直線與圓的方程的應(yīng)用

1、 直線與圓的方程的應(yīng)用 一般地一般地, ,已知直線已知直線Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同時(shí)為零不同時(shí)為零) )和圓和圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,則圓心則圓心(a,b)(a,b)到此直線的距離為到此直線的距離為22|AaBbCdABdrdrdrd d與與r r的大小關(guān)系的大小關(guān)系2 2個(gè)個(gè)1 1個(gè)個(gè)0 0個(gè)個(gè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)圖形圖形相交相交相切相切相離相離位置位置rdrdrd則則求圓心坐標(biāo)及半徑求圓心坐標(biāo)及半徑r r（配方法）（配方法） 圓心到直線的距離圓心到直線的距離d d （點(diǎn)到直線距離公式）（點(diǎn)到直線距離公式）22

2、20()()xaybrAxByC 消去消去y y20pxqxt 0:0:相相交交= 0:= 0:相相切切0:0:相相離離d r:d r:d r:相相離離幾何方法幾何方法代數(shù)方法代數(shù)方法判斷直線和圓的位置關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系例例1.1.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖. . 這個(gè)圓的這個(gè)圓的圓拱跨度圓拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造時(shí)每間隔，建造時(shí)每間隔4m4m需要需要用一根支柱支撐，求支柱用一根支柱支撐，求支柱A A2 2P P2 2的高度（精確到的高度（精確到0.01m0.01m）. .ABA1A2A3A4OPP2分析

3、：分析：建立如圖所示建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，把實(shí)的直角坐標(biāo)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題題求出圓拱橋所求出圓拱橋所在的圓的方程；然后解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題在的圓的方程；然后解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題利用圓利用圓的方程求出點(diǎn)的方程求出點(diǎn)P P2 2的坐標(biāo)，從而求線段的坐標(biāo)，從而求線段A A2 2P P2 2的長(zhǎng)，解釋的長(zhǎng)，解釋實(shí)際意義實(shí)際意義圓拱形橋支柱的高圓拱形橋支柱的高A A2 2P P2 2. .ABA1A2A3A4OPP2yx解：解：建立如圖所示的建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使圓心直角坐標(biāo)系，使圓心在在y y軸上，設(shè)圓心的軸上，設(shè)圓心的坐標(biāo)是（坐標(biāo)是（0 0，b b），圓），圓的半徑為的

4、半徑為r r，那么圓的方程為：，那么圓的方程為：x x2 2（y yb b）2 2r r2 2，點(diǎn)點(diǎn)P P（0,40,4），），B B（10,010,0）在圓上，所以有）在圓上，所以有ABA1A2A3A4OPP2yx2 22 22 22 22 22 20 0 + +( (4 4- -b b) ) = = r r , ,1 10 0 + +b b = = r r , ,2210.5,14.5 , br解得：解得：222(10.5)14.5xy所以，圓的方程為：所以，圓的方程為：把把 的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo) 代入代入2P2x圓的方程得：圓的方程得：222( 2)(10.5)14.5y由題可知由題可知y

5、y0 0，解得：，解得：y3.86(m)y3.86(m)答：支柱答：支柱A A2 2P P2 2的高度約為的高度約為3.86 m. 3.86 m. 思考：思考：不建立坐不建立坐標(biāo)系標(biāo)系, ,如何解決如何解決這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題? ?C CB B2P HOP，作作222CACOOA即即得得14.5.r在在2RtCP H中，中， 得得2222206.25CHrOA，又又14.5410.5,OC 在在RtCOA中中所以支柱所以支柱A A2 2P P2 2的高度約是的高度約是3.86m.3.86m.O OH H = = C CH H - - O OC C3 3. .8 86 6. .解法如下解法如下C C

6、HB B例例2 2已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半一半. .探究探究: :解決解決平面幾何問(wèn)題常利用平面幾何問(wèn)題常利用“坐標(biāo)法坐標(biāo)法”，首先，首先要考慮的問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，關(guān)鍵是要考慮的問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，關(guān)鍵是如何選取坐標(biāo)系？如何選取坐標(biāo)系？x xy yO O如圖所示如圖所示探究：探究：如圖所示，設(shè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為如圖所示，設(shè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(aA(a，0)0)，B(0B(0，b)b)，C(cC(c，0)0)， D(0D(0，d)d)

