考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義

1、-高等數(shù)學(xué)-第一章函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)是微積分的研究對(duì)象，極限是微積分的理論基礎(chǔ)，而連續(xù)性是可導(dǎo)性與可積性的重要條件。它們是每年必考的內(nèi)容之一。第一節(jié)數(shù)列極限與函數(shù)極限 【大綱內(nèi)容】數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義以及它們的性質(zhì)；函數(shù)的左極限與右極限；無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系；無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較；極限的四則運(yùn)算；極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則；單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則；兩個(gè)重要極限：；洛必達(dá)（）法則?！敬缶V要求】理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限；掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法；理解

2、無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限；掌握用洛必達(dá)（）法則求未定式極限的方法?！究键c(diǎn)分析】數(shù)列極限的考點(diǎn)主要包括：定義的理解，極限運(yùn)算法則的理解，單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則求極限，利用定積分的定義求和式的極限等等。函數(shù)極限的考點(diǎn)主要包括：用洛必達(dá)法則求未定式的極限，由已知極限求未知極限，極限中的參數(shù)問題，無窮小量階的比較等等。一、數(shù)列的極限1.數(shù)列的極限無窮多個(gè)數(shù)按一定順序排成一列：稱為數(shù)列，記為數(shù)列，其中稱為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。設(shè)有數(shù)列 和常數(shù)A。若對(duì)任意給定的，總存在自然數(shù)，當(dāng)n>N時(shí)，恒有，則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為或。沒有極限的數(shù)列稱為

3、發(fā)散數(shù)列。收斂數(shù)列必為有界數(shù)列，其極限存在且唯一。2.極限存在準(zhǔn)則（1）定理（夾逼定理）設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有，且有， 則極限存在，且等于A .注對(duì)其他極限過程及數(shù)列極限，有類似結(jié)論. （2）定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 3.重要結(jié)論：（1）若，則，其中為任意常數(shù)。（2）2 / 45。（3）?！究键c(diǎn)一】（1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限. （2）單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞增且無上界的數(shù)列的極限為.（3）單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且無下界的數(shù)列的極限為.【評(píng)注】（1）在應(yīng)用【考點(diǎn)一】進(jìn)行證明時(shí)，有些題目中關(guān)于單調(diào)性與有界性的證明有先后次序之分，需要及時(shí)進(jìn)行調(diào)整證明次序。（2）判

4、定數(shù)列的單調(diào)性主要有三種方法：計(jì)算. 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，計(jì)算. 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。令，將n改為x，得到函數(shù)。若可導(dǎo)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。【例1·證明題】設(shè)數(shù)列滿足證明數(shù)列的極限存在并求極限.【答疑編號(hào)911010101】1.X0>0X0>0 ,假設(shè) Xn>0 , n2 Xn>0 , 假設(shè)成立 Xn>0 , , n1 ，n1 時(shí) Xn+1Xn 且令，因?yàn)椋蓸O限的保號(hào)性知令n， a2=2【例2·證明題】設(shè)f（x）是區(qū)間上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，證明數(shù)列的極限存在?！敬鹨删幪?hào)911010102】例2

5、 f（x）且 f（x）0 f（x） 又 f（x）00 0an0 ， 且an+1an 存在【考點(diǎn)二】（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)有正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則.【評(píng)注】在使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，需要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”應(yīng)該是盡可能地大，而“放大”應(yīng)該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，那么就說明夾逼準(zhǔn)則不適用于這個(gè)題目，要改用其他方法。【例3·計(jì)算題】計(jì)算極限：【答疑編號(hào)911010103】例3 SinX0 ,根據(jù)積分的不等式定理若在a ，b f（x）g（x），則。 令n0 0 0（取右端點(diǎn)） （取左端點(diǎn)）【考點(diǎn)三】用定積分的定義計(jì)算和式的極限：由定積分的定義知，當(dāng)連續(xù)時(shí)，有，

