第五章概率與分布

1、第五章第五章 概率與概率分布概率與概率分布 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 一、概率的基本概念一、概率的基本概念 二、概率分布的類型二、概率分布的類型 三、二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)知識三、二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)知識一、概率的基本概念一、概率的基本概念1、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象 確定性現(xiàn)象：在一定條件下事先可以斷言確定性現(xiàn)象：在一定條件下事先可以斷言必然會發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象。必然會發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象。 必然現(xiàn)象必然現(xiàn)象 不可能現(xiàn)象不可能現(xiàn)象 一、概率的基本概念一、概率的基本概念隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，事先不能斷言會隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，事先不能斷言會出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象。出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象。隨機(jī)試驗(yàn)：我們把對隨機(jī)

2、現(xiàn)象的一次觀察叫隨機(jī)試驗(yàn)：我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察叫做一次隨機(jī)試驗(yàn)。做一次隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結(jié)隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結(jié)果。簡稱事件。果。簡稱事件。 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件所謂所謂隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)是指具有下面三個特點(diǎn)的試驗(yàn)：是指具有下面三個特點(diǎn)的試驗(yàn)：（1 1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行。）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行。（2 2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，并且能事）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。（3 3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出

3、現(xiàn)。出現(xiàn)。 隨機(jī)試驗(yàn)在本課中簡稱為試驗(yàn)，常用隨機(jī)試驗(yàn)在本課中簡稱為試驗(yàn)，常用E E表示表示。一、概率的基本概念一、概率的基本概念2、事件與概率、事件與概率（1）事件）事件頻率頻率F:在在N次重復(fù)試驗(yàn)中事件次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)n,計(jì)算出計(jì)算出n與試驗(yàn)總次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)N的比值，即事件的比值，即事件A發(fā)生的頻率，記作發(fā)生的頻率，記作概率概率P：我們把隨機(jī)事件：我們把隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大發(fā)生的可能性的大小稱作隨機(jī)事件小稱作隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作發(fā)生的概率，記作P(A)。頻率是事件發(fā)生的外在表現(xiàn)，而概率才體現(xiàn)頻率是事件發(fā)生的外在表現(xiàn)，而概率才體現(xiàn)事件發(fā)生的內(nèi)在實(shí)質(zhì)。事件發(fā)生

4、的內(nèi)在實(shí)質(zhì)。一、概率的基本概念一、概率的基本概念（2）概率）概率后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率(統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)概率) 在對隨機(jī)事件進(jìn)行在對隨機(jī)事件進(jìn)行n次觀測次觀測時，其中某一隨機(jī)事件時，其中某一隨機(jī)事件A出現(xiàn)了出現(xiàn)了m次，則次，則m/n稱為事件稱為事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻率。隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事頻率。隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件件A的頻率將穩(wěn)定在某一常數(shù)的頻率將穩(wěn)定在某一常數(shù)p，則此常數(shù)則此常數(shù)p就是事件就是事件A出現(xiàn)概率出現(xiàn)概率的近似值，可表示為：的近似值，可表示為：nmAP)( 以隨機(jī)事件以隨機(jī)事件A在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的穩(wěn)定頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的穩(wěn)定頻率值作為隨機(jī)事件值作為隨機(jī)事件A的概率估計(jì)值，這種求

5、得的概的概率估計(jì)值，這種求得的概率叫做率叫做后驗(yàn)概率。后驗(yàn)概率。 特點(diǎn)：在研究或試驗(yàn)之前，事件的成功或失敗事特點(diǎn)：在研究或試驗(yàn)之前，事件的成功或失敗事先是無法知道的，故要算它成功或失敗的概率，先是無法知道的，故要算它成功或失敗的概率，只有借助試驗(yàn)結(jié)果來估計(jì)其概率。只有借助試驗(yàn)結(jié)果來估計(jì)其概率。 統(tǒng)計(jì)概率實(shí)際上是歷史上同類事物發(fā)生的穩(wěn)定的頻率。如統(tǒng)計(jì)概率實(shí)際上是歷史上同類事物發(fā)生的穩(wěn)定的頻率。如通過大量觀察，古今中外大量新生男性嬰兒：女性嬰兒通過大量觀察，古今中外大量新生男性嬰兒：女性嬰兒=107：100。再比如某企業(yè)賣出。再比如某企業(yè)賣出5000臺電腦就有臺電腦就有40臺返臺返修，則該企業(yè)電腦

