帶電粒子在電磁場中運動的對稱美賞析

1、帶電粒子在電磁場中運動的對稱美賞析大自然奇妙而又神秘的對稱美普遍存在于各種物理現(xiàn)象、物理過程和物理規(guī)律中.從某種意義上講，物理學(xué)的每一次重大突破都有美學(xué)思想在其中的體現(xiàn).用對稱性思想去審題，從對稱性角度去分析和解決問題，將給人耳目一新的感覺.本文通過對帶電粒子在電磁場中的運動問題的分析，體會其中的美學(xué)思想和對稱美的感受.一、一片綠葉例1如圖1所示，在XOy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m、電量為e的電子，從坐標(biāo)原點O不斷以相同的速率v。沿不同方向平行xOy平面射入第I象限.現(xiàn)加一垂直xOy平面向里、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿x軸正方向運動.求符合條件的磁場的最小面

2、積.（不考慮電子之間的相互作用）制解析如圖2所示，電子在磁場中做勻速圓周運動，半徑為R=mvo/eB.在由。點射入第I象限的所有電子中，沿y軸正方向射出的電子轉(zhuǎn)過1/4圓周，速度變?yōu)檠豿軸正方向，這條軌跡為磁場區(qū)域的上邊界.下面確定磁場區(qū)域的下邊界.設(shè)某電子做勻速圓周運動的圓心O'和O點的連線與y軸正方向夾角為0,若離開磁場時電子速度變?yōu)檠豿軸正方向，其射出點（也就是軌跡與磁場邊界的交點）的坐標(biāo)為（x、y）.由圖中幾何關(guān)系可得x=Rsin0,y=RRcos0,消去參數(shù)0可知磁場區(qū)域的下邊界滿足的方程為x2+（R-y）2=R2（x>0,y>0）.這是一個圓的方程，圓心在（0,

3、R）處.磁場區(qū)域為圖中兩條圓弧所圍成的面積.磁場的最小面積為S=2X（1/4）TtR?（1/2）Rb=（兀一2）m2v02/（2e2B2）.欣賞由兩條圓弧所圍的磁場區(qū)域像一片嫩綠的樹葉，青翠欲滴！二、一朵梅花例2如圖3所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d,外筒的外半徑為r.在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感應(yīng)強度大小為B.在兩極間加上電壓，使兩筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場.一質(zhì)量為m、帶電量+q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的S點出發(fā)，初速度為零.如果該粒子經(jīng)過一段時間的運動之后恰好又回到出發(fā)點S,則兩極之間的電壓U應(yīng)是多少

4、？（不計重力，整個裝置在真空中）解析如圖4所示，帶電粒子從S點出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿出狹縫a而進入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動.粒子再回到S點的條件是能沿徑向穿過狹縫d.只要穿過了d,粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過c、b,再經(jīng)回到S點.設(shè)粒子進入磁場區(qū)的速度大小為v,根據(jù)動能定理，有qU=(1/2)mv.設(shè)粒子做勻速圓周運動的半徑為R,由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有qvB=mv?/R.由前面的分析可知，要回到S點，粒子從a到d必經(jīng)過3/4圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑r,即R=r.由以上各式解得：U=qB

5、2r2/2m.欣賞粒子的運動軌跡構(gòu)成了一朵怒放的梅花，香氣迎風(fēng)而來！三、一滴水珠例3如圖5所示，空間分布著有理想邊界的勻強電場和勻強磁場.左側(cè)勻強電場的場強大小為E、方向水平向右，電場寬度為L;中間區(qū)域勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B,方向垂直紙面向外；右側(cè)勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B,方向垂直紙面向里.一個質(zhì)量為m、電量為q、不計重力的帶正電的粒子從電場的左邊緣的O點由靜止開始運動，穿過中間磁場區(qū)域進入右側(cè)磁場區(qū)域后，又回到。點，然后重復(fù)上述運動過程.求：X(1)中間磁場區(qū)域的寬度d;(2)帶電粒子從 。點開始運動到第一次回到 O點的所用時間解析 (1)帶電粒子在電場中加速，由動能定理，可得帶電

6、粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律，可得t.q EL= ( 1/2)qvB = mv 2/R,由以上兩式，可得R= ( 1/B)可見在兩磁場區(qū)粒子運動半徑相同，如圖6所示，三段圓弧的圓心組成的三角形40R.所以中間磁場區(qū)域的寬度為iO 2O3是等邊三角形，其邊長為 2d = R s i n 60=(1/2B)(2)在電場中在中間磁場中在右側(cè)磁場中則粒子第一次回到t i=2v / a = 2mv / qE = 2t2=2X (1/6) T=2：tm/3qB, t 3 = (5/6)T=5jtm/3qB,。點的所用時間為 t = t i+t 2+t 3=2+ 7兀 m/3q B.欣賞粒子在兩磁場區(qū)的

