博弈論與信息經(jīng)濟學第三章不完全信息靜態(tài)博弈

1、博弈論任課教師：南京航空航天大學 經(jīng)管學院 李幫義 教授博弈論與信息經(jīng)濟學第三章 不完全信息靜態(tài)博弈1，阿克羅夫：1970，檸檬市場：質(zhì)量不確定性與市場機制2，信貸市場、旅游市場3，不確定性：主觀+客觀不完全信息博弈例：市場進入阻撓博弈：不完全信息40，50-10，030，80-10，1000，3000，3000，4000，400在位者高成本情況低成本情況默許斗爭默許斗爭進入者進入不進入 如果在位者是高成本，給定進入者進入，在位者的最優(yōu)選擇是默許；如果在位者是低成本，給定進去者進入，在位者的最優(yōu)選擇是斗爭。由于進入者并不知道在位者究竟是高成本還是低成本，進入者的最優(yōu)依賴于它在多大程度上認為在位

2、者是高成本的或低成本的。假定進入者認為在位者是高成本的概率是p，低成本的概率是（1-p）。進入者選擇進入的期望利潤是40p+(-10) (1-p) 0 p1/5.海薩尼轉(zhuǎn)換 對于不完全信息靜態(tài)博弈，我們首先介紹一種稱為“海薩尼轉(zhuǎn)換”的思想。海薩尼1967年提出了一種對得益不了解轉(zhuǎn)化為對類型不了解思路的基礎上，進一步將不完全信息靜態(tài)博弈轉(zhuǎn)化為完全但不完美信息動態(tài)博弈進行分析的思路，被稱為“海薩尼轉(zhuǎn)換”。海薩尼轉(zhuǎn)換 海薩尼提出的處理不完全信息博弈的方法是，引入一個虛擬的參與人“自然”；自然首先行動決定參與人的特征，參與人知道自己的特征，其他參與人不知道。N高低進入者p1-p不進入進入不進入進入在位

3、者在位者(0,300)(40,50)(-10,0)(0,400)(30,80)(-10,100)合作斗爭合作斗爭上例市場進入阻撓博弈就可以轉(zhuǎn)換為如圖的完全但不完美信息博弈。*完美信息博弈：如果博弈樹的所有信息集都是單結(jié)的。海薩尼轉(zhuǎn)換 海薩尼轉(zhuǎn)換已成為處理不完全信息博弈的標準方法。 將一個參與人所擁有的所有私人信息（即所有不是共同知識的信息）被稱為該參與人的。一般地，用 表示參與人 的類型，它屬于一個可能的類型集 。 類型依賴：每一個人的行動都依賴于它的類型。 通過海薩尼轉(zhuǎn)換，博弈開始時，所有參與人對“自然”的行動有一致的信念，即都知道所有參與人類型的概率分布函數(shù) 。此即“”。iiinp,.,1

4、海薩尼轉(zhuǎn)換用 表示除 之外的所有參與人的類型組合。這樣， 。我們稱),(111niiii),(),.,(1iin)(iiip為參與人i的條件概率，即給定參與人i屬于類型i的條件下，他有關其他參與人屬于i的概率。根據(jù)條件概率規(guī)則，iiiiiiiiiiiippppp),(),()(),()(這里， 是邊緣概率。如果類型的分布是獨立的，)(ip)()(iiiipp不完全信息和貝葉斯納什均衡 貝葉斯納什均衡是完全信息靜態(tài)博弈納什均衡概念在不完全信息靜態(tài)博弈上的擴展。不完全信息靜態(tài)博弈又稱為靜態(tài)貝葉斯博弈。 ：n人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述包括：參與人的類型空間n,1，條件概率npp ,.,1，類型依存

5、戰(zhàn)略空間 nnAA,.,11，和類型依存支付函數(shù));,(),.,;,(1111nnnnaauaau參與人i知道自己的類型ii，條件概率)(iiiipp描述給定自己屬于 的情況下，參與人i有關其他參與人類型iii的不確定性。我們用,;,;,;,1111nnnnuuppAAG代表這個博弈。不完全信息和貝葉斯納什均衡 人不完全信息靜態(tài)博弈的時間順序為：自然給定類型向量 ，其中， ，參與人 觀察到 ，但參與人 （ ）只知道 ，觀察不到 ；參與人同時選擇行動，參與人 從可行集 中選擇行動 ， 人的行動組合為 ；參與人 的支付函數(shù)為 。注意，在上面的定義中，雖然參與人 的類型是私人信息，但是，行動空間和效

