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1、2019北京高三一模數(shù)學(xué)第20題壓軸匯編理科題與答案(2019年?yáng)|城區(qū)高三一模理科)(20)(本小題14分)已知數(shù)組中的項(xiàng)為不大于的正整數(shù). 表示中的個(gè)數(shù). 令.()若,數(shù)組,求()已知對(duì)任意的正整數(shù),存在中的項(xiàng),使得. 求證: 的充分必要條件為()對(duì)于數(shù)組,定義變換, 已知,令,求證:.(20)(共14分)解:() .3分()不妨設(shè). 由于對(duì)任意的正整數(shù),存在中的項(xiàng),使得. 所以均不為零.必要性:若,由于,所以有;.通過(guò)解此方程組,可得成立.充分性:若成立,不妨設(shè),可以得到. 所以有:;.所以成立. .9分()設(shè)的所有不同取值為,且滿足:. 不妨設(shè),其中;. 又因?yàn)?,所以有;所以遞增. 從而
2、互不相同.;從而結(jié)論成立. . .14分(2019年西城區(qū)高三一模理科)20(本小題滿分13分)如圖,設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表,其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù),且.定義為第s行與第t行的積. 若對(duì)于任意(),都有,則稱數(shù)表為完美數(shù)表.()當(dāng)時(shí),試寫(xiě)出一個(gè)符合條件的完美數(shù)表;()證明:不存在10行10列的完美數(shù)表;()設(shè)為行列的完美數(shù)表,且對(duì)于任意的和,都有,證明:.20(本小題滿分13分)111解:()答案不唯一. 如: 3分 ()假設(shè)存在10行10列的完美數(shù)表. 根據(jù)完美數(shù)表的定義,可以得到以下兩個(gè)結(jié)論: (1)把完美數(shù)表的任何一列的數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)(即均變?yōu)?,而均變?yōu)椋?,得到的新?shù)表是完美數(shù)
3、表; (2)交換完美數(shù)表的任意兩列,得到的新數(shù)表也是完美數(shù)表. 5分 完美數(shù)表反復(fù)經(jīng)過(guò)上述兩個(gè)結(jié)論的變換,前三行可以為如下形式:在這個(gè)新數(shù)表中,設(shè)前三行中的數(shù)均為1的有x列,前三行中“第1, 2行中的數(shù)為1,且第3行中的數(shù)為-1”的有y列,前三行中“第1, 3行中的數(shù)為1,且第2行中的數(shù)為-1”的有z列,前三行中“第1行中的數(shù)為1,且第2, 3行中的數(shù)為-1”的有w列(如上表所示), 則 由,得; 由,得; 由,得. 解方程組,得. 這與矛盾, 所以不存在10行10列的完美數(shù)表. 8分 ()記第1列前l(fā)行中的數(shù)的和,第2列前l(fā)行中的數(shù)的和 ,第n列前l(fā)行中的數(shù)的和, 因?yàn)閷?duì)于任意的和,都有,
4、所以. 9分 又因?yàn)閷?duì)于任意(),都有, 所以. 11分 又因?yàn)椋?所以,即. 13分(2019年海淀區(qū)高三一模理科)( 20)(本小題滿分13分) 首項(xiàng)為O的無(wú)窮數(shù)列同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件: ; ()請(qǐng)直接寫(xiě)出的所有可能值; ()記,若對(duì)任意成立,求的通項(xiàng)公式; ()對(duì)于給定的正整數(shù),求的最大值20.(共14分)解:()的值可以取 ()因?yàn)?,因?yàn)閷?duì)任意成立,所以為單調(diào)遞增數(shù)列,即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是單調(diào)遞增數(shù)列根據(jù)條件,所以當(dāng)對(duì)成立 下面我們證明“數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)不可能同時(shí)為非負(fù)數(shù)”假設(shè)數(shù)列中存在同時(shí)為非負(fù)數(shù)因?yàn)椋?則有,與條件矛盾若則有, 與條件矛盾 所以假設(shè)錯(cuò)誤,即數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)不可能同時(shí)為非負(fù)
5、數(shù) 此時(shí)對(duì)成立,所以當(dāng)時(shí),即所以 ,所以即,其中 即,其中又,所以是以,公差為的等差數(shù)列,所以 () 記由()的證明知,不能都為非負(fù)數(shù)當(dāng),則,根據(jù),得到,所以當(dāng),則根據(jù),得到,所以 所以,總有成立 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),故的奇偶性不同,則當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),考慮數(shù)列:, 可以驗(yàn)證,所給的數(shù)列滿足條件,且 所以的最大值為 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),考慮數(shù)列:,-, 可以驗(yàn)證,所給的數(shù)列滿足條件,且 所以的最大值為 (2019年朝陽(yáng)區(qū)高三一模理科)20(本小題滿分13分)在無(wú)窮數(shù)列中,是給定的正整數(shù),()若,寫(xiě)出的值;()證明:數(shù)列中存在值為的項(xiàng);()證明:若互質(zhì),則數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為20 (本小題滿分13分)解