7、運動軌跡形成了一滴水珠，晶瑩明亮！四、一條波浪例4如圖7(甲)所示，x>0的區(qū)域內(nèi)有如圖7(乙)所示大小不變、方向隨時間周期性變化的磁場，磁場方向垂直紙面向外時為正方向.現(xiàn)有一個質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子，在t=0時刻從坐標(biāo)原點O以速度v沿著與x軸正方向成75。角射入.粒子運動一段時間后到達P點，P點的坐標(biāo)為(a,a),此時粒子的速度方向與OP延長線的夾角為30。.粒子只受磁場力作用.(1)若B0=B1為已知量，試求帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑R和周期T。的表達式；(2)說明粒子在OP間運動的時間跟所加磁場變化周期T之間應(yīng)有什么樣關(guān)系才能使粒子完成上述運動；(3)若B。為未知量，

8、那么所加磁場的變化周期T、磁感應(yīng)強度B。的大小各應(yīng)滿足什么條件，才能使粒子完成上述運動？(寫出T、B。應(yīng)滿足條件的表達式)解析(1)由牛頓第二定律，可得qvBi=mv2/R,R=mv/qB1,粒子運動的周期To=2ttR/v=2兀m/qB1.(2)根據(jù)粒子經(jīng)過。點和P點的速度方向和磁場的方向可判斷：粒子由。點到P點運動過程可能在磁場變化的半個周期之內(nèi)完成；當(dāng)磁場方向改變時，粒子繞行方向也改變，磁場方向變化具有周期性，粒子繞行方向也具有周期性，因此粒子由。點到P點的運動過程也可能在磁場變化的半個周期的奇數(shù)倍時間完成.(3)若粒子由。點到P點的運動過程在磁場變化的半個周期之內(nèi)完成，則磁場變化周期與

9、粒子運動周期應(yīng)滿足：T/2>T0/6,由圖8可知粒子運動的半徑為R=OP=a,又R=mv/qB0,To=27tm/qB0,所以T、B。分別滿足：T>2兀m/3qBo=2"品兀a/3V.若粒子由。點到P點的運動過程在磁場變化的半個周期的奇數(shù)倍時間完成，則磁場變化周期與粒子運動周期應(yīng)滿足(2k1)T/2=(2k1)To/6,k=2,3,由圖8可知OP=&a=(2k1)R,又R=mv/qBo,To=27tm/qBo.所以T、B。分別滿足Bo=(2k1)0mv/2qa,T>20兀a/3(2k1)v.其中k=2,3,欣賞帶電粒子在磁場中周期性的運動像一條緩緩前行的波浪

10、，浪花點點！五、一顆明星例5如圖9所示，一個質(zhì)量為m、電量為q的正離子，從A點正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中.圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B.要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞兩次后仍從A點射出，求正離子在磁場中運動的時間t.設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，不計粒子的重力.解析由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運動的軌跡是對稱的，如圖10所示.每相鄰兩次碰撞點之間圓弧所對的圓心角為120。.由幾何知識可知，離子運動的半徑為r=Rt6n60="6R,離子運動的周期為T = 2兀m/q B

11、 ,又qvB = mv 2/R,所以離子在磁場中運動的時間為t =3X ( 1/6) T =欣賞離子運動的軌跡構(gòu)成了一顆星星，閃閃發(fā)光！六、一彎殘月例6如圖11(a)所示，有一勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B,方向垂直xOy所在的紙面向外.某時刻在x=Lo、=0處，一質(zhì)子沿y軸的負方向進入磁場；同一時刻，在*=一！.o、y=0處，一個a粒子進入磁場，速度方向與磁場垂直.不考慮質(zhì)子與a粒子間的相互作用，質(zhì)子的質(zhì)量為m、電量為e.(1)如果質(zhì)子經(jīng)過坐標(biāo)原點O,它的速度為多大？(2)如果a粒子與質(zhì)子在坐標(biāo)原點O相遇，a粒子的速度為多大？方向如何？解析(1)根據(jù)質(zhì)子進入磁場的位置和速度方向可知，質(zhì)子運動的圓心

