中考數(shù)學(xué)專題：固定邊的等腰三角形與二次函數(shù)問題(解析版)

1、專題29 固定邊的等腰三角形與二次函數(shù)問題1、如圖1，已知拋物線y=x24x+5交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD（1）求直線AD的解析式（2）點(diǎn)E（m，0）、F（m+1，0）為x軸上兩點(diǎn)，其中（5m3.5）EE、FF分別平行于y軸，交拋物線于點(diǎn)E和F，交AD于點(diǎn)M、N，當(dāng)ME+NF的值最大時，在y軸上找一點(diǎn)R，使得|RERF|值最大，請求出點(diǎn)R的坐標(biāo)及|RERF|的最大值（3）如圖2，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PAC是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，請出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PAC的面積，若不存在，請說明理由。【答案】（1）y=3x+15；（2）點(diǎn)

2、R的坐標(biāo)是（0，17），最大值為10；（3）存在，P（3292,3+292 ），P（3292,3292），面積為529+102 【解析】（1）如圖1，y=x24x+5=（x+5）（x1）或y=（x+2）2+9，A（5，0），B（1，0），D（2，9）設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b（k0），把A、D的坐標(biāo)代入，得，解得故直線AD的解析式為：y=3x+15； （2）如圖1，EEy軸，F(xiàn)Fy軸，E（m，0）、F（m+1，0），E（m，m24m+5）、F（m+1，（m+1）24（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），ME=m24m+5（3m+15）=m27m10，

3、NF=m29m18，ME+NF=m27m10m29m18=2m216m2820，m=4，ME+NF有最大值，此時E（4，5），F(xiàn)（3，8），要使|RERF|值最大，則點(diǎn)E、F、R三點(diǎn)在一條直線上，設(shè)直線EF：y=kx+b（k0），則，解得，直線EF：y=3x+17（k0）當(dāng)x=0時，y=17，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是（0，17）此時，|RERF|的最大值為=； （3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P（x，x24x+5）當(dāng)PA=PC時，點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，OC=OA，點(diǎn)O在線段AC的垂直平分線上，點(diǎn)P在AOC的角平分線上，x=x24x+5，解得x1=，x2=，P（，），P（，）PH=OPOH=，PH=OP+OH=

4、，SPAC=ACPH=×5×=或SPAC=ACPH=×5×=2、已知一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象相交于和，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作軸，與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（1）求的值；（2）求線段長的最大值；（3）當(dāng)為的等腰直角三角形時，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）1，3；（2）最大值為；（3）【解析】解：（1）在直線上，又在拋物線上，解得（2）設(shè)，則，當(dāng)時，有最大值，最大值為（3）如圖，為的等腰三角形且軸，連接，軸，化簡，得，解得，（不合題意，舍去）當(dāng)時，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y

5、=ax2+bx+c經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，連結(jié)AC，A(-1,0)（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（m，n）是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，求四邊形OCPB面積S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式及S的最大值；（3）若M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線BC上，點(diǎn)N在直線BM上，Q，M，N三點(diǎn)構(gòu)成以MN為底邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）S=（m）2+，當(dāng)m=時，S有最大值是；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）或（1，8）【解析】解：（1）直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)x=0時，y=3，C（0，3），OC=3，當(dāng)y=0時，-x+3=0，x=3，B（3，

6、0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），a=-1，y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）如圖1，過P作PEx軸于E，P（m，n），OE=m，BE=3-m，PE=n，S=S梯形COEP+SPEB=OE（PE+OC）+BEPE，=m（n+3）+n（3-m），=m+n，n=-m2+2m+3，S=m+（-m2+2m+3）=-m2+m+=-（m-）2+，當(dāng)m=時，S有最大值是；（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，M（1，4），設(shè)直線BM的解析式為：y=kx+b，把B（3，0），M（1，4）代入得：，解得：，直線BM

7、的解析式為：y=-2x+6，設(shè)N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），分兩種情況：當(dāng)N在射線MB上時，如圖2，過Q作EFy軸，分別過M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，EQN是等腰直角三角形，MQ=QN，MQN=90°，EQM+FQN=90°，EQM+EMQ=90°，F(xiàn)QN=EMQ，QEM=QFN=90°，EMQFQN，EM=FQ，EQ=FN，解得：，當(dāng)a=2時，y=-2a+6=-2×2+6=2，N（2，2），當(dāng)N在射線BM上時，如圖3，同理作輔助線，得ENQFQM，EN=FQ，EQ=FM，解得：，N（-1，8），綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2