6、用函數(shù)的結(jié)構(gòu)是共同知識。換句話說，盡管其他參與人并不知道參與人 的類型 ，但是，他們知道參與人 的行動空間和支付函數(shù)是如何依賴于參與人 的類型的。 n),(1niiiiji)|(jjjpii)(iiAian),(1naa ai);,(iiiiauaiiiii不完全信息和貝葉斯納什均衡：在靜態(tài)貝葉斯 博弈中，純策略貝葉斯納什均衡純策略貝葉斯納什均衡是一個類型依存策略組合 ，其中，每個參與人 在給定自己的類型 和其他參與人依存策略 的情況下最大化自己的預期效用函數(shù) 。換句話說，策略組合 是一個貝葉斯納什均衡，如果對每一參與人 及 的類型集 中的每一個 ， 滿足 亦即，沒有參與人愿意改變自己的策略，

7、即使這種改變只涉及一種類型下的一個行動。 ,;,;,;,1111nnnnuuppAAG)(,),()(11nnaaaii)(iiaiuiE)(,),()(11nnaaaiiii)(iia)|();(,),(,),(,),(max111111iiinniiiiiiAapaaaaauiiiii貝葉斯均衡的應用舉例1.不完全信息庫諾特模型策？時，兩個企業(yè)將如何決為當概率高成本低成本有兩個類型。：企業(yè)。其中：企業(yè)，已知：市場總供給2214543)(,021)(,01)(22221221221121121112121acccqqaqqqqccqqaqqqqqqapqqHL貝葉斯均衡的應用舉例HLctqq

8、qqqttqqtqqtqqqcq21211122122212224321)45(21)(21,4345)()(22），高成本（，低成本求導得：，高成本，低成本其中令解：企業(yè)2：貝葉斯均衡的應用舉例企業(yè)1：245,2411,31)21211 (21)(121)(121)(1)(122122121121112122111HLHLHLHLqqqqqqqqqqqqEqqqqqq代入，聯(lián)合解得：求導得：高成本：低成本：貝葉斯均衡的應用舉例2.一階招標拍賣 一級密封價格拍賣（the first-price sealed auction）是許多拍賣方式中的一種。在這種拍賣中，投標人（bidders）同時將自

9、己的出價寫下來裝入一個信封，密封后交給拍賣人，拍賣人打開信封，出價最高者是贏家(獲得拍賣品)，并按他的出價支付。這里，每個投標人的策略是根據(jù)自己對物品的評價和對其他投標人評價的判斷來選擇自己的出價，贏者的支付是他對物品的評價減去他的出價，其他投標人的支付為零。 貝葉斯均衡的應用舉例 首先考慮兩個投標人的情況， 。令 是投標人 的出價， 為拍賣品對投標人 的價值。假定 只有 自己知道，因而 是投標人 的類型，但兩個投標人都知道 獨立地取自定義在區(qū)間 上的均勻分布函數(shù)。投標人 的支付為2 , 1i0ibiiiviiviiviv1,0ijijiiijiiiijiibbbbbvbbbvvbbu如果如果

10、如果,0, )(,);,(21貝葉斯均衡的應用舉例iiijiiiiiiijiiijjiiijjiiijjiiiijjijjijjjiijjjijjjjjiiiiiivvbaacavcvbavvbcabbvvbbPbvvbbPbvucabcabvPvbbPvvcabvcavbbvcavb21021,212121)()(21)(1 ,0綜上所述，由于求導得：又則：現(xiàn)假設：貝葉斯均衡的應用舉例3.不完全信息情況下公共產(chǎn)品的提供 在第一章我們曾討論過完全信息下公共產(chǎn)品的資源提供問題。現(xiàn)在來討論不完全信息下公共產(chǎn)品的自愿提供問題。1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0參與人2提供不提供參與人1