6、返修的概率為修，則該企業(yè)電腦返修的概率為0.8% 。一、概率的基本概念一、概率的基本概念先驗(yàn)概率（古典概率）先驗(yàn)概率（古典概率） 先驗(yàn)概率是通過古典概先驗(yàn)概率是通過古典概率模型加以定義的，故又率模型加以定義的，故又稱之古典概率。古典概率稱之古典概率。古典概率要求滿足兩個條件要求滿足兩個條件:試驗(yàn)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的所有可能結(jié)果(即基本事即基本事件件)是有限的；是有限的；每一種基每一種基本事件出現(xiàn)的可能性相等。本事件出現(xiàn)的可能性相等。如果基本事件的總次數(shù)為如果基本事件的總次數(shù)為n，事件，事件A包括包括m個基本事個基本事件，件， 則事件則事件A的概率為：的概率為：nmAP)( 先驗(yàn)概率是在特定條件

7、下計(jì)算出來的，是先驗(yàn)概率是在特定條件下計(jì)算出來的，是隨機(jī)事件的真實(shí)概率，不是由頻率估計(jì)出隨機(jī)事件的真實(shí)概率，不是由頻率估計(jì)出來的。當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)較多時，后驗(yàn)概率來的。當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)較多時，后驗(yàn)概率也就接近先驗(yàn)概率。也就接近先驗(yàn)概率。 特點(diǎn)：在事先就已經(jīng)知道有關(guān)事件出現(xiàn)的特點(diǎn)：在事先就已經(jīng)知道有關(guān)事件出現(xiàn)的事實(shí)，在試驗(yàn)或研究之前，我們就能決定事實(shí)，在試驗(yàn)或研究之前，我們就能決定事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的概率。一、概率的基本概念一、概率的基本概念3、概率的基本性質(zhì)、概率的基本性質(zhì)任一隨機(jī)事件任一隨機(jī)事件A的概率取值范圍都在的概率取值范圍都在0與與1之間，之間，即即必然事件必然事件(是指在一定條件下

8、必然發(fā)生的事件，記是指在一定條件下必然發(fā)生的事件，記做做)的概率等于的概率等于1，即，即 。不可能事件不可能事件(是指在一定條件下必然不發(fā)生的事件，是指在一定條件下必然不發(fā)生的事件，記做記做)的概率等于的概率等于0，即，即1)(0AP1)(P0)(P一、概率的基本概念一、概率的基本概念4、概率的兩個基本定理、概率的兩個基本定理（1）概率的加法定理）概率的加法定理 兩個互不相容事件兩個互不相容事件A、B之和的概率，等于兩個事之和的概率，等于兩個事件概率之和。即件概率之和。即: 所謂互不相容事件是指在一定試驗(yàn)中，若事件所謂互不相容事件是指在一定試驗(yàn)中，若事件A發(fā)發(fā)生，則事件生，則事件B就一定不發(fā)生

9、。此定理可推廣到有限就一定不發(fā)生。此定理可推廣到有限多個互不相容事件中。即下面推論。多個互不相容事件中。即下面推論。)()()(BPAPBAPniiniiAPAP11)()( 例例1：盒中共：盒中共20支粉筆，其中紅粉筆支粉筆，其中紅粉筆6支，支，黃粉筆黃粉筆5支，綠粉筆支，綠粉筆2支，白粉筆支，白粉筆7支。問任支。問任意摸得一支紅色或綠色粉筆的概率是多少？意摸得一支紅色或綠色粉筆的概率是多少？一、概率的基本概念一、概率的基本概念（2）概率的乘法定理）概率的乘法定理 兩個獨(dú)立事件同時都發(fā)生的概率，等于這兩個事件概率的乘兩個獨(dú)立事件同時都發(fā)生的概率，等于這兩個事件概率的乘積。用公式表示積。用公式

10、表示: 所謂獨(dú)立事件是指一個事件的出現(xiàn)對另一個事件所謂獨(dú)立事件是指一個事件的出現(xiàn)對另一個事件 的出現(xiàn)不的出現(xiàn)不發(fā)生影響，如果事件發(fā)生影響，如果事件A的概率隨事件的概率隨事件B是否出現(xiàn)而改變，事是否出現(xiàn)而改變，事件件B的概率隨事件的概率隨事件A是否出現(xiàn)而改變，則這兩個事件稱為相是否出現(xiàn)而改變，則這兩個事件稱為相關(guān)事件。乘法定理也可推廣到有限多個獨(dú)立事件中，即關(guān)事件。乘法定理也可推廣到有限多個獨(dú)立事件中，即:推論推論:有限個獨(dú)立事件都同時發(fā)生的概率，等于這些概率的乘有限個獨(dú)立事件都同時發(fā)生的概率，等于這些概率的乘積。即積。即)()()(BPAPABP)().().().(nnAPAPAPAAAP2

