函數(shù)最值-從配方法到求導(dǎo)法

1、函數(shù)最值 從配方法到求導(dǎo)法前言 函數(shù)最值 追根到初三一位初三老師，在總結(jié)函數(shù)性質(zhì)時(shí)說(shuō):“我們學(xué)過(guò)正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)和二次函數(shù)，其中，二次函數(shù)很特殊，二次函數(shù)有最值，而其他3個(gè)函數(shù)沒(méi)有最值，大家清楚吧！”“清楚！”回聲雖然響亮，但還有幾個(gè)學(xué)生沒(méi)有應(yīng)聲.一個(gè)學(xué)生問(wèn)：“反比例函數(shù)也有最值吧？”另一個(gè)學(xué)生問(wèn)：“一次函數(shù)為什么沒(méi)有最值呢？”老師回答：“這四個(gè)函數(shù)，只有二次函數(shù)有最值，其他3個(gè)函數(shù)沒(méi)有最值，至于為什么，那要到高中數(shù)學(xué)中去學(xué)習(xí)！”這位初三老師有點(diǎn)偷懶，其實(shí)他是完全可以講清楚這個(gè)問(wèn)題的既然他沒(méi)有講，那么我們的高中學(xué)生，包括高三的學(xué)生，還真的得從這個(gè)問(wèn)題研究起一、二次函數(shù)最值尋根初

2、中生研究二次函數(shù)的最值，是從配方法開(kāi)始的.設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c=初三學(xué)生已知，二次函數(shù)f(x)，在a>0時(shí)，有最小值；a<0時(shí)，有最大值.到了高中，學(xué)生更關(guān)心二次函數(shù)得到最值的條件，即上述不等式中等號(hào)成立的條件：.這個(gè)條件自變量x的取值，稱(chēng)作二次函數(shù)最值對(duì)應(yīng)的“最值點(diǎn)”（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“最點(diǎn)”），俗稱(chēng)函數(shù)“最值的根”.對(duì)于高一學(xué)生，老師把二次函數(shù)的“最值”與二次函數(shù)的“單調(diào)區(qū)間”相捆綁，要求用比較法探索“最點(diǎn)”.【例1】 已知a>0，探索二次函數(shù)y = ax2+bx+c的單調(diào)區(qū)間.并指出函數(shù)的最值點(diǎn).【解答】 任取 x1<x2，x1，x2R.則有 y1

3、y2 = f (x1) f (x2) = ()（1）當(dāng)x1，x2-時(shí)，有由式()得 y1 y2 =a函數(shù)f (x)在上為減函數(shù).（2）當(dāng)x1，x2-時(shí)，有由式（）得 y1 y2 =a即函數(shù)f (x)在上為增函數(shù).綜合（1）、（2）可知，二次函數(shù)y =ax2+bx+c ( a>0 ) 有減區(qū)間和增區(qū)間.顯然，二次函數(shù)的最值點(diǎn)為，函數(shù)有最小值.【評(píng)說(shuō)】 從這里看到，二次函數(shù)的最點(diǎn)，就是兩個(gè)“異性”單調(diào)區(qū)間的交接點(diǎn).【練1】 試研究一次函數(shù)沒(méi)有最點(diǎn)，從而沒(méi)有最值.【解】 任取，則有（1）時(shí)，函數(shù)在R上為增函數(shù).時(shí)，;時(shí)，.（2）時(shí)，函數(shù)在R上為減函數(shù).時(shí)，;時(shí)，.所以，一次函數(shù)在R上沒(méi)有最點(diǎn)，

4、從而一次函數(shù)無(wú)最值（既無(wú)最大值，也無(wú)最小值）.【說(shuō)明】 一次函數(shù)定義在R上，定義域內(nèi)找不到這樣的“點(diǎn)”，使得該點(diǎn)兩邊鄰域是異性的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間.本例從反面看到：最點(diǎn)是單調(diào)區(qū)間的“變性”的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”.二、從到高中生將“最點(diǎn)”變形為，并由此得到一個(gè)一次函數(shù).精明的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個(gè)一次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有某種“關(guān)系”，甚至有學(xué)生在偷偷地利用這種“關(guān)系”.這種“關(guān)系”到了高三才徹底解決：函數(shù)正是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即.函數(shù)求“最根”的問(wèn)題，正好是的導(dǎo)函數(shù)的“求根”問(wèn)題.導(dǎo)函數(shù)的根，就是的駐點(diǎn).很清楚，二次函數(shù)的駐點(diǎn)就是二次函數(shù)的最點(diǎn).問(wèn)題變得這么明朗：求的最點(diǎn)，就是求的根.俗說(shuō)中“最根”，真的與“根”字巧合了