7、，那么，那么BCBC邊的邊的長(zhǎng)為多少？長(zhǎng)為多少？yABCDMxOE22BCcb探究：探究：四邊形四邊形ABCDABCD的外接圓圓心的外接圓圓心OO的坐標(biāo)如何表示？的坐標(biāo)如何表示？OABCDxyOENM,2OMacxx2ONbdyy,2Eax,2Edy過(guò)四邊形外接圓的圓心過(guò)四邊形外接圓的圓心OO分別作分別作ACAC、BDBD、ADAD的垂的垂線，垂足為線，垂足為M M、N N、E E，則，則M M、N N、E E分別為分別為ACAC、BDBD、ADAD的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有：的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有：證明：證明：以四邊形以四邊形ABCDABCD互相垂直的對(duì)角線互相垂直的對(duì)角線CACA、BD

8、BD所在直所在直線分別為線分別為x x軸、軸、y y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A A（a a，0 0），），B B（0 0，b b），），C C（c c，0 0），），D D（0 0，d d），過(guò)），過(guò)四邊形外接圓的圓心四邊形外接圓的圓心 分別作分別作ACAC、BDBD、ADAD的垂線，的垂線，垂足為垂足為M M、N N、E E，則，則M M、N N、E E分別為分別為ACAC、BDBD、ADAD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，O O第一步第一步: :建立坐建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量表示有關(guān)的量. .OABCDxyOENM由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式

9、，有：,M MO O a a+ +c cx x = = x x= =2 2.N NO O b b+ +d dy y = = y y= =2 2,E Ea ax x = =2 2,E Ed dy =y =2 2第二步第二步: :進(jìn)行進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算有關(guān)代數(shù)運(yùn)算O O E E2 22 2d db b+ +d da aa a+ +c c= = ( (- -) ) + +( (- -) )2 22 22 22 22212bc ，由兩點(diǎn)間的距離公式，有：由兩點(diǎn)間的距離公式，有：BC22bc ，O E12BC ，所以所以即圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半即圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半.

10、 .第三步第三步: :把代數(shù)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果翻譯成運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系幾何關(guān)系. .利用利用“坐標(biāo)法坐標(biāo)法”解決平面問(wèn)題的解決平面問(wèn)題的“三步曲三步曲”：第一步：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)表示問(wèn)題題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題第二步：第二步： 通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題第三步：第三步： 把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何結(jié)論成幾何結(jié)論【提升總結(jié)提升總結(jié)】題頁(yè)練習(xí)：課本4132練習(xí)練習(xí). .如圖如圖, ,直角直角ABCABC的斜邊長(zhǎng)為定值的

11、斜邊長(zhǎng)為定值2m,2m,以斜邊以斜邊的中點(diǎn)的中點(diǎn)O O為圓心作半徑為為圓心作半徑為n n的圓的圓, ,直線直線BCBC交圓于交圓于P,QP,Q兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,求證求證:|AP|:|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2為定值為定值. .2.2.如圖如圖, ,以以O(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,以直線以直線BCBC為為x x軸軸, ,建立平建立平面直角坐標(biāo)系面直角坐標(biāo)系, ,于是有于是有B(-m,0),C(m,0),P(-B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),n,0),Q(n,0).Q(n,0).設(shè)設(shè)A(x,y),A(x,y),由已知由已知, ,點(diǎn)點(diǎn)A A在圓在圓

12、x x2 2+y+y2 2=m=m2 2上上. .|AP|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2=(x+n)=(x+n)2 2+y+y2 2+(x-n)+(x-n)2 2+y+y2 2+4n+4n2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2+6n+6n2 2=2m=2m2 2+6n+6n2 2( (定值定值).).2.向量的方法： 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 1.1.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(3,0)A(3,0)及圓及圓x x2 2+y+y2 2=4,=4,則圓上一點(diǎn)則圓上一點(diǎn)P P到到點(diǎn)點(diǎn)A A距離的最大值是距離的最大值是, ,最小值是最小值是. .【解析】【解析】1