11、121 例例2：某專業(yè)研究生復(fù)試，讓考生從：某專業(yè)研究生復(fù)試，讓考生從6個試個試題中任意抽取一題進(jìn)行口試，若抽到每題中任意抽取一題進(jìn)行口試，若抽到每1題題的概率為的概率為1/6，前一考生抽過的試題再放回，前一考生抽過的試題再放回，后一考生再抽，問后一考生再抽，問2個考生都抽到試題個考生都抽到試題1的的概率是多少？概率是多少？ 例例3: 擲骰子游戲中，兩個骰子擲一次時，擲骰子游戲中，兩個骰子擲一次時，問擲得問擲得11點(diǎn)數(shù)的概率是多少？點(diǎn)數(shù)的概率是多少？二、概率分布的類型二、概率分布的類型 概率分布是指對隨機(jī)變量取值的概率概率分布是指對隨機(jī)變量取值的概率分布情況用數(shù)學(xué)方法（函數(shù)）進(jìn)行描分布情況用數(shù)

12、學(xué)方法（函數(shù)）進(jìn)行描述。述。二、概率分布的類型二、概率分布的類型離散分布和連續(xù)分布離散分布和連續(xù)分布:按照隨機(jī)變量是否具按照隨機(jī)變量是否具有連續(xù)性來劃分。有連續(xù)性來劃分。 離散分布：隨機(jī)變量只取孤立的數(shù)值時，這種離散分布：隨機(jī)變量只取孤立的數(shù)值時，這種隨機(jī)變量稱之離散型隨機(jī)變量，離散隨機(jī)變量的隨機(jī)變量稱之離散型隨機(jī)變量，離散隨機(jī)變量的概率分布，簡稱離散分布。常見的離散分布是二概率分布，簡稱離散分布。常見的離散分布是二項(xiàng)分布。項(xiàng)分布。 連續(xù)分布：指連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布，連續(xù)分布：指連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布， 也也就是測量數(shù)據(jù)的概率分布，它用連續(xù)隨機(jī)變量的就是測量數(shù)據(jù)的概率分布，它用連續(xù)隨機(jī)變量的

13、分布函數(shù)描述其分布規(guī)律。常見的連續(xù)隨機(jī)變量分布函數(shù)描述其分布規(guī)律。常見的連續(xù)隨機(jī)變量的分布為正態(tài)分布。的分布為正態(tài)分布。二、概率分布的類型二、概率分布的類型經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布：經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布：如果按照分布函如果按照分布函數(shù)的來源來劃分，則可分為經(jīng)驗(yàn)分布和理數(shù)的來源來劃分，則可分為經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布。論分布。 經(jīng)驗(yàn)分布：是指根據(jù)觀察或試驗(yàn)所獲得經(jīng)驗(yàn)分布：是指根據(jù)觀察或試驗(yàn)所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對頻率分布。的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對頻率分布。 理論分布：有兩個含義，一是指隨機(jī)變理論分布：有兩個含義，一是指隨機(jī)變量的次數(shù)函數(shù)量的次數(shù)函數(shù)數(shù)學(xué)模型；二是指按數(shù)學(xué)模型；二是指按照某種數(shù)學(xué)模

14、型計(jì)算出的總體的次數(shù)分布。照某種數(shù)學(xué)模型計(jì)算出的總體的次數(shù)分布。二、概率分布的類型二、概率分布的類型基本隨機(jī)變量分布和抽樣分布：基本隨機(jī)變量分布和抽樣分布： 如果按照概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征來劃分，如果按照概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征來劃分， 則可分為基本隨機(jī)變量分布和抽樣分布。則可分為基本隨機(jī)變量分布和抽樣分布。 基本隨機(jī)變量分布：是指理論分布中描述總體基本隨機(jī)變量分布：是指理論分布中描述總體的基本變量的分布，在教育界統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的基本變量的分布，在教育界統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用 的基的基本隨機(jī)變量分布有二項(xiàng)分布和正態(tài)分布。本隨機(jī)變量分布有二項(xiàng)分布和正態(tài)分布。 抽樣分布：是樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布，樣本抽樣分布

15、：是樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布，樣本統(tǒng)計(jì)量有；平均數(shù)、兩平均數(shù)之差、方差、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)量有；平均數(shù)、兩平均數(shù)之差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、百分比率等等。樣本統(tǒng)計(jì)量是基差、相關(guān)系數(shù)、百分比率等等。樣本統(tǒng)計(jì)量是基本隨機(jī)變量的函數(shù)，所以抽樣分布又叫隨機(jī)變量本隨機(jī)變量的函數(shù)，所以抽樣分布又叫隨機(jī)變量函數(shù)的分布。函數(shù)的分布。三、二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)知識三、二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)知識1、排列與組合、排列與組合2、二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式定理mnA排列數(shù)：排列數(shù)：mnA 從從n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m(mn)個元素的所有排列個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m個元素的排列個元

