全稱量詞和特稱量詞

1、31全稱量詞與全稱命題32存在量詞與特稱命題明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.通過具體實(shí)例理解全稱量詞和存在量詞的含義.2.會(huì)判斷全稱命題和特稱命題的真假1全稱量詞與全稱命題在命題的條件中，“所有”“每一個(gè)”“任何”“任意一條”“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題2存在量詞與特稱命題在命題中，“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞含有存在量詞的命題，叫作特稱命題探究點(diǎn)一全稱量詞與全稱命題思考1下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)x3；(2)2x1是整數(shù)；(3)對(duì)所

2、有的xR，x3；(4)對(duì)任意一個(gè)xZ,2x1是整數(shù)答語句(1)(2)含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷它們的真假，因而不是命題語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“對(duì)所有的”對(duì)變量x進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語“對(duì)任意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題小結(jié)短語“所有”“每一個(gè)”“任何”“任意一條”“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞像這樣含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題思考2如何判定一個(gè)全稱命題的真假？答要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立

3、；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得p(x0)不成立即可(即舉反例)例1判斷下列全稱命題的真假：(1)所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)；(2)任意xR，x211；(3)對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)解(1)2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)所以，全稱命題“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”是假命題(2)任意xR，總有x20，因而x211.所以，全稱命題“任意xR，x211”是真命題(3)是無理數(shù)，但()22是有理數(shù)所以，全稱命題“對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題反思與感悟判斷全稱命題的真假，要看命題是否對(duì)給定集合中的所有元素成立跟蹤訓(xùn)練1試判斷下列全稱命題的真假：(1)任意xR，x220；(2)任意

4、xN，x41.(3)對(duì)任意角，都有sin2cos21.解(1)由于任意xR，都有x20，因而有x2220，即x220，所以命題“任意xR，x220”是真命題(2)由于0N，當(dāng)x0時(shí)，x41不成立，所以命題“任意xN，x41”是假命題(3)由于任意R，sin2cos21成立所以命題“對(duì)任意角，都有sin2cos21”是真命題探究點(diǎn)二存在量詞與特稱命題思考1下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)2x13；(2)x能被2和3整除；(3)存在一個(gè)x0R，使2x013；(4)至少有一個(gè)x0Z，使x0能被2和3整除答(1)(2)不是命題，(3)(4)是命題語句(3)在(1)

5、的基礎(chǔ)上，用短語“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定，從而使(3)(4)變成了可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題小結(jié)“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞像這樣含有存在量詞的命題，叫作特稱命題思考2怎樣判斷一個(gè)特稱命題的真假？答要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)xx0，使p(x0)成立即可，否則，這一特稱命題是假命題例2判斷下列特稱命題的真假：(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x2x030；(2)存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線；(3)有些整數(shù)只有兩

6、個(gè)正因數(shù)解(1)由于任意xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的實(shí)數(shù)x不存在所以，特稱命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x2x030”是假命題(2)由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是互相平行的，因此不存在兩個(gè)相交的平面垂直于同一條直線所以，特稱命題“存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線”是假命題(3)由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3，所以特稱命題“有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)”是真命題反思與感悟特稱命題是含有存在量詞的命題，判斷一個(gè)特稱命題為真，只需在指定集合中找到一個(gè)元素滿足命題結(jié)論即可跟蹤訓(xùn)練2判斷下列命題的真假：(1)存在x0Z，x1；(2)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形；(3)有一個(gè)實(shí)數(shù)，tan

7、 無意義；(4)存在x0R，cos x0.解(1)1Z，且(1)311，“存在x0Z，x1，不存在x0R，使cos x0，原命題是假命題探究點(diǎn)三全稱命題、特稱命題的應(yīng)用思考不等式有解和不等式恒成立有何區(qū)別？答不等式有解是存在一個(gè)元素，使不等式成立，相當(dāng)于一個(gè)特稱命題；不等式恒成立則是給定集合中的所有元素都能使不等式成立，相當(dāng)于一個(gè)全稱命題例3(1)已知關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)令p(x)：ax22x10，若對(duì)任意xR，p(x)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，(2a1)24(a22)0，即4a

8、70，解得a，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)對(duì)任意xR，p(x)是真命題對(duì)任意xR，ax22x10恒成立，當(dāng)a0時(shí)，不等式為2x10不恒成立，當(dāng)a0時(shí)，若不等式恒成立，則a1.反思與感悟有解和恒成立問題是特稱命題和全稱命題的應(yīng)用，注意二者的區(qū)別跟蹤訓(xùn)練3(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式sin xcos xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)存在實(shí)數(shù)x，不等式sin xcos xm有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)令ysin xcos x，xR，ysin xcos xsin，又任意xR，sin xcos xm恒成立，只要mm有解，只要m0 D任意xR,2x0答案C解析對(duì)于A，當(dāng)x1時(shí)，lg x0，正確；對(duì)