6、 【例4·計(jì)算題】求下列極限：【答疑編號(hào)911010104】 【例5·選擇題】等于（）【答疑編號(hào)911010105】 【考點(diǎn)四】設(shè)，則。也就是說，將數(shù)列中的正整數(shù)改為連續(xù)變量，令，則數(shù)列的極限等于相應(yīng)的函數(shù)的極限。綜合題也很重要。 【例6·解答題】設(shè)在x=0某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且.求極限.【答疑編號(hào)911010201】6. f（0）=1 ，f（0）=2 令 1 再利用重要極限 【例7·選擇題】設(shè), 則極限等于（）【答疑編號(hào)911010202】 而 【例8·證明題】設(shè)，證明：（1）對(duì)于任何自然數(shù)n，方程在區(qū)間中僅有一根。（2）設(shè)【答疑編號(hào)9110102

7、03】要證:有根令 （1）令 ，至少存在使F（xn）=0 F（x）在嚴(yán)格單減則F（xn）=0 且 xn 唯一8.（2） 在內(nèi)在上嚴(yán)格單減二、函數(shù)的極限【考點(diǎn)五】也就是說，函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是，左極限與右極限都存在，并且都等于A。 【評(píng)注】在求極限時(shí)，如果函數(shù)中包含或項(xiàng)，則立即討論左右極限和，再根據(jù)【考點(diǎn)五】判斷雙側(cè)極限是否存在?！纠?·解答題】確定常數(shù)a的值，使極限存在?！敬鹨删幪?hào)911010204】不存在 X<0X0 , x>0令a=3-a【考點(diǎn)六】使用洛必達(dá)（）法則求型未定式的極限之前，一定要將所求極限盡可能地化簡?；喌闹饕椒ǎ海?）首先用等價(jià)無窮

8、小進(jìn)行代換。注意：等價(jià)無窮小代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用，而不能在極限的加減運(yùn)算中使用，但在極限的加減運(yùn)算中高階無窮小可以略去；（2）將極限值不為零的因子先求極限；（3）利用變量代換（通常是作倒代換，令）（4）恒等變形：通過因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數(shù)拆項(xiàng)、合并或通分達(dá)到化簡的目的。（5）常見的等價(jià)無窮小代換：當(dāng)X0時(shí)，我們有：未定式極限： ， 0×1 ，00 ，0【例10·解答題】求極限.【答疑編號(hào)911010205】x0,xln（2cosx）ln3 【例11·解答題】求極限【答疑編號(hào)911010206】解： x0 ln（1+x）x 【例12&#

9、183;解答題】設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處可微，又設(shè)，函數(shù)，求極限【答疑編號(hào)911010207】 【考點(diǎn)七】求型未定式極限的方法： （1）分子、分母同時(shí)除以最大的無窮大 （2）使用洛必達(dá)（ ）法則【例13·解答題】求極限 .【答疑編號(hào)911010301】13. 【考點(diǎn)八】化和型未定式為型和型的方法是： （1）通分法（2）提因子法（3）變量代換法，0×【例14·解答題】求極限.【答疑編號(hào)911010302】14.（，-）x0 ,（1+x）2-12x【例14】求極限.【例15·解答題】求極限： 【答疑編號(hào)911010303】 【例16·解答題】求極限

10、 .【答疑編號(hào)911010304】【例17·解答題】求極限.【答疑編號(hào)911010305】17. 【考點(diǎn)九】（1）求冪指函數(shù)型不定式的極限，常用“換底法”或“用e抬起法”，化為型后再使用洛必達(dá)法則，即（2）計(jì)算型極限的最簡單方法是使用如下的 型極限計(jì)算公式：。推導(dǎo)如下（為簡便，略去自變量 ）： 【例18·解答題】（北京大學(xué)，2002年）求極限.【答疑編號(hào)911010306】【例19·解答題】計(jì)算.【答疑編號(hào)911010307】19.（1）當(dāng)a1時(shí)，19.當(dāng)0a1時(shí)【考點(diǎn)十】（1）已知 ，則有：（2）已知 ，若 ，則 .【評(píng)注】在已知函數(shù)的極限求未知的參數(shù)問題時(shí)，【

