤。 例7，不改變分式的值，使下列分式中分子與分母不含“-”號，（1）-；（2）-。 解：根據(jù)分式的符號法則得： （1）-=；（2）-=-。 注意：分式、分子和分母的符號中，任意改變其中兩個，分式的值不變。（1）中改變分式本身和分母兩個負號，（2）中改

9、變分子和分母兩個負號。 例8，不改變分式的值，依照x的降冪排列，使分子和分母中x的最高項的系數(shù)都為正數(shù)。 （1）；（2）-。 解：（1）=； （2）-=-=- =-。 說明：解題可分為三步：（1）先將分式的分子和分母都按x的降冪排列，這步只是運用加法交換律，不改變符號。（2）將分子和分母的最高項系數(shù)化為正數(shù)，只要提取公因式-1即可，提取時注意每項都要變號。（3）運用符號法則進行變號。 注意：如果分子或分母的首項為負，則必須先將負號提到括號外面，再使用符號法則，要注意避免下列的錯誤： =。 例9，約分：（1）（2）。 解：（1）=-3yz10。 注意：分母的因式約去后得1，分式變?yōu)檎?。若化簡?/p>

10、式時千萬不要犯下列錯誤： =0。 （2）=-。 注意：分母的負號一般要移去。 （2）如果分式的分子或分母是多項式，應(yīng)先分解因式，然后再約分。 例10、約分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 解：（1）=。 注意：不要把約成=，也不要將最后結(jié)果寫成，因為分式的橫線表示括號，再寫括號就多余了。 （2）=。 注：不要將約做，因為這樣是分子分母都減a2，不是同除以相同的整式。 （3）=x2+1。 注：不要犯下面的錯誤：=x3-x2。 （4）= =-。 注意：這里應(yīng)用到了(2-x)3=-(x-2)3的變形。 （5）=（分子按x的降冪排列） =（分子提取公因式-1） =（分子、分母都分解因式） =

11、（約去公因式：x-1） =-（應(yīng)用分式的符號法則） 說明：此題的解法，一方面顯示出分式約分的一般步驟，另一方面在解題的右側(cè)的括號內(nèi)寫出運算的算理，平日的化簡是不寫這些的，但不是它不存在，在思維上它是不可缺少的。 分?jǐn)?shù)的乘除法的關(guān)鍵是約分，而分式乘除法的關(guān)鍵也是約分，就是說，分式乘除法運算的實質(zhì)是約分，它能使運算的結(jié)果化為最簡分式。同分?jǐn)?shù)的約分一樣，分式的約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，把分式的分子、分母同除以它們的公因式，把分式化簡，因此約分的關(guān)鍵在于正確尋找到分式分子、分母中的公因式。 附錄： 一、本講教學(xué)內(nèi)容及要求 單元 節(jié)次 知識要點 教學(xué)要求 分 式 分式 （1）分式概念 （2）有理式概念 A（了解） A 分式的基本性質(zhì) （1）分式的基本性質(zhì) （2）分式的符號法則 D（靈活運用） C（掌握） 分式的約分 （1）約分和最簡分式 （2）約分的根據(jù) （