16、素的排列數(shù)。用符號數(shù)。用符號 表示。表示。233 26A 344 3 224A 23A 問題問題1 中是求從中是求從3個不同元素中取出個不同元素中取出2個元素的個元素的排列數(shù)，記為排列數(shù)，記為:34A 問題問題2 中是求從中是求從4個不同元素中取出個不同元素中取出3個元素的排個元素的排列數(shù)，記為列數(shù)，記為:2nA從從n個不同元素中取出個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)個元素的排列數(shù) 是多少？是多少？第第1位位第第2位位nn-1An2)1( nn)2)(1( nnn第第1位位第第2位位第第3位位n-2nn-13nA同理同理 可以這樣計(jì)算可以這樣計(jì)算)1()2( )1( mnnnnAmn1 mn)(

17、mnAmn 123)2)(1( nnnAnn)1()2( )1( mnnnnAmn,m nNmn正整數(shù)正整數(shù)1到到n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n的階乘的階乘，用，用n!表示，表示，！nAn n所以所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成另外，我們規(guī)定另外，我們規(guī)定0!1)!(!mnn 12)(12)(1( )1( mnmnmnnn)1()2( )1( mnnnnAmn例例1 計(jì)算：計(jì)算：3101 A）（5182 A）（131318183AA ）（518A13131818AA 214A3560A=( (種種) )35125=( (種種) )648899181919

18、 AAA6488992919 AA或或A310.648898910 A310A 29A29322999648AAA 29A29A39A 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素）個元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個個不同元素中取出不同元素中取出m個元素的一個個元素的一個組合組合 排列與組合的排列與組合的概念有什么共概念有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？同點(diǎn)與不同點(diǎn)？ 組合定義組合定義: :問題一：問題一：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名去參名去參加某天的一項(xiàng)活動，其中加某天的一項(xiàng)活動，其中1 1名同學(xué)參加上午的名同學(xué)參加上午的活動，活動，1

19、 1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？同的選法？問題二：問題二：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名去參名去參加某天一項(xiàng)活動，有多少種不同的選法？加某天一項(xiàng)活動，有多少種不同的選法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3從已知的從已知的3個不同個不同元素中每元素中每次取出次取出2個元素個元素 , ,并成一組并成一組問題問題2從已知的從已知的3 個不同個不同元素中每元素中每次取出次取出2個元素個元素 , ,按照一定按照一定的順序排的順序排成一列成一列. .問題問題1排列排列組合組合有有順順序序無無順順序序組

20、合定義組合定義: : 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個個元素元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個元素的一個個組合組合排列定義排列定義: : 一般地，從一般地，從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m (mn) 個個元素，元素，按照一定的順序排成一列按照一定的順序排成一列，叫做從，叫做從 n 個不同元素個不同元素中取出中取出 m 個元素的一個個元素的一個排列排列. .共同點(diǎn)共同點(diǎn): : 都要都要“從從n個不同元素中任取個不同元素中任取m個元素個元素” ” 不同點(diǎn)不同點(diǎn): : 排列排列與元素的順序有關(guān)，與元素的順序

21、有關(guān)， 而組合而組合則與元素的順序無關(guān)則與元素的順序無關(guān). .思考一思考一: :ab b與與b ba是相同的排列還是相同的組合是相同的排列還是相同的組合? ?為什么為什么? ?思考二思考二: :兩個相同的排列有什么特點(diǎn)兩個相同的排列有什么特點(diǎn)? ?兩個相同的組合呢兩個相同的組合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列順序相同）元素排列順序相同.元素相同元素相同 構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造組合就是其中一個步驟組合就是其中一個步驟.思考三思考三: :組合與排列有聯(lián)系嗎組合與排列有聯(lián)系嗎? ? 從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素

22、的個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號，用符號 表示表示. .mnC233C 246C 如如: :從從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數(shù)是有組合個數(shù)是: :如如: :已知已知4 4個元素個元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出兩個寫出每次取出兩個元素的所有組合個數(shù)是：元素的所有組合個數(shù)是：組合數(shù)組合數(shù): : 是一個數(shù)，應(yīng)該把它與是一個數(shù)，應(yīng)該把它與“組合組合”區(qū)別開來區(qū)別開來 mnC1.寫出從寫出從a,b,c,d 四個元素中任取三個元素的所有

23、組合。四個元素中任取三個元素的所有組合。abc ， abd ， acd ， bcd .bcddcbacd組合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？你發(fā)現(xiàn)了你發(fā)現(xiàn)了什么什么?可分兩步考慮：求P34PPC333434 34A求可分兩步考慮：34 4C第一步，（）個；33 6A第二步，（）個；333.434 CAA根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，334343ACA從而mn

24、C如何計(jì)算如何計(jì)算: :組合數(shù)公式組合數(shù)公式 排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：因此：因此： 一般地，求從一般地，求從 個不同元素中取出個不同元素中取出 個元素的排個元素的排列數(shù)，可以分為以下列數(shù)，可以分為以下2步：步： nm 第第1步，先求出從這步，先求出從這 個不同元素中取出個不同元素中取出 個元素個元素的組合數(shù)的組合數(shù) mnCnm第第2步，求每一個組合中步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)個元素的全排列數(shù) mnAmmmmnmnACA!121mmnnnnAACmmmnmn 這里 ，且 ，這個公式叫做 *N

