【圖文】高等數(shù)學(xué) 12-5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用_第1頁
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文檔簡介

1、 定義: 復(fù)變量 的指數(shù)函數(shù)為 易證它在整個(gè)復(fù)平面上絕對收斂 . 當(dāng) y = 0 時(shí), 它與實(shí)指數(shù)函數(shù) e x 的冪級數(shù)展式一致. 當(dāng) x = 0 時(shí), 1 1 iy 2 1 3 n e = 1 + i y + (i y + (i y + L + (i y + L 2! 3! n! n æ 1 - 1 y 2 + 1 y 4 - L + (-1 y 2 n + L ö =ç ÷ 4! ( 2n ! è 2! ø 1 3 1 5 (-1 n -1 2 n -1 æ y - y + y -L+ y +L ö ç

2、; ÷ 3! 5! (2n - 1 ! è ø = cos y + i sin y e ix = cos x + i sin x （歐拉公式） e -i x = cos x - i sin x 則 （也稱歐拉公式） y 利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式 z = x+i y z = x + i y = r ( cos q + i sin q = r eiq ) o r q y x x 據(jù)此可得 (cos q + i sin q = cos nq + i sin nq n (德莫弗公式 y z = x+i y 利用冪級數(shù)的乘法, 不難驗(yàn)證 r q y e z1 + z2 = e z1 × e z2 特別有 o x x e x + i y = e x × e i y = e x (cos y + i sin y ( x, y Î R e

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