利用基本不等式求最值

1、課題 利用基本不等式求最值上海市高橋中學(xué) 凌偉棟一、教學(xué)設(shè)計(jì)說明這其實(shí)是一節(jié)習(xí)題課，幫助學(xué)生掌握用基本不等式求最值這部分內(nèi)容。但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂往往較乏味，難以使學(xué)生全身心投入，為此，我設(shè)計(jì)了這么一節(jié)課，通過一個(gè)專場式的比賽設(shè)置三個(gè)環(huán)節(jié)，旨在調(diào)動學(xué)生的積極性，提高自主思考、交流、發(fā)言的能力，同時(shí)培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神，在競爭中提升知識學(xué)習(xí)能力，在寓教于樂中激發(fā)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。二、教學(xué)目標(biāo)1， 知識與技能： 掌握兩個(gè)基本不等式，知道運(yùn)用基本不等式求最值的注意點(diǎn)，會用基本不等式求一些簡單的代數(shù)式的最值，能解決一些簡單的實(shí)際問題。2， 過程與方法：通過研究用基本不等式求最值時(shí)定值條件的構(gòu)造方法，滲透“化歸

2、”的數(shù)學(xué)思想。3， 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)場景，寓教于樂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生互相競爭、互相協(xié)作的學(xué)習(xí)精神。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)的注意點(diǎn)。難點(diǎn)：定值條件的構(gòu)造方法。四、教具及教前準(zhǔn)備教具：電腦、投影儀。教前準(zhǔn)備：將學(xué)生分為四個(gè)小組。五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)“數(shù)林大會“比賽開始，宣讀比賽規(guī)則第一環(huán)節(jié) “我行我秀”小結(jié)、談體會，得出基本不等式求最值要點(diǎn)，滲透“化歸”思想。（起到復(fù)習(xí)作用）第二環(huán)節(jié) “大家來找茬”小結(jié)、談體會，進(jìn)一步體會基本不等式求最值要點(diǎn)，滲透整體代換思想。（起到鞏固作用）第三環(huán)節(jié) “生活幫幫幫”小結(jié)、談體會，數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，并作用于實(shí)踐。評出各小

3、組名詞，宣布比賽結(jié)果。布置作業(yè)。六、教學(xué)過程一、 介紹“數(shù)林大會用基本不等式求最值專場”比賽規(guī)則二、 比賽過程1.必答題之“我行我秀”：（每組一題）求下列代數(shù)式的最值 求的最小值解： 的最小值為4。 已知x0，求的最大值； 解：， 。 已知x，求的最小值； 解： （2x3）+ x，2x30，0 （2x3）+2+ 當(dāng)且僅當(dāng)（2x3），即x+時(shí)，等號成立。 的最小值為2+。 已知0x，求2x ×（13x）的最大值。 解： 2x ×（13x）×3x×（13x） 0x，3x0，13x02x ×（13x）×3x×（13x）×

4、（）2×當(dāng)且僅當(dāng)3x13x，即x時(shí)，等號成立。2x ×（13x）的最大值為。2.搶答題之“大家來找茬”：已知x，yR+，且x+2y=1，求+的最小值。判斷下列三種解法是否正確，為什么？解法一：+，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立。即解得x=，y=，此時(shí)+ 6，+的最小值是6。（錯(cuò)， +出來結(jié)果不是定值，即不滿足“二定”， 所以錯(cuò)。）解法二： 。（錯(cuò)，兩次用到基本不等式，要最終取到“=”，必須保證兩次基本不等式的“=”都要取到所以此題要同時(shí)滿足x=2y， =，但此時(shí)x、y無解，所以最終的“=”根本取不到，所以錯(cuò)。）解法三：x+2y=1，x=12y0. +=,y（12y）=（）2 ，當(dāng)

5、且僅當(dāng)2y =12yy=時(shí)，等號成立。y=時(shí)，+取最小值為6。（錯(cuò)，基本不等式?jīng)]用錯(cuò)，但當(dāng)y=，使y（12y）取到最大值時(shí)，分子1y并非取最小值，所以也不能取得最小值，所以錯(cuò)。）正確解法一：x+2y=1，+（+）1（+）（x+2y）1+2， x，yR+，0，0， +3+3+23+2 當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)，等號成立。 +的最小值是3+2。正確解法二：x+2y=1，+1+23+， x，yR+，0，0， +3+3+23+2 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立。 +的最小值是3+2。正確解法三：3.論述題之“生活幫幫幫”： 某單位用木材制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、y（單位：米）的矩形。上部是個(gè)半圓，要求框架圍成的總面積為8米2。問x為多少時(shí)用料