25、nm、nm 組合數(shù)公式組合數(shù)公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm 從從 n 個不同元中取出個不同元中取出m個元素的排列數(shù)個元素的排列數(shù) mmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我們規(guī)定：CCmnmn1 :證明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性質(zhì)性質(zhì)2一般地，對于一般地，對于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二項(xiàng)定理二項(xiàng)定理:2、二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式定理二項(xiàng)

26、展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個？有多少個？ 展開式的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：系數(shù)依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項(xiàng)式系的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等數(shù)相等 因此因此, ,當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時, ,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式2Cnn系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值； 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)時, ,中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 12Cnn 12Cnn 相等，且同時取得最大值。相等，且同時取得最大值。增減性與最大值增減性與最大值 各二項(xiàng)式系數(shù)的和各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式

27、定理中，令在二項(xiàng)式定理中，令 ，則：，則： 1 bannnnnn2CCCC210 這就是說，這就是說， 的展開式的各二項(xiàng)式系的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于：nba)( n2同時由于同時由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合總數(shù)公式這是組合總數(shù)公式 詳解九章算法詳解九章算法中記載的表中記載的表?xiàng)顥?輝輝楊輝三角楊輝三角每行兩端都是每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起，每行除從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和于它肩上的兩個數(shù)的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)

28、2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+第二節(jié)第二節(jié) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 一、二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 二、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二、二項(xiàng)分布的性質(zhì) 三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用一、二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布二項(xiàng)試驗(yàn)二項(xiàng)試驗(yàn):在同一條件下，將一種試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行在同一條件下，將一種試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，如果：次，如果：在每次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的事在每次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的事件只有兩個，即件只有兩個，即A與與 ， 且且p與與q在各次試驗(yàn)中保持不變；在各次試驗(yàn)中保持不變；各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。滿足滿足，條件的條件的n次重復(fù)試驗(yàn)叫做二項(xiàng)試驗(yàn)，或次重復(fù)

29、試驗(yàn)叫做二項(xiàng)試驗(yàn)，或稱做稱做n重貝努里重貝努里(Bernoulli)試驗(yàn)。試驗(yàn)。A qAPpAP,二項(xiàng)分布：二項(xiàng)分布：設(shè)有設(shè)有n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)都是彼此獨(dú)次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)都是彼此獨(dú)立的，每次試驗(yàn)?zāi)呈录霈F(xiàn)的概率為立的，每次試驗(yàn)?zāi)呈录霈F(xiàn)的概率為p，某事件不，某事件不出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為q（等于（等于1-p），則對于某事件出現(xiàn)），則對于某事件出現(xiàn)x次（次（0，1，2，n) 的概率分布為：的概率分布為： 二項(xiàng)分布用符號表示為二項(xiàng)分布用符號表示為: xb（x，n，p）。表）。表示在示在n次試驗(yàn)中有次試驗(yàn)中有X次成功，成功的概率為次成功，成功的概率為p。xnxxnqpCnxP2 , 1 , 0|例

30、：10個硬幣擲1次，或1個硬幣擲10次。問6次正面向上的概率是多少？6次及6次以上正面向上的概率？0.377.660.205160.377102438610241102410102445102412010242106620.20511024210161641210)!( !,1:0101019928837746上上正正面面向向上上的的概概率率為為次次以以次次及及，次次正正面面向向上上的的概概率率為為故故次次以以上上的的概概率率：次次及及）（，）根根據(jù)據(jù)題題意意，（解解 qpCqpCqpCqpCqpCqpCbxqpn10101010466104661021216106102110662110二、

31、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布的形態(tài)：二項(xiàng)分布的形態(tài)： 二項(xiàng)分布是離散型分布，由于二項(xiàng)分布是離散型分布，由于X為不連續(xù)變量，其為不連續(xù)變量，其分布用條形圖表示較合適，但為使分布圖更直觀形象分布用條形圖表示較合適，但為使分布圖更直觀形象也采用直方圖表示其概率分布。也采用直方圖表示其概率分布。當(dāng)當(dāng)p=q時圖形是對稱的。時圖形是對稱的。 當(dāng)當(dāng)p=q，不管，不管n多大，二項(xiàng)分布呈對稱形。當(dāng)多大，二項(xiàng)分布呈對稱形。當(dāng)n很大很大時，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布。當(dāng)時，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布。當(dāng)n趨近無限大時，正態(tài)趨近無限大時，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限。分布是二項(xiàng)分布的極限。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 n= 10,