8、，2）或（-1，8）4、拋物線yax2+bx3（a0）與直線ykx+c（k0）相交于A（1，0）、B（2，3）兩點(diǎn)，且拋物線與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（3）在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P，若PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1）yx22x3;（2）C（0，3）,D（0，1）;（3）P（1+，2）.【思路引導(dǎo)】（1）把A（1，0）、B（2，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入yax2+bx3可得拋物線解析式（2）當(dāng)x0時可求C點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AB解析式，當(dāng)x0可求D點(diǎn)坐標(biāo)（3）由題意可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入拋物線解析式可求P點(diǎn)橫坐標(biāo)【解析】解：（1）把A（1

9、，0）、B（2，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入yax2+bx3可得 解得 yx22x3（2）把x0代入yx22x3中可得y3C（0，3）設(shè)ykx+b，把A（1，0）、B（2，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解得 yx1D（0，1）（3）由C（0，3），D（0，1）可知CD的垂直平分線經(jīng)過（0，2）P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，x22x32解得：x1±，x0x1+P（1+，2）【方法總結(jié)】本題是二次函數(shù)綜合題，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，把x0代入二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可求圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，知道點(diǎn)P縱坐標(biāo)帶入拋物線解析式可求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：yax2+bx1經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)和點(diǎn)

10、B(1，1)，拋物線C2：y2x2+x+1，動直線xt與拋物線C1交于點(diǎn)N，與拋物線C2交于點(diǎn)M（1）求拋物線C1的表達(dá)式；（2）直接用含t的代數(shù)式表達(dá)線段MN的長；（3）當(dāng)AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值【答案】（1）yx2+x1；（2）MNt2+2；（3）t0或1【解析】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，故拋物線C1的表達(dá)式為：yx2+x1；（2）點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t1），則MN（2t2+t+1）（t2+t1）t2+2；（3）當(dāng)ANM90°時，ANMN，ANt（2）t+2，MNt2+2，tt2+2，解

11、得：t0或1（舍去0），故t1；當(dāng)AMN90°時，AMMN，AMt+2MNt2+2，解得：t0或1（舍去1），故t1；綜上，t0或16、如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，P始終與x軸相交；（3）設(shè)P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標(biāo)圖1思路點(diǎn)撥1不算不知道，一算真奇妙，原來P在x軸上截得的弦長MN4是定值2等腰三角形AMN存在三種情況，其中MAMN和N

12、ANM兩種情況時，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的滿分解答（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2，得解得（舍去了負(fù)值）（2）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng)AMAN時，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0圖2 圖3如圖4，當(dāng)MAMN時，在RtAOM中，OA2，AM4，所以O(shè)M2此時xOH2所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為如圖

13、5，當(dāng)NANM時，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為圖4 圖5考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0, 1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，P始終與直線y1相切這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，P始終與直線y1相切7、如圖1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DEBC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動點(diǎn)，且PDQ90°（1）求ED、EC的長；（2）若BP2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若PDF

14、為等腰三角形，求BP的長圖1 備用圖思路點(diǎn)撥1第（2）題BP2分兩種情況2解第（2）題時，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ滿分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如圖2，過點(diǎn)D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當(dāng)BP2，P在BM上時，PM1此時所以如圖4，當(dāng)BP2，

15、P在MB的延長線上時，PM5此時所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時，CDQ也是等腰三角形如圖5，當(dāng)CQCD5時，QNCQCN541（如圖3所示）此時所以如圖6，當(dāng)QCQD時，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時所以不存在DPDF的情況這是因?yàn)镈FPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點(diǎn)伸展如圖6，當(dāng)CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解9、如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,

16、0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1 思路點(diǎn)撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x3)，代入點(diǎn)C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如

17、圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H由，BOCO，得PHBH2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, 2)圖2（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)如圖5，當(dāng)CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0

18、或6當(dāng)M(1, 6)時，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)圖3 圖4 圖59、如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1思路點(diǎn)撥1用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BCy軸，垂足為C

19、在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入點(diǎn)B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng)OPOB4時，OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時，BP216所以解得當(dāng)PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示圖2 圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點(diǎn)為因此所以DOA30°，ODA120°10、如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l/y軸動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點(diǎn)A運(yùn)動；同時直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時間為