13、.1.方法一方法一( (幾何法幾何法):):圓的半徑為圓的半徑為2,2,圓心到點(diǎn)圓心到點(diǎn)A A的距離為的距離為3,3,結(jié)結(jié)合圖形可知合圖形可知, ,圓上一點(diǎn)圓上一點(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)A A距離的最大值是距離的最大值是3+2=5,3+2=5,最小值是最小值是3-2=1.3-2=1.方法二方法二( (代數(shù)法代數(shù)法):):設(shè)設(shè)P(x,y)P(x,y)是圓上任意一點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn), ,則則|PA|PA|2 2=(x-3)=(x-3)2 2+y+y2 2=(x-3)=(x-3)2 2+4-x+4-x2 2=13-6x,=13-6x,因?yàn)橐驗(yàn)?2x2,-2x2,所以當(dāng)所以當(dāng)x=-2x=-2時(shí)時(shí),|PA|,|P

14、A|maxmax2 2=25,=25,則則|PA|PA|maxmax=5;=5;當(dāng)當(dāng)x=2x=2時(shí)時(shí),|PA|,|PA|minmin2 2=1,=1,則則|PA|PA|minmin=1.=1.答案答案: :5 51 1與圓有關(guān)的最值問(wèn)題與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 2.2.已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)x,yx,y滿足滿足x x2 2+y+y2 2-4x+1=0,-4x+1=0,則x-y的最大值和最小值分別是_和_. x2+y2的最大值和最小值分別是_和_.和是的最大值和最小值分別xy2.(1)2.(1)設(shè)設(shè)x-yx-yb b，則，則y yx-bx-b與圓與圓x x2 2y y2 2-4x-4x1 10 0有公共點(diǎn)有

15、公共點(diǎn), ,即即 所以所以故故x-yx-y最大值為最大值為2 2 , ,最小值為最小值為2- .2- .(2)(2)設(shè)設(shè) k,k,則則y ykxkx與與x x2 2y y2 2-4x-4x1 10 0有公共點(diǎn)有公共點(diǎn), ,即即所以所以 , ,故故 最大值為最大值為 , ,最小值為最小值為222 b3,1126 b 26. +66yx22k3,1 k3 k3 yx33.(3)(3)圓心圓心(2,0)(2,0)到原點(diǎn)距離為到原點(diǎn)距離為2,2,半徑半徑r r故故(2- )(2- )2 2xx2 2y y2 2(2(2 ) )2 2. .由此由此x x2 2y y2 2最大值為最大值為7 74 ,4

16、,最小值為最小值為7-4 .7-4 .答案：答案：333326 2633 7 4 3 7 4 33,方程方程 kxkx2 2有惟一解有惟一解, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)k k的范圍是的范圍是( ( ) ) A.k A.k B.k(-2,2) B.k(-2,2) C.k-2 C.k2 D.k2 D.k2k2或或k k21 x33【解析】【解析】選選D.D.由題意知由題意知, ,直線直線y ykxkx2 2與半圓與半圓x x2 2y y2 21(1(y0y0) )只有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖形易得只有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖形易得k-2k2k2或或k k3.【類題試解】【類題試解】方程方程 表示的曲線為表示的曲線為( () )

17、 A.A.兩個(gè)半圓兩個(gè)半圓 B. B.一個(gè)圓一個(gè)圓 C.C.半個(gè)圓半個(gè)圓 D. D.兩個(gè)圓兩個(gè)圓【解析】【解析】選選A.A.兩邊平方整理得兩邊平方整理得:(|x|-1):(|x|-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,由由|x|-|x|-1010得得x1x1或或x-1,x-1,所以所以(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1(x1)=1(x1)或或(x+1)(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1(x-1),=1(x-1),所以為兩個(gè)半圓所以為兩個(gè)半圓, ,故選故選A.A.2x 12y y題組頁(yè)練習(xí)：課本3144B1 1. .若若O O1 1：x x

18、2 2+y+y2 2=5=5與與O O2 2：（：（x-5x-5）2 2+y+y2 2=20=20（mRmR）相交于相交于A A、B B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A A處的切線互相垂直，處的切線互相垂直，則線段則線段ABAB的長(zhǎng)度是（）的長(zhǎng)度是（）A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4D D解：解：選選D.D.由題意作出圖形由題意作出圖形分析得：由圓的幾何性質(zhì)分析得：由圓的幾何性質(zhì)兩圓在點(diǎn)兩圓在點(diǎn)A A處的切線互相垂處的切線互相垂直，且過(guò)對(duì)方圓心直，且過(guò)對(duì)方圓心C C2 2,C,C1 1則在則在RtRtC C2 2ACAC1 1中，中，|C|C1 1A|=A|= ，