32、p= 0.5 二、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布的形態(tài)：二項(xiàng)分布的形態(tài)：當(dāng)當(dāng)pq時，直方圖呈偏態(tài)，時，直方圖呈偏態(tài)，pq的偏斜方向的偏斜方向相反。相反。 如果如果n很大時，即使很大時，即使pq，偏斜逐漸降低，最，偏斜逐漸降低，最終成正態(tài)分布，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布，終成正態(tài)分布，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布，所以當(dāng)所以當(dāng)n很大時，二項(xiàng)分布的概率可用正態(tài)分布很大時，二項(xiàng)分布的概率可用正態(tài)分布的概率作近似值。的概率作近似值。 關(guān)于關(guān)于n很大的界定，一般規(guī)定：當(dāng)很大的界定，一般規(guī)定：當(dāng)pq且且nq5，這時就認(rèn)為，這時就認(rèn)為n是很大的，可以用是很大的，可以用正態(tài)分布的概率作為近似值。正

33、態(tài)分布的概率作為近似值。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 n= 10, p= 0.1二、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 如果二項(xiàng)分布在滿足如果二項(xiàng)分布在滿足pq，nq5)時，時，二項(xiàng)分布漸近正態(tài)分布。這時二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量二項(xiàng)分布漸近正態(tài)分布。這時二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X具有具有如下性質(zhì)：如下性質(zhì)： 也就是隨機(jī)變量也就是隨機(jī)變量X具有具有 的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。npqnpnpqnp,三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用 二項(xiàng)分布在教育研究中主要用于解決含有機(jī)遇二項(xiàng)分布在教育研究中主要用于解決含有機(jī)遇性問題。所謂機(jī)遇問題，是指在試驗(yàn)或調(diào)查中，性問題。所謂機(jī)遇問題，

34、是指在試驗(yàn)或調(diào)查中，試驗(yàn)結(jié)果可能是由于猜測造成的。例如，選擇題、試驗(yàn)結(jié)果可能是由于猜測造成的。例如，選擇題、是非題的回答，可能完全由猜測造成。凡此類問是非題的回答，可能完全由猜測造成。凡此類問題，要區(qū)分由猜測而造成的結(jié)果題，要區(qū)分由猜測而造成的結(jié)果 （機(jī)遇性）和真（機(jī)遇性）和真實(shí)的結(jié)果（真實(shí)性）之間的界限，就要應(yīng)用二項(xiàng)實(shí)的結(jié)果（真實(shí)性）之間的界限，就要應(yīng)用二項(xiàng)分布來解決。分布來解決。例：有例：有10道正誤題，問考生答對道正誤題，問考生答對n題才能題才能認(rèn)為他是真會；或者說答對認(rèn)為他是真會；或者說答對n題，才能認(rèn)題，才能認(rèn)為不是憑猜測的？為不是憑猜測的？解：猜對與猜錯的概率：解：猜對與猜錯的概率

35、：p=q=1/2，np5，故此二，故此二項(xiàng)分布漸近正態(tài)分布。項(xiàng)分布漸近正態(tài)分布。 根據(jù)正態(tài)分布概率，當(dāng)根據(jù)正態(tài)分布概率，當(dāng)Z=1.645時，該點(diǎn)以下時，該點(diǎn)以下包含了全部的包含了全部的95%，若用原分?jǐn)?shù)表示：，若用原分?jǐn)?shù)表示： +1.645=5+1.6451.58=7.68 故我們有故我們有95%的把握說，答對的把握說，答對8題及以上不是憑題及以上不是憑猜測的。猜測的。58. 110; 510212121npqnp(另一解法另一解法) 此題的概率值，也可用二項(xiàng)分布函數(shù)此題的概率值，也可用二項(xiàng)分布函數(shù)b(x，n，p)直接直接計(jì)算，先用二項(xiàng)分布函數(shù)求得各種情況的概率，然后根據(jù)計(jì)算，先用二項(xiàng)分布函數(shù)

36、求得各種情況的概率，然后根據(jù)概率加法定理，則答對概率加法定理，則答對8題以上的總概率為題以上的總概率為: 同樣，我們得出與正態(tài)分布近似的結(jié)論，即答對同樣，我們得出與正態(tài)分布近似的結(jié)論，即答對8題以下的概率為題以下的概率為95%(近似近似)，8題及以上的概率為題及以上的概率為5%。 055. 0001. 001. 0044. 010241102410102445例：例： 有有10道多重選擇題，每題有道多重選擇題，每題有4個答案，其中只有個答案，其中只有一個是正確的，問答對幾題才能說不是猜的結(jié)果？一個是正確的，問答對幾題才能說不是猜的結(jié)果？解解:n=10，p=1/4=0.25，q=0.75，np=