5、.【例2】 設(shè)，在同一坐標(biāo)系中，分別作得和的圖象（如右）.試說(shuō)明的正負(fù)性與單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【解析】 與相交于.（1）時(shí)，,遞減；（2）時(shí)，,遞增；（3）時(shí)，,得到最小值.故對(duì)應(yīng)關(guān)系為：（1）負(fù)區(qū)與的減區(qū)對(duì)應(yīng)； （2）正區(qū)與的增區(qū)對(duì)應(yīng)； （3）零點(diǎn)與的最值對(duì)應(yīng).【練2】 已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如右圖的直線(xiàn)，則有（1）=（ ），增區(qū)間為（ ），減區(qū)間為（ ）；（2）的最（ ）值為（ ）；（3）若，求的解析式.【解答】 從右圖上看到（1）的根為，故有=1；（2）時(shí)，>0，故的增區(qū)間為； 時(shí)，<0，故的減區(qū)間為；（3）有最大值，最大值為.（4）令，圖上知；令，得.故有.【說(shuō)明】 注意與

6、并非一一對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的，反過(guò)來(lái)，每一個(gè)這樣的卻對(duì)應(yīng)著無(wú)窮個(gè)，它們只是相差一個(gè)常數(shù)c.這就是本題中，為什么已經(jīng)知道了的圖象后，還要給出時(shí)才能確定的解析式.三、三次函數(shù)的駐點(diǎn)、極點(diǎn)和最點(diǎn)一次函數(shù)沒(méi)有駐點(diǎn)，自然沒(méi)有最點(diǎn).二次函數(shù)有一個(gè)駐點(diǎn)，這個(gè)駐點(diǎn)就是二次函數(shù)的最點(diǎn).三次函數(shù)呢？三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)根的情況有3種：（1）有2個(gè)相異的根，（2）有2個(gè)相同的根；（3）無(wú)根.如果三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無(wú)根，則無(wú)駐點(diǎn)，自然也無(wú)最點(diǎn)，也無(wú)最值.如果有根呢？自然一定有駐點(diǎn).那么，這些駐點(diǎn)是否為其最點(diǎn)呢？【例3】 研究函數(shù)的駐點(diǎn)、極點(diǎn)和最點(diǎn).【解析】 令，得，為的2個(gè)駐點(diǎn).（1

7、）時(shí)，>0，函數(shù)遞增；（2）時(shí)，<0，函數(shù)遞減；（3）時(shí)，>0，函數(shù)遞增.故在有極大值，在上有極小值.故，是的2個(gè)極點(diǎn)，前者為極大點(diǎn)，后者為極小點(diǎn).又時(shí)，故函數(shù)既無(wú)最大值，也無(wú)最小值.從而無(wú)最點(diǎn).【說(shuō)明】 這是三次函數(shù)有2個(gè)駐點(diǎn)，且都為極點(diǎn)的例子.而三次函數(shù)無(wú)駐點(diǎn)或有駐點(diǎn)但不是極點(diǎn)的例子如下（練3）.【練3】 研究下列三次函數(shù)的駐點(diǎn)、極點(diǎn)、最點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間.（1） （2）【解析】 （1）,函數(shù)無(wú)駐點(diǎn)，無(wú)極點(diǎn)，無(wú)最點(diǎn). 是上的增函數(shù).（2）,有2個(gè)重合的駐點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)也遞增.因此，駐點(diǎn)不能分出兩個(gè)“相異”的單調(diào)區(qū)間，故不是的極點(diǎn)，無(wú)極點(diǎn)，當(dāng)然也無(wú)最點(diǎn)

