262二次函數的圖像和性質3、4

1、二次函數的圖象與性質二次函數的圖象與性質(3、4)二次函數yax2bxc的圖像與性質（二、三）1 的頂點坐標是 ，對稱軸是 。 2怎樣把 的圖象移動，便可得到 的圖象？ （h，k） (一一)復習提問復習提問2ya xhk直線xh 23yx2325yx把 左移2個單位，再下移5個單位 23yx3 的頂點坐標是 ，對稱軸是 2325yx(2，5) 直線 x2 4在上述移動中圖象的開口方向、形狀、頂點坐標、對稱軸，哪些有變化？哪些沒有變化？ 有變化的：拋物線的頂點坐標、對稱軸，沒有變化的：拋物線的開口方向、形狀 我們復習了將拋物線 向左平移2個單位再向下平移5個單位就得到 的圖象，將 化為一般式為

2、，那么如何將拋物線 的圖像移動，得到的 圖像呢？ (二二)新課新課23yx2325yx2325yx23127yxx23yx23127yxx 的圖象，因為二次函數 向左平移2個單位，再向下平移5個單位就得到23yx23127yxx23127yxx還是將拋物線 ，它們的圖像是同一個圖像。 的圖象怎樣平移就得到2yax2yaxbxc那么一般地，函數的圖象呢？ 2325yx即二次函數 向左平移2個單位，再向下平移5個單位就得到23yx23127yxx23127yxx還是將拋物線2325yx 的形式，求出頂點坐標和對稱軸。1用配方法把用配方法把2yaxbxc2ya xhk化為化為的形式。的形式。2153

3、22yxx2ya xhk例例1 用配方法把化為215322yxx21342x解： 頂點坐標為（3，2），對稱軸為x32169952xx 21652xx21322x答案： ，頂點坐標是(1，5)，對稱軸是直線 x1 的形式，求出頂點坐標和對稱軸。2247yxx2ya xhk2215yx練習練習1 用配方法把化為 的方法和我們前面學過的用配方法解二次方程 “ ”類似具體演算如下：化為化為的形式。的形式。2用公式法把拋物線用公式法把拋物線2yaxbxc2ya xhk2yaxbxc2ya xhk把變形為20axbxc2yaxbxc24,24bacbaa2bxa 所以拋物線的頂點坐標是，對稱軸是直線。2

4、yaxbxc22222bbbca xxaaaa222424bacbaxaa22424bacba xaa2bca xxaa 的形式，求出對稱軸和頂點坐標21522yxx 2ya xhk例例2 用公式法把化為21522yxx 15,1,22abc 221541144221,2112422422bacbaa 21122yx 解：在中，頂點為（1，2），對稱軸為直線 x1。 的形式，并求出頂點坐標和對稱軸。答案： ，頂點坐標為（2，2）對稱軸是直線 x22286yxx 2ya xhk2222yx 練習練習2 用公式法把化成32yaxbxc圖象的畫法圖象的畫法 2yaxbxc2ya xhk步驟：1利用配

5、方法或公式法把化為的形式。2確定拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標。3在對稱軸的兩側以頂點為中心左右對稱描點畫圖。 的圖像，利用函數圖像回答：例例3 畫出2286yxx (1)x取什么值時，y0？(2)x取什么值時，y0？(3)x取什么值時，y0？(4)x取什么值時，y有最大值或最小值？分析：分析：我們可以用頂點坐標公式求出圖象的頂點，過頂點作平行于y軸的直線就是圖象的對稱軸在對稱軸的一側再找兩個點，則根據對稱性很容易找出另兩個點，這四個點連同頂點共五個點，過這五個點畫出圖像(1)用頂點坐標公式，可求出頂點為(2，2)，對稱軸是x2. (2) 當x1時，y0，即圖象與x軸交于點(1，0)，根據