37、2.50，則稱隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。（二）特征（二）特征正態(tài)分布密度曲線是以正態(tài)分布密度曲線是以= 為為對稱軸的單峰、對稱的懸鐘形；對稱軸的單峰、對稱的懸鐘形；f(x)f(x)在在=處達(dá)到極大值處達(dá)到極大值, ,極大極大值為值為f(x)f(x)是非負(fù)數(shù)，以是非負(fù)數(shù)，以x x軸為漸進(jìn)線；軸為漸進(jìn)線；曲線在曲線在 處各有一個拐點(diǎn)；處各有一個拐點(diǎn)；正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線 21)(f正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平均數(shù)均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差。是位置參是位置參數(shù)，數(shù)，是變異度參數(shù)。是變異度參數(shù)。分布密度曲線與橫軸所夾的分布密度曲線與橫軸所夾的

38、面積為面積為1 1，即：，即：正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線 121)(222)(dxexPx 相同而相同而不同的三個正態(tài)總體不同的三個正態(tài)總體 相同而相同而不同的三個正態(tài)總體不同的三個正態(tài)總體二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（一）定義一）定義 由于正態(tài)分布是依賴于參數(shù)由于正態(tài)分布是依賴于參數(shù) 和和（或（或）的一簇分布，造成研究具體正態(tài)總）的一簇分布，造成研究具體正態(tài)總體時的不便。因此將一般的體時的不便。因此將一般的(,2)轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為=0, =1的正態(tài)分布，則稱的正態(tài)分布，則稱=0, =1的正的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密

39、度函數(shù) 二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（二）標(biāo)準(zhǔn)化的方法（二）標(biāo)準(zhǔn)化的方法 對于任何一個服從正態(tài)分布對于任何一個服從正態(tài)分布(,2)的隨機(jī)的隨機(jī)變量變量X ，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換：，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換：Z=(- )/ 即減平均數(shù)后再除以標(biāo)準(zhǔn)差，將其變換即減平均數(shù)后再除以標(biāo)準(zhǔn)差，將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。 對不同的對不同的Z及及P值編成函數(shù)表，稱為正態(tài)分值編成函數(shù)表，稱為正態(tài)分布表，從中可以查到任意一個區(qū)間內(nèi)曲線布表，從中可以查到任意一個區(qū)間內(nèi)曲線下的面積，即為概率。下的面積，即為概率。（三）正態(tài)分布表的基本使用方法（三）正態(tài)分布表的基本使用方法已知

40、已知Z值求概率：值求概率：求某一求某一Z值與值與Z=0之間的概率。直接查表即可。如之間的概率。直接查表即可。如:某一某一Z值以上或以下的概率。如求值以上或以下的概率。如求Z=1以上的概率，以上的概率，又如求又如求Z=1以下的概率。以下的概率。3413. 010 Zp1587. 03413. 05 . 01:,3413. 010ZpZp則得先查8413. 03413. 05 . 01Zp（三）正態(tài)分布表的基本使用方法（三）正態(tài)分布表的基本使用方法巳知巳知Z值求概率：值求概率：求兩個求兩個Z值之間的概率。值之間的概率。1360. 03413. 04773. 01020216826. 03413.

41、03413. 0100111ZpZpZpZpZpZp（三）正態(tài)分布表的基本使用方法（三）正態(tài)分布表的基本使用方法由概率由概率(p)求求Z值值已知從平均數(shù)開始的概率值求已知從平均數(shù)開始的概率值求Z值值(直接查表直接查表)求兩端概率的求兩端概率的Z值值已知正態(tài)曲線下中央部分的概率求已知正態(tài)曲線下中央部分的概率求Z值。值。求概率密度求概率密度Y(即正態(tài)曲線的縱線高即正態(tài)曲線的縱線高)已知已知Z值值(直接查表直接查表)已知已知P值值 注意區(qū)分已知概率是位于正態(tài)曲線的中間部分，還是兩注意區(qū)分已知概率是位于正態(tài)曲線的中間部分，還是兩尾端部分。尾端部分。三、正態(tài)分布在測驗(yàn)中的應(yīng)用三、正態(tài)分布在測驗(yàn)中的應(yīng)用

42、（一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) （二）若考試成績服從正態(tài)分布，確定錄取分?jǐn)?shù)（二）若考試成績服從正態(tài)分布，確定錄取分?jǐn)?shù)線線 （三）確定在正態(tài)分布下特定分?jǐn)?shù)界限內(nèi)的考生（三）確定在正態(tài)分布下特定分?jǐn)?shù)界限內(nèi)的考生人數(shù)人數(shù) （四）化等級評定為測量數(shù)據(jù)（四）化等級評定為測量數(shù)據(jù) （五）確定測驗(yàn)題目的難易度（五）確定測驗(yàn)題目的難易度 （六）確定能力分組或等級評定的人數(shù)（六）確定能力分組或等級評定的人數(shù)（一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) 若已知一個總體，則這個總體中的原始分若已知一個總體，則這個總體中的原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)用下式計(jì)算：數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)用下式計(jì)算： Z=(- )/ 例：在某年高考的平均分?jǐn)?shù)為例：在某年高考的