11、提供不提供假定公共產(chǎn)品的好處（每人1單位）是共同知識，但每人的提供成本只有自己知道（成本 是參與人 的類型）。 和 具有相同的、獨立的定義在 上的分布函數(shù)，且是共同知識。ici1c2c,cc貝葉斯均衡的應用舉例 是從 到0，1的一個函數(shù)，其中0表示不提供，1表示提供。參與人 的支付函數(shù)為： )(iica,cciiiijiicaaacaau),max(),(21貝葉斯均衡是一組戰(zhàn)略組合 ，使得對于每一個 和每一個可能的 ，戰(zhàn)略 最大化參與人 的期望效用函數(shù) 。令 為均衡狀態(tài)下參與人 提供的概率。最大化行為意味著，只有當參與人 預期參與人 不提供時，參與人 才會考慮自己是否提供。因為參與人 不提供

12、的概率是 ，參與人 提供的預期收益是 ，因此只有當 時，參與人 才會提供，即如果 ， ；如果 ， 。 ).,.(21aaiic(.)iai),(iijiijccaauEc1jjjcaPzjjiiiij)1(jz)1 (1jzjizc1jizc11)(iicajizc10)(iica貝葉斯均衡的應用舉例 這就意味著，存在一個分割點 使得只有當 時，參與人 才會提供。類似的，存在一個 使得只有當 時，參與人 才會提供。ic,iicccijc,jjcccjcccic1)(iica0)(iicacjc1)(jjca0)(jjca jjjjicFccPzc111同理： ijcFc1由上兩式可得： iic

13、FFc11貝葉斯均衡的應用舉例3203213221121121)(,2,0iiiiiiiiiicccacccccFc，假設：1212信息不完全時，公共物品提供的概率：954)34(422/32/3貝葉斯均衡的應用舉例信息完全的情況下：1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0參與人2提供不提供參與人1提供不提供若c11,c21 類似斗雞博弈。若c11,c21,c21 類似囚徒困境。1212信息完全時，公共物品提供的概率3/4.貝葉斯均衡的應用舉例4.雙方叫價拍賣 在雙方叫價拍賣（double auction）中，同一物品的潛在賣方和買方同時叫價，賣方報價同時買方出價。然后，拍賣人選擇一個

14、價格 使市場出清：所有報價低于 的賣方賣出，所有報價高于 的買方買進；且價格為 時的總供給等于總需求。 賣者提供該商品的成本是 ，該商品對買者的價值是 ，買者和賣者同時選擇出價和要價，分別為pppp 1 , 0c1 ,0v。和賣者的效用均為，沒有交易發(fā)生；買者如果。買者的效用是賣者的效用是上成交；，雙方在如果；和02/)(,2/)(2/)(1 , 01 , 0bsbsbbssbsbsbsppppvucppuppppppp貝葉斯均衡的應用舉例 現(xiàn)在考慮不完全信息下，即只有賣者知道 ，只有買者知道 （因而 是賣者的類型， 是買者的類型）。假定 和 在 上均勻分布，分布函數(shù)是共同知識。 在這個貝葉斯

15、博弈中，賣者的戰(zhàn)略（要價） 是 的函數(shù) ；買者的戰(zhàn)略（要價） 是 的函數(shù) 。戰(zhàn)略組合 是一個貝葉斯均衡，如果下列兩個條件成立：ccccvvvv 1 , 0sp cpsbp vpb ),(vpcpbs cppPcppcpEpvvppvpPcpvpvpEpcpsbsbsbpbsbsbbspsbs(21max)(21max買者最優(yōu)：賣者最優(yōu)：貝葉斯均衡的應用舉例現(xiàn)假定： ccpsss vvpbbb cppcppppvpPdxxpvpvpEppvPpvPpvpPpvbbsbsbbbbsspbbssbpbsbbbsbbbbssbbsbbbbbsbbs3231)(2121max)(211,) 1 , 0）（求導得：代入賣者的目標函數(shù)：上均勻分布。在上均勻分布，因此，在因為貝葉斯均衡的應用舉例 vppppvpcppPdxxcppcpEppcPcpPcppPpcssssbsbbpsbsbpssbsssbssbssbsbssssbbs3231)(2121max)(211, 1 , 0求導得：代