經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)講義第2章導數(shù)與微分

1、第2章 導數(shù)與微分2.1 極限概念研究函數(shù)是利用極限的方法來進行；極限是一個變量在變化過程中的變化趨勢.例1 圓的周長的求法.早在公元263年，古代數(shù)學家劉徽用圓內(nèi)接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形等的邊長近似圓的周長，顯然隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的邊長將無限趨近圓的周長.例2 討論當時，的變化趨勢.例3 討論一個定長的棒，每天截去一半，隨著天數(shù)的增加，棒長的變化趨勢?！耙怀咧ⅲ战仄浒?，萬世不竭”莊子天下定義2.3 設(shè)函數(shù)在點的鄰域（點可以除外）內(nèi)有定義，如果當無限趨于（但）時，無限趨近于某個常數(shù)，則稱趨于時，以為極限，記為 或若自變量趨于時，函數(shù)沒有一個固定的變化趨勢，則稱函數(shù)在

2、處沒有極限.在理解極限定義時要注意兩個細節(jié)：1.時，（）2.（包括這兩種情況）例1 討論時, =？解：求極限時，可以利用極限的概念和直觀的了解，我們可以借助幾何圖形來求函數(shù)的極限.由幾何圖形可以看出，當時，即=4例2討論函數(shù),當時的極限解：此函數(shù)在處沒有定義，可以借助圖形求極限.由圖形得到2.1.3 左極限和右極限考慮函數(shù)，依照極限的定義，不能考慮的極限. 因為在處無定義.1 / 15又如函數(shù)，如果討論是的極限，則函數(shù)分別在和時不是同一個表達式，必須分別考慮.由此引出左右極限的概念.定義2.4 設(shè)函數(shù)在點的鄰域（點可以除外）內(nèi)有定義，如果當且x無限于（即x從的左側(cè)趨于，記為）時，函數(shù)無限地趨近

3、于常數(shù)L，則稱當x趨于時，以L為左極限，記作= L； 如果當且x無限趨于（即x從的右側(cè)趨于，記為）時，函數(shù)無限地趨近于常數(shù)R，則稱當x趨于時，以R為右極限，記作= R .極限存在的充分必要條件：極限存在的充分必要條件是：函數(shù)在處的左，右極限都存在且相等.即例3 , 求解：注意到此函數(shù)當x=0的兩側(cè)表達式是不同，在0點處分別求左、右極限.，可見左右極限都存在但不相等；由幾何圖形易見,由極限的定義知，函數(shù)在某點處有極限存在需在該點處的左右端同趨于某個常數(shù)，因此此函數(shù)在0點處極限不存在.2.1.4 無窮小量稱當時，為無窮小量，簡稱無窮小.補充內(nèi)容：無窮小量是一個特殊的變量，它與有極限變量的關(guān)系是：變

4、量y以為A極限的充分必要條件是：y可以表示成A與一個無窮小量的和，即無窮小量的有以下性質(zhì)：性質(zhì)1 有限個無窮小量的和是無窮小量；性質(zhì)2 有限個無窮小量的乘積是無窮小量；性質(zhì)3 有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量. 無窮大量：在某個變化過程中，絕對值無限增大且可以大于任意給定的正實數(shù)的變量稱為無窮大量.例如 因為，所以，當時，是無窮大量.無窮小量與無窮大量有如下“倒數(shù)關(guān)系”：定理：當（或）時，若是無窮小（而），則是無窮大；反之，若是無窮大，則是無窮小.例4，當時，解： 由圖形可知，當時，當時，是無窮小量.2.2 極限的運算2.2.1 極限的四則運算法則在某個變化過程中，變量分別以為極限，則，例1

5、 求解：例2 求解：例3 求解：例4 求解： 2.2.2 兩個重要極限1.幾何說明： 如圖，設(shè)為單位圓的圓心角，則對應(yīng)的小三角形的面積為，對應(yīng)的扇形的面積為，對應(yīng)的大三角形的面積為當時，它們的面積都是趨于0的 ，即之比的極限是趨于1的.例1 解：=2. 例2 求極限解: 例3 求極限解 2.3 函數(shù)的連續(xù)性定義 設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，若滿足，則稱函數(shù)在點處連續(xù).點是的連續(xù)點.函數(shù)間斷、間斷點的概念如果函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱在點處發(fā)生間斷.使發(fā)生間斷的點，稱為的間斷點例如 函數(shù)，在定義域內(nèi)都是連續(xù)的.例1 ,問在處是否連續(xù)？注意：此函數(shù)是分段函數(shù)，是函數(shù)的分段點.解: ，不存在，在處是間斷的

6、.例2 ,問在處是否連續(xù)？解: （無窮小量有界變量=無窮小量）在處是連續(xù)的.結(jié)論:（1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；（2）連續(xù)函數(shù)的四則運算、復合運算在其有定義處連續(xù)；（3）初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.例3解: 注意： 是初等函數(shù)，在處有定義，利用 結(jié)論有極限值等于函數(shù)值.2.4 導數(shù)與微分的概念本節(jié)的主要內(nèi)容是導數(shù)與微分的概念.三個引例 邊際成本問題 瞬時速率問題 曲線切線問題引例1： 邊際成本問題C總成本，總產(chǎn)量已知 （當自變量產(chǎn)生改變量，相應(yīng)的函數(shù)也產(chǎn)生改變量），（成本平均變化率），（邊際成本）引例2: 瞬時速率問題路程是時間的函數(shù)，當從時，從（平均速率） （在時刻的瞬時速率）