12、必在x軸上，又因質(zhì)子經(jīng)過坐標(biāo)原點，故其軌道半徑Rp=(1/2)Lo,由Rp=mvp/eB,得Vp=eBLo/2m.(2)質(zhì)子運動的周期Tp=2兀m/eB.a粒子的電量為2e,質(zhì)量為4m,運動的周期T8=4兀m/eB=2Tp.質(zhì)子在t=(1/2)Tp,(3/2)Tp,(5/2)Tp時刻通過O點，若a粒子與質(zhì)子在O點相遇，a粒子必在質(zhì)子經(jīng)過O點的同一時刻到達，這些時刻分別對應(yīng)于t=(1/4)Tp,(3/4)Tp如果a粒子在時刻t=(1/4)Tp到達O點，它運行了(1/4)T”圓周所對應(yīng)的弦；如果a粒子在時刻t=(3/4)Tp到達O點，它運行了(3/4)T”圓周所對應(yīng)的弦，如圖11(b)所示(t=(

13、5/4)Tp等情況不必考慮).由圖可知，a粒子軌道半徑R“=("匕/2)Lo,由Ra=4mva/2eB=2mv8/eB,得v“=BLo/4m,方向有兩個，即與x軸正方向夾角分別為01=(1/4)兀，02=(3/4)兀.欣賞粒子的運動軌跡形成了一彎殘月，令人浮想聯(lián)翩！七、一只蝴蝶例7如圖12(a)所示，在xOy平面上一HVyVH的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從x軸的負半軸的遠處以相同的速率v。沿x軸正向平行地向y軸射來.試設(shè)計一個磁場區(qū)域，使得(1)所有電子都能在磁場力作用下通過原點O;(2)這一片電子最后擴展到一2HVyV2H范圍內(nèi)，繼續(xù)沿x軸正向平行地以相同的速率v。向遠處射出.已知電

14、子的電量為e、質(zhì)量為m,不考慮電子間的相互作用.解析根據(jù)題意，電子在。點先會聚再發(fā)散，因此電子在第I象限的運動情況可以依照例1來分析.即只有當(dāng)磁場垂直紙面向里、沿y軸正方向射入的電子運動軌跡為磁場上邊界(如圖中實線1所示)、沿其它方向射入第I象限磁場的電子均在實線2(磁場下邊界)各對應(yīng)點上才平行x軸射出磁場，這些點應(yīng)滿足x2十(y2H)2=(2H),.實線1、2的交集即為第I象限內(nèi)的磁場區(qū)域.由evoBiMmv7/R,得Bi=mvo/2eH,方向垂直xOy平面向里.顯然，電子在第出象限的運動過程，可以看成是第I象限的逆過程.即只有當(dāng)磁場垂直紙面向外，平行于x軸向右且距x軸為H的入射電子運動軌跡

15、則為磁場下邊界(如圖中實線1'所示)、沿與x軸平行方向入射的其他電子均在實線2'(磁場上邊界)各對應(yīng)點發(fā)生偏轉(zhuǎn)并會聚于。點，這些點應(yīng)滿足x2+(y-H)2=H2.實線122'的交集即為第m象限內(nèi)的磁場區(qū)域.所以B3=mvo/cH,方向垂直xOy平面向外.同理，可在第H、IV象限內(nèi)畫出分別與第I、出象限對稱的磁場區(qū)域，其中B2=mvo/cH,方向垂直xOy平面向里；B4=mvo/2cH,方向垂直xOy平面向外.欣賞全部磁場區(qū)域的分布極像一只漂亮的蝴蝶，賞心悅目！八、一幅窗簾例8如圖13所示，正方形勻強磁場區(qū)邊界長為a、由光滑絕緣壁圍成，質(zhì)量為m電量為q的帶正電的粒子垂直于磁場方向和邊界，從下邊界正中央的A孔射入磁場中.粒子碰撞時無能量和電量損失，不計重力和碰撞時間，磁感應(yīng)強度的大小為B,粒子在磁場中運動的半徑小于a.欲使粒子仍能從A孔處射出，粒子的入射速度應(yīng)為多少？在磁場中運動時間是多少？XXXXBM X X X解析欲使粒子仍能從A孔處射出，粒子的運動軌跡可能是如圖14甲、乙所示的兩種情形.對圖14甲所示的情形，粒子運動的半徑為R,則R=a/2(2n+1),n=0,1又qvB=mv2/R,T=27tm/qB,所以v=qBa/2(2n+1)m,t=(4n+1)T=2(2n+1)兀m/qB,n=0,1,2,對圖14乙所示情形，粒子運動的