19、|C|C2 2A A|=|= ，斜邊上的高為半弦，斜邊上的高為半弦，用等積法易得用等積法易得： 52055202AB4.AB 22223.3.（20122012 江江蘇蘇高高考考改改編編）在在平平面面直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系xOyxOy中中，圓圓C C的的方方程程為為x +y -8x+15 = 0 x +y -8x+15 = 0，若若直直線線y = kx-2y = kx-2上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，使使得得以以該該點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓心心，1 1為為半半徑徑的的圓圓與與圓圓C C有有公公共共點(diǎn)點(diǎn)，則則k k的的最最大大值值是是多多少少？分析：分析：從圓與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離以及從圓與圓的位置關(guān)

20、系、點(diǎn)到直線的距離以及直線與圓的位置關(guān)系角度處理直線與圓的位置關(guān)系角度處理. .設(shè)設(shè)線線點(diǎn)點(diǎn)則則圓圓滿滿對(duì)對(duì)，為為題題線線大大為為2222222222222 2方方法法一一：直直上上一一（t，t，kt-2）kt-2），心心距距足足（t-4）t-4）+ （+ （kt-2）kt-2）2tR有2tR有解解. .即即（1+k）1+k）t - （t - （4k+8）4k+8）t+160有t+160有解解，所所以以有有（4k+8）4k+8）-4-416（16（1+k）1+k） 0 04444所所以以0k，0k，所所以以k的k的最最大大值值. .3333方方法法二二：由由意意，C到C到直直的的距距離離不不于

21、于2，2，4k-24k-24444d =2所d =2所以以0k，0k，所所以以k的k的最最大大值值3 3+1+1解解：. .3 3k k1.1.在圓在圓x x2 2+y+y2 2-2x-6y=0-2x-6y=0內(nèi)內(nèi), ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E(0,1)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為最短弦分別為ACAC和和BD,BD,則四邊形則四邊形ABCDABCD的面積為的面積為( () )A.5 A.5 B.10 C.15 B.10 C.15 D.20D.202222【解析】【解析】1.1.選選B.B.圓的方程化為圓的方程化為(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=10,=10,設(shè)圓心為

22、設(shè)圓心為G,G,易知易知G(1,3),G(1,3),最長(zhǎng)弦最長(zhǎng)弦ACAC為過(guò)為過(guò)E E的直徑的直徑, ,則則|AC|=|AC|=最短弦最短弦BDBD為與為與GEGE垂直的弦垂直的弦, ,如圖所示如圖所示, ,易得易得|BG|= ,|EG|=|BG|= ,|EG|= |BD|=2|BE|= |BD|=2|BE|=所以四邊形所以四邊形ABCDABCD的面積為的面積為S S |AC|BD| |AC|BD|2 10,10220 11 35, 222 BGEG2 5.1210 2. 某次生產(chǎn)中，一個(gè)圓形的零件損壞了，只剩下了如圖所某次生產(chǎn)中，一個(gè)圓形的零件損壞了，只剩下了如圖所示的一部分現(xiàn)在陳師傅所在的車間準(zhǔn)備重新做一個(gè)這樣的示的一部分現(xiàn)在陳師傅所在的車間準(zhǔn)備重新做一個(gè)這樣的零件，為了獲得這個(gè)圓形零件的半徑，陳師傅在零件上畫(huà)了零件，為了獲得這個(gè)圓形零件的半徑，陳師傅在零件上畫(huà)了一條線段一條線段 ABAB，并作出了，并作出了 ABAB 的垂直平分線的垂直平分線 MNMN，而且測(cè)得，而且測(cè)得 ABAB8 8 cmcm，MNMN2 2 cmcm根據(jù)已有數(shù)據(jù)，試幫陳師傅求出這個(gè)根據(jù)已有數(shù)據(jù)，試幫陳師傅求出這個(gè)零件的半徑零件的半徑ABNM【變式練習(xí)變式練