7、引例3：曲線切線問題考慮曲線在處的切線斜率.當時，對應(yīng)的，曲線上和兩點間割線的斜率為 （當時），稱為切線的斜率.關(guān)于函數(shù)，考慮極限定義 設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點處取得改變量時，函數(shù)取得相應(yīng)的改變量.若當時，兩個改變量之比的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱此極限值為 在點處的導數(shù)，記為或或或 即 =若極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導.在理解導數(shù)定義時要注意：導數(shù)也是逐點討論的.導數(shù)定義的意義數(shù)量意義 變化率經(jīng)濟意義 邊際成本幾何意義 切線的斜率例1 ，求思路：先求，再求.解：因為 所以，例2 ，求解: 因為 所以導數(shù)公式 求導步驟1、求； 2、求.注意：是的導函數(shù)，函數(shù)在處的導數(shù)

8、值微分的概念設(shè)，導數(shù)，兩邊同乘，得到函數(shù)的微分.微分 導數(shù)公式 微分公式由導數(shù)公式可以得到微分公式 2.5 導數(shù)的計算導數(shù)的加法法則設(shè)在點處可導，則在點處可導亦可導，且（為常數(shù)）加法公式證明證：設(shè)，則， 由已知條件，均可導.導數(shù)的乘法法則設(shè)在點處可導，則在點處可導亦可導，且導數(shù)除法法則設(shè)在點處可導，則在點處可導亦可導，且（）例1 設(shè)函數(shù)，求析：現(xiàn)在分別知道冪函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式，利用上述法則可求它們組合后函數(shù)的導數(shù).解： （利用加法法則）=（利用導數(shù)公式）例2 設(shè)，求.解：（提示 ）例3 設(shè)，求.解：（提示）例4 ，解：因為（由對數(shù)的性質(zhì)：） 所以 （其中常數(shù)的導數(shù)為0）例5 設(shè)，求.解：

9、利用導數(shù)的乘法法則，（利用導數(shù)公式）例6 ，求.解：由導數(shù)基本公式 利用導數(shù)的乘法法則說明無論用哪種方法其結(jié)果是唯一的.例7 ，求.解： 將函數(shù)看成，利用乘法法則求導. 利用導數(shù)的除法法則求導其中.兩個結(jié)果是完全一樣的.例8 求解：（利用三角公式）同理可求.2.5.2 復合函數(shù)求導法則問題：，求，則解：第一個問題，求導數(shù)沒有直接公式可用.方法1：將函數(shù)展開利用加法法則有方法2：將函數(shù)寫成兩個因式乘積的形式，利用四則運算法則求導數(shù).第二個問題，展開？共101項，求導很麻煩.寫成因式乘積的形式，求導也將很麻煩.在這節(jié)課我們將介紹復合函數(shù)求導法則.討論，引進中間變量2.5.2 復合函數(shù)求導法則定理

10、設(shè)y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在點x處可導，y=f(u)在點u=j(x)處可導，則復合函數(shù)y=f(j(x)在點x處可導，且或復合函數(shù)求導步驟分清函數(shù)的復合層次，找出所有的中間變量；依照法則，由外向內(nèi)一層層的直至對自變量求導.多層復合的函數(shù)求導數(shù)對于多層復合的函數(shù)，即若，則 或注意：多層復合的函數(shù)求導數(shù)仍是經(jīng)過一切中間變量直至對自變量求導.問題: 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)？ 解：先將從方程中解出來，得到和分別求導和將和分別代入，得 （1）由（1）解得:（2）在（2）中隱含 隱函數(shù)求導方法步驟方程兩邊求導，；整理方程，求出.例1 求下列函數(shù)的導數(shù)或微分（1），求解：方法一: 由.這是用導數(shù)的乘法法則.方法二: 利用復合函數(shù)求導法則，設(shè)（其結(jié)果是完全一樣的)（2），求解：利用復合函數(shù)求導法則，設(shè).（3），求.解：利用復合函數(shù)求導法則，設(shè),例2設(shè)，求解：先求一般點上函數(shù)的導數(shù)，再將代入求得結(jié)果.設(shè)，利用復合函數(shù)求導法則，,例3設(shè)函數(shù)，求.解：（首先對函數(shù)進行分解，找出所有中間變量）,例4 求函數(shù)，求.解：例5 設(shè)函數(shù)，求.解: 例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).解：方程兩邊對自變量求導數(shù)，此時是中間變量.,解出（與前面的結(jié)果相同）.例7求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)？解：方程兩邊對自變量求導數(shù)，此時是中間變量.,解得 注意：在隱函數(shù)的導數(shù)結(jié)果中常常含有.例8 求雙曲線