6、軸對稱，很容易知道(1 ，0)的軸對稱點是點(3，0) 又當x0時，y6，即圖象與y軸交于點(0，6)，根據軸對稱，很容易知道(0，6)的軸對稱點是點(4，6)用光滑曲線把五個點(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)連結起來，就是22860yxx 的圖象。 解：列表xy221006304622860yxx x=2（0,6）（1,0）（2,2）（3,0）（4,6）2286yxx 由圖像知：(1)當x1或x3時，y0；(2)當1x3時，y0；(3)當x1或x3時，y0；(4)當x2時，y有最大值2。xy練習練習3 畫出222yxx的圖像。x10123y52125x=1y=x22

7、x2 （3）開口方向：當 a0時，拋物線開口向上；當 a0時，拋物線開口向下。4二次函數2yaxbxc的性質：（1）頂點坐標24,;24bacbaa（2）對稱軸是直線2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果a0，當時，函數有最小值，如果a0，當時，函數有最大值，（4）最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若a0，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小。若a0，當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大。（5）增減性： 與y軸的交點坐標為（0，c）。(6)拋物線2yaxbxc與坐標軸的交點拋物線2yaxbxc2yaxbxc

8、 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc拋物線與x軸的交點坐標為，其中為方程的兩實數根。 與x軸的交點情況可由對應的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)拋物線的根的判別式判定： 0有兩個交點拋物線與x軸相交； 0有一個交點拋物線與x軸相切； 0沒有交點拋物線與x軸相離。例例4 已知拋物線247,yxkxkk取何值時，拋物線經過原點；k取何值時，拋物線頂點在y軸上；k取何值時，拋物線頂點在x軸上；k取何值時，拋物線頂點在坐標軸上。 ，所以k4，所以當k4時，拋物線頂點在y軸上。 ，所以k7，所以當k7時，拋物線經過原點；拋物線頂點在y軸上，則頂點橫坐標為0，即解：拋物線經過原點

9、，則當x0時，y0，所以200407kk4022 1kba ，所以當k2或k6時，拋物線頂點在x軸上。拋物線頂點在x軸上，則頂點縱坐標為0，即拋物線頂點在x軸上，則頂點縱坐標為0，即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得，解得：由、知，當k4或k2或k6時，拋物線的頂點在坐標軸上。224 1744044 1kkacba 所以當x2時， 。解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 5 當x取何值時，二次函數 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因為所以當x2時， 。因為a20，拋物線 有最

10、低點，所以y有最小值， 2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值總結：求二次函數最值，有兩個方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：又例例6 6已知函數 ，當x為何值時，函數值y隨自變量的值的增大而減小。211322yxx 解法一： ， 102a 拋物線開口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 對稱軸是直線x3，當 x3時，y隨x的增大而減小。 211322yxx 102a 331222ba 解法二：，拋物線開口向下， 對稱軸是直線x3，當 x3時，y隨x的增大而減小。例例7 已知二次函數212321ymxmxmm的

11、最大值是0，求此函數的解析式解：解：此函數圖象開口應向下，且頂點縱坐標的值為0所以應滿足以下的條件組21041 322041mmmmm ，由解方程得121,22mm不合題意，舍去所求函數解析式為21111232 ,222yxx 。21122yxx 即 相等，則形狀相同。(1)a決定拋物線形狀及開口方向，若aa0開口向上；5拋物線yax2bxc中a，b，c的作用。a0開口向下。5拋物線yax2bxc中a，b，c的作用。(2)a和b共同決定拋物線對稱軸的位置，由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線2bxa 若a，b異號對稱軸在y軸右側。，故若b0對稱軸為y軸，若a，b同號對稱軸在y軸左側，5拋物線

12、yax2bxc中a，b，c的作用。(3)c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置。當x0時，yc，拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點(0，c)， c0拋物線經過原點；c0與y軸交于正半軸； c0與y軸交于負半軸。例例8 已知如圖是二次函數yax2bxc的圖象，判斷以下各式的值是正值還是負值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：分析：已知的是幾何關系(圖形的位置、形狀)，需要求出的是數量關系，所以應發(fā)揮數形結合的作用解：解：(1)因為拋物線開口向下，所以a0；判斷a的符號(2)因為對稱軸在y軸右側，所以02ba，而a0，故b0；判斷b的符號(3)因為x0時，yc，即圖象與y軸交點的坐標是(0，c)，而圖中這一點在y軸正半軸，即c0；判斷c的符號2404acba240ac