11、考點(diǎn)十】是主要的分析問題與解決問題的方法。若且則【例20·解答題】設(shè) ，則.【答疑編號(hào)911010401】 【例21·選擇題】設(shè)為兩實(shí)常數(shù)，且有，則的值分別為（）【答疑編號(hào)911010402】（A），（B） ， （C），（D）， 【考點(diǎn)十一】在已知條件或欲證結(jié)論中涉及到無窮小量階的比較的話，則“不管三七二十一”，先用無窮小量階的比較的定義處理一下再說?！驹u(píng)注】無窮小量階的比較，是一個(gè)重要考點(diǎn)。其主要方法是將兩個(gè)無窮小量相除取極限，再由定義比較階的高低。設(shè)是同一過程下的兩個(gè)無窮小，即。若若 則稱是比低階的無窮??；若若則稱與是等價(jià)無窮小。若C0,0,則稱是的階無窮小?！纠?2&

12、#183;解答題】已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，與是等價(jià)無窮小，求常數(shù)和?！敬鹨删幪?hào)911010403】 （k0） 【例23·選擇題】當(dāng)時(shí)，和都是關(guān)于的n階無窮小量，而是關(guān)于的m階無窮小，則（）?！敬鹨删幪?hào)911010404】 （A）必有m=n（B）必有 （C）必有（D）以上幾種情況都有可能若則時(shí)，是的n階無窮小量；若A+B=0則時(shí)，是比還高階的無窮??； 【例24·證明題】設(shè)函數(shù)f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。證明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小?！敬鹨删幪?hào)911010405】 證明方程組有唯一解 第二節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 【考點(diǎn)分析】主要考點(diǎn)包括

13、：函數(shù)連續(xù)的充要條件，間斷點(diǎn)的類型及其判斷，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理及其應(yīng)用等。一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn).函數(shù)連續(xù)性概念連續(xù)： 定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，并稱為連續(xù)點(diǎn)。定義2若函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左（右）鄰域內(nèi)有定義，并且，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左（右）連續(xù)。顯然，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是在點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。定義3函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，是指在內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)；在閉區(qū)間上連續(xù)，是指在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)。使函數(shù)連續(xù)的區(qū)間，稱為的連續(xù)區(qū)間。.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類定義函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)，即在點(diǎn)處有下列三種情況之一出現(xiàn)：（1）在點(diǎn)附近函數(shù)有定

14、義，但在點(diǎn)無定義；（2）不存在；（3）與都存在，但，則稱在點(diǎn)處不連續(xù)，或稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)的分類：設(shè)為函數(shù)的間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的分類是以點(diǎn)的左、右極限來劃分的。 第一類間斷點(diǎn)：若與都存在，則稱為第一類間斷點(diǎn)： （1）若，則稱為跳躍型間斷點(diǎn)，并稱為點(diǎn)的跳躍度； （2）若存在（即=），則稱為可去間斷點(diǎn)。此時(shí)，當(dāng)在無定義時(shí)，可以補(bǔ)充定義，則在連續(xù)；當(dāng)存在，但時(shí)，可以改變?cè)诘亩x，定義極限值為該點(diǎn)函數(shù)值，則在連續(xù)。 第二類間斷點(diǎn)：若與中至少有一個(gè)不存在，則稱為第二類間斷點(diǎn)，其中若與中至少有一個(gè)為無窮大，則稱為無窮型間斷點(diǎn)；否則稱為擺動(dòng)型間斷點(diǎn)?！纠?5·解答題】設(shè)函數(shù) 問a為何值時(shí)，在x

15、=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是的可去間斷點(diǎn)？【答疑編號(hào)911010501】 在處連續(xù)【例26·解答題】設(shè)，其中試求的表達(dá)式，并求函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左、右極限?！敬鹨删幪?hào)911010502】 由于 【例27·解答題】試確定和的值，使有無窮間斷點(diǎn)，且有可去間斷點(diǎn).【答疑編號(hào)911010503】 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1:（有界性定理） 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù) 必在a,b上有界。定理2:（最大值最小值定理） 閉區(qū)間a,b上的函數(shù)，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在兩點(diǎn) ，使得對(duì)a,b上的一切x，恒有.此處與就是 在a,b上最小值與最大值。定理3:（介值定理） 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，m與M分別為 在a,b上的最小值與最大值，則對(duì)于任一實(shí)數(shù)c（mcM），至少存在一點(diǎn)，使。定理4:（零點(diǎn)定理或根的存在定理） 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使?！纠?8·解答