43、平均分?jǐn)?shù)為500，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差為為100的正態(tài)總體中，某考生得到的正態(tài)總體中，某考生得到650分。分。當(dāng)年的高考錄取率為當(dāng)年的高考錄取率為10%，問該生的成績，問該生的成績能否入圍？能否入圍？ （二）若考試成績服從正態(tài)分布，確定錄?。ǘ┤艨荚嚦煽兎恼龖B(tài)分布，確定錄取分?jǐn)?shù)線分?jǐn)?shù)線 在一些選拔性考試中，錄取的人數(shù)（或比率）在一些選拔性考試中，錄取的人數(shù)（或比率）往往是事先確定的。如果考試分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布往往是事先確定的。如果考試分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布或接近正態(tài)分布，在確定錄取分?jǐn)?shù)線時，可以把或接近正態(tài)分布，在確定錄取分?jǐn)?shù)線時，可以把錄取人數(shù)的比率作為正態(tài)分布中的上端面積，由錄取人數(shù)的比率作為正態(tài)分

44、布中的上端面積，由此找出相對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)此找出相對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式的計(jì)算公式 的變形公式的變形公式 由由Z值來求原始分?jǐn)?shù)值來求原始分?jǐn)?shù)X，這個，這個X就是錄取分?jǐn)?shù)的分就是錄取分?jǐn)?shù)的分界點(diǎn)，即平時人們稱謂的錄取分?jǐn)?shù)線。界點(diǎn)，即平時人們稱謂的錄取分?jǐn)?shù)線。SXXZZSXX例例 某地區(qū)進(jìn)行公務(wù)員考試，準(zhǔn)備在參加考試的某地區(qū)進(jìn)行公務(wù)員考試，準(zhǔn)備在參加考試的1500人中錄取人中錄取180人，考試分?jǐn)?shù)接近正態(tài)分布，平均數(shù)為人，考試分?jǐn)?shù)接近正態(tài)分布，平均數(shù)為72分，標(biāo)準(zhǔn)差是分，標(biāo)準(zhǔn)差是12.5分，問錄取分?jǐn)?shù)線是多少分，問錄取分?jǐn)?shù)線是多少?解:錄取率:180/1500

45、=0.12，即正態(tài)分布上端的面積，然后根據(jù)0.5-0.12=0.38，查附表1得出最接近0.38的p值為0.3810，它所對應(yīng)的Z=1.18。 錄取分?jǐn)?shù)線:75.865 .1218. 172ZSXX（三）確定在正態(tài)分布下特定分?jǐn)?shù)（三）確定在正態(tài)分布下特定分?jǐn)?shù)界限內(nèi)的考生人數(shù)界限內(nèi)的考生人數(shù) 例：某地區(qū)某年高考物理科考生例：某地區(qū)某年高考物理科考生4.7萬人，萬人，平均分為平均分為57.08，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為18.04。問：。問：（1）成績在）成績在90分以上有多少人？分以上有多少人？（2）成績在）成績在80分到分到90分之間有多少人？分之間有多少人？（3）成績）成績60分以下有多少人？分以下

46、有多少人？（四）化等級評定為測量數(shù)據(jù)（四）化等級評定為測量數(shù)據(jù) 將等級評定轉(zhuǎn)換為測量數(shù)據(jù)，首先要考慮被評定的心將等級評定轉(zhuǎn)換為測量數(shù)據(jù)，首先要考慮被評定的心理量是否為正態(tài)分布，若為正態(tài)分布，可以轉(zhuǎn)化為測量理量是否為正態(tài)分布，若為正態(tài)分布，可以轉(zhuǎn)化為測量數(shù)據(jù)，即標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)，即標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z。若不是正態(tài)分布，則不能將等級。若不是正態(tài)分布，則不能將等級評定轉(zhuǎn)化為評定轉(zhuǎn)化為Z分?jǐn)?shù)。具體步驟如下：分?jǐn)?shù)。具體步驟如下：根據(jù)各等級被評者的數(shù)目求各等級的人數(shù)比率根據(jù)各等級被評者的數(shù)目求各等級的人數(shù)比率求各等級比率值的中點(diǎn)求各等級比率值的中點(diǎn)求各等級中點(diǎn)以下的累加比率求各等級中點(diǎn)以下的累加比率用累加比率查正態(tài)表求用累加比率查正態(tài)表求Z值，該值，該Z分?jǐn)?shù)就是各等級代表分?jǐn)?shù)就是各等級代表性的測量值。性的測量值。求被評者所得評定等級的測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即為求被評者所得評定等級的測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即為每個被評定者的綜合評定分?jǐn)?shù)。每個被評定者的綜合評定分?jǐn)?shù)。（五）確定測驗(yàn)題目的難易度（五）確定測驗(yàn)題目的難易度具體步驟：具體步驟：計(jì)算各題目的通過率。即答對人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比計(jì)算各題目