9、于B，當(dāng)x時(shí)，tan x1，正確；對(duì)于C，當(dāng)x0時(shí)，x30，錯(cuò)誤；對(duì)于D，任意xR,2x0，正確4用量詞符號(hào)“任意”“存在”表述下列命題：(1)凸n邊形的外角和等于2.(2)有一個(gè)有理數(shù)x0滿足x3.(3)對(duì)任意角，都有sin2cos21.解(1)任意xx|x是凸n邊形，x的外角和是2.(2)存在x0Q，x3.(3)任意R，sin2cos21.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1判斷命題是全稱命題還是特稱命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱命題雖然不含全稱量詞，可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷2要確定一個(gè)全稱命題是真命題，需保證該命題對(duì)所有的元素都成立；若能舉出一個(gè)反例說明命題不成立，則該全稱命題

10、是假命題3要確定一個(gè)特稱命題是真命題，舉出一個(gè)例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏輯推理得到命題對(duì)所有的元素都不成立，則該特稱命題是假命題一、基礎(chǔ)過關(guān)1下列命題：中國公民都有受教育的權(quán)利；每一個(gè)中學(xué)生都要接受愛國主義教育；有人既能寫小說，也能搞發(fā)明創(chuàng)造；任何一個(gè)數(shù)除0，都等于0.其中全稱命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案C解析命題都是全稱命題2下列特稱命題是假命題的是()A存在xQ，使2xx30B存在xR，使x2x10C有的素?cái)?shù)是偶數(shù)D有的有理數(shù)沒有倒數(shù)答案B解析對(duì)于任意的xR，x2x1(x)20恒成立3給出四個(gè)命題：末位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；有的菱形是正方形；存在實(shí)數(shù)x，x0；對(duì)于任

11、意實(shí)數(shù)x,2x1是奇數(shù)下列說法正確的是()A四個(gè)命題都是真命題B是全稱命題C是特稱命題D四個(gè)命題中有兩個(gè)假命題答案C解析為全稱命題；為特稱命題；為真命題；為假命題4下列全稱命題中真命題的個(gè)數(shù)為()負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，都有a2b22ab；二次函數(shù)f(x)x2ax1與x軸恒有交點(diǎn)；任意xR，yR，都有x2|y|0.A1 B2 C3 D4答案C解析為真命題5下列全稱命題為真命題的是()A所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)B任意xR，x233C任意xR,2x10D所有的平行向量都相等答案B6下列命題中，真命題是_存在x0，sin x0cos x02；任意x(3，)，x22x1；存在mR，使函數(shù)f(x)x2

12、mx(xR)是偶函數(shù)；任意x，tan xsin x.答案解析對(duì)于，任意x，sin xcos xsin，此命題為假命題；對(duì)于，當(dāng)x(3，)時(shí)，x22x1(x1)220，此命題為真命題；對(duì)于，當(dāng)m0時(shí)， f(x)x2為偶函數(shù)，此命題為真命題；對(duì)于，當(dāng)x時(shí)，tan x03，xa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，3解析對(duì)任意x3，xa恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，a3.9給出下列四個(gè)命題：abab0；矩形都不是梯形；存在x，yR，x2y21；任意互相垂直的兩條直線的斜率之積等于1.其中全稱命題是_答案解析省略了量詞“所有的”，含有量詞“任意”10四個(gè)命題：任意xR，x23x20恒成立；存在xQ，x

13、22；存在xR，x210；任意xR,4x22x13x2.其中真命題的個(gè)數(shù)為_答案0解析x23x20，(3)2420，當(dāng)x2或x0才成立，為假命題當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，x22，不存在xQ，使得x22，為假命題，對(duì)任意xR，x210，為假命題，4x2(2x13x2)x22x1(x1)20，即當(dāng)x1時(shí)，4x22x13x2成立，為假命題均為假命題11判斷下列命題的真假：(1)對(duì)任意xR，|x|0；(2)對(duì)任意aR，函數(shù)ylogax是單調(diào)函數(shù)；(3)對(duì)任意xR，x21；(4)存在a向量，使ab0.解(1)由于0R，當(dāng)x0時(shí)，|x|0不成立，因此命題“對(duì)任意xR，|x|0”是假命題(2)由于1R，當(dāng)a1時(shí)，ylo

14、gax無意義，因此命題“對(duì)任意aR，函數(shù)ylogax是單調(diào)函數(shù)”是假命題(3)由于對(duì)任意xR，都有x20，因而有x21.因此命題“對(duì)任意xR，x21”是真命題(4)由于0向量，當(dāng)a0時(shí)，能使ab0，因此命題“存在a向量，使ab0”是真命題12已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)0對(duì)于任意xR恒成立？并說明理由；(2)若存在實(shí)數(shù)x，使不等式mf(x)0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)不等式mf(x)0可化為mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24對(duì)于任意xR恒成立，只需m4即可故存在實(shí)數(shù)m使不等式mf(x)0對(duì)于任意xR恒成立，此時(shí)m4. (2)不等式mf(x)0可化為mf(x)若存在實(shí)數(shù)x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，所以f(x)mi