8、.是R上的增函數(shù).【說(shuō)明】 函數(shù)相重合的兩駐點(diǎn)不成為極點(diǎn)，可理解為它們消去了“中間”的一個(gè)“相異”的單調(diào)區(qū)間后，將兩邊的“同性”的單調(diào)區(qū)進(jìn)行了鏈接而成為一個(gè)單調(diào)區(qū)間.經(jīng)過(guò)以上的討論得知，定義在R上的三次函數(shù)，不管它有無(wú)駐點(diǎn)或極點(diǎn)，它是不會(huì)有最點(diǎn)的.四、極點(diǎn)何時(shí)為最點(diǎn)不重合的2個(gè)駐點(diǎn)可以分別成為極點(diǎn).那么，在什么條件下極點(diǎn)成為最點(diǎn)呢？駐點(diǎn)是極點(diǎn)的必要不充分條件，那么極點(diǎn)是最點(diǎn)的什么條件呢？我們研究，極點(diǎn)何時(shí)成為最點(diǎn).【例4】 已知的導(dǎo)函數(shù)，試探究的極點(diǎn)和最點(diǎn).【解析】 .有3個(gè)相異的根：它們都是的極點(diǎn).易知原函數(shù) （R）易知為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間.的4個(gè)單調(diào)區(qū)間依次成“減

9、增減增”的順序，使得首、尾兩個(gè)區(qū)間的單調(diào)性相異，從而使得在“兩次探底”中得到最（?。c(diǎn).比較三個(gè)極值的大小：得的最小值為，對(duì)應(yīng)兩個(gè)最小點(diǎn)和1.【說(shuō)明】 定義在一個(gè)開(kāi)區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)如果有n個(gè)極點(diǎn)：x1<x2<<xn.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有最點(diǎn)存在.最點(diǎn)在依次為奇數(shù)的極點(diǎn)中產(chǎn)生，通過(guò)奇數(shù)位上的極值比大小可得.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)無(wú)最點(diǎn).【練4】 求函數(shù)的最值.【解析】 函數(shù)是定義在一個(gè)開(kāi)區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),令得的唯一駐點(diǎn)即為最點(diǎn).時(shí)，函數(shù)遞增,時(shí)，函數(shù)遞減,故有最大值.【說(shuō)明】 本函數(shù)是二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，用配方法求最值也很簡(jiǎn)便.,等號(hào)成立條件是.五、最值尋根的導(dǎo)數(shù)判定若定義在一個(gè)開(kāi)區(qū)間

10、上的函數(shù)有導(dǎo)函數(shù)存在，那么是否有最值的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)是否有最根的問(wèn)題來(lái)研究：（1）若導(dǎo)函數(shù)無(wú)根，即，則無(wú)最值；（2）若導(dǎo)函數(shù)有唯一的根，即，則有最值.此時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的根即是函數(shù)最根.（3）若導(dǎo)函數(shù)有多個(gè)的根，則應(yīng)從多個(gè)駐點(diǎn)中依次判定極點(diǎn)、最點(diǎn)的存在性.【例5】 在以下四個(gè)函數(shù)中，有最值存在的函數(shù)是A. B. C. D.【解析】 對(duì)于A(yíng)，定義區(qū)間雖有兩個(gè)，但都有，無(wú)最值；對(duì)于B，函數(shù)有重合的兩駐點(diǎn)，無(wú)最值；對(duì)于C，無(wú)最值；對(duì)于D，.當(dāng)時(shí)，令，得，有最值=1.本題答案為D.【練5】 判斷以下函數(shù)，是否有最值，如果有，求出最值.（1） （2）【解析】 （1），無(wú)最值.（2）.當(dāng)時(shí)，由，得.有最值

11、，.當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).故是的最大值.六、最根與高考題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于高考，一般都在研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)最值問(wèn)題，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)講，這兩個(gè)問(wèn)題互相捆綁著，于是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的“根本”則變成“最根”問(wèn)題.【例6】 已知可導(dǎo)函數(shù)在R上恒有，且不為常數(shù)，試研究的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)最值.【解析】 由可知時(shí)，函數(shù)為減函數(shù);時(shí)，函數(shù)為增函數(shù);由此可知，是的唯一的根，故為最根.故有減區(qū)間，增區(qū)間，有最大值.【說(shuō)明】 本題是在研究“抽象函數(shù)”無(wú)具體解析式的一類(lèi)函數(shù)的性質(zhì)，只在滿(mǎn)足性質(zhì)條件下，通過(guò)“最根”的判定而確定了的單調(diào)區(qū)間和最值.有些不等式的證明，還可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的“最值”而確認(rèn)不等式是否成立.【練6】 已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)，證明：.【解析】 （1），故有唯一的最根，故的最大值為.（2），.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，因此在內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，因此在上為增函數(shù).從而，當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)?，所以，?【說(shuō)明】 問(wèn)題（2）的解決，是用“最根”證明不等式.七、余興 荒唐錯(cuò)誤