6、:(I).3分(II)反證法:假設(shè),由于,記.則.則,,,依次遞推,有,則由數(shù)學(xué)歸納法易得當(dāng)時(shí),與矛盾.故存在,使所以,數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)值為的項(xiàng).8分(III)首先證明:數(shù)列中必有“1”項(xiàng)用反證法,假設(shè)數(shù)列中沒(méi)有“1”項(xiàng),由(II)知,數(shù)列中必有“0”項(xiàng),設(shè)第一個(gè)“0”項(xiàng)是 ,令,則必有,于是,由,則,因此是的因數(shù),由,則或,因此是的因數(shù).依次遞推,可得是的因數(shù),因?yàn)?,所以這與互質(zhì)矛盾所以,數(shù)列中必有“1”項(xiàng)其次證明數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為“1”.假設(shè)數(shù)列中的第一個(gè)“1”項(xiàng)是,令,則,若,則數(shù)列中的項(xiàng)從開(kāi)始,依次為“1,1,0”的無(wú)限循環(huán),故有無(wú)窮多項(xiàng)為1;若,則,若,則進(jìn)入“1,1,0”的無(wú)
7、限循環(huán),有無(wú)窮多項(xiàng)為1;若,則從開(kāi)始的項(xiàng)依次為,必出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)“1”項(xiàng),從而進(jìn)入“1,1,0”的無(wú)限循環(huán),故必有無(wú)窮多項(xiàng)為113分(2019年豐臺(tái)區(qū)高三一模理科)20(本小題13分)設(shè)且,集合.()寫(xiě)出集合中的所有元素;()設(shè),Î,證明:“”的充要條件是“”;()設(shè)集合,求中所有正數(shù)之和.20(共13分)解:()因?yàn)?,所以,所以中的元素? ()先證充分性因?yàn)閷?duì)于任意的,都有,所以再證必要性因?yàn)?,所以?shù)列是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以假設(shè)存在,使得所以或若,不妨設(shè),則,因?yàn)?,所以,這與矛盾所以當(dāng)時(shí),必有所以 對(duì)于任意,都有綜上所述, “”的充要條件是“” ()因?yàn)?,所以 為
8、正數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)因?yàn)?對(duì)于任意的正整數(shù),或,所以集合中,元素為正數(shù)的個(gè)數(shù)為,所以 所有的正數(shù)元素的和為. (2019年石景山區(qū)高三一模理科)20.(本小題13分)若項(xiàng)數(shù)為的單調(diào)遞增數(shù)列滿足:;對(duì)任意(,),存在(,)使得,則稱數(shù)列具有性質(zhì).()分別判斷數(shù)列和是否具有性質(zhì),并說(shuō)明理由;()若數(shù)列具有性質(zhì),且,()證明數(shù)列的項(xiàng)數(shù);()求數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值20(本題13分)解:()因?yàn)?,所以 不具有性質(zhì) ; 因?yàn)椋?, ,所以 具有性質(zhì) ()()因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列,又, 所以 即, 所以, ,所以, 又因?yàn)?,所?()因?yàn)?,;所以可以?gòu)造數(shù)列滿足性質(zhì);或, 所以可以構(gòu)造數(shù)列滿足性質(zhì);上述兩個(gè)數(shù)
9、列的和為,下面說(shuō)明為數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值若在數(shù)列中,要求數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值,則, 若不在數(shù)列中,則 ,由()知,則數(shù)列中所有項(xiàng)的和,所以要求數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值,則同理要求數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值,則,同理可得或;依此類推要求數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值,其數(shù)列為或所以數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值為(2019年懷柔區(qū)高三一模理科)20(本小題滿分14分)設(shè)集合W由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成: ;存在實(shí)數(shù),使( n為正整數(shù)).()在只有5項(xiàng)的有限數(shù)列、 中,其中=3,;,試判斷數(shù)列、是否為集合W中的元素;()設(shè)是等差數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,證明數(shù)列;并寫(xiě)出的取值范圍;()設(shè)數(shù)列,且對(duì)滿足條件的
10、常數(shù)M,存在正整數(shù)k,使求證:.20(本小題滿分14分)解:()對(duì)于數(shù)列,當(dāng)n=1時(shí), =,顯然不滿足集合W的條件,故不是集合W中的元素。 對(duì)于數(shù)列,當(dāng)nÎ1,2,3,4,5時(shí),不僅有 ,而且有,顯然滿足集合W的條件,故是集合W中的元素。-5分 ()是等差數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,設(shè)其公差為d, ,d=-2 , ,;, 的最大值是,即。 ,且M的取值范圍是20,+)-10分 ()證明:,整理,;又,.-14分(2019年延慶區(qū)高三一模理科)20.(本小題滿分13分)已知集合對(duì)于,定義與之間的距離為(),寫(xiě)出所有的;()任取固定的元素,計(jì)算集合中元素個(gè)數(shù);()設(shè),中有個(gè)元素,記中所有不同元素間的距離的最
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