分類匯編4數(shù)列

1、設(shè)函數(shù),證明:()對每個,存在唯一的,滿足;()對任意,由()中構(gòu)成的數(shù)列滿足. 是x的單調(diào)遞增函數(shù),也是n的單調(diào)遞增函數(shù). . 綜上,對每個,存在唯一的,滿足;(證畢) () 由題知 上式相減: . 法二: （2013年高考上海卷（理）(3 分+6分+9分)給定常數(shù),定義函數(shù),數(shù)列滿足.(1)若,求及;(2)求證:對任意,;(3)是否存在,使得成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說明理由.【答案】:(1)因為,故, (2)要證明原命題,只需證明對任意都成立, 即只需證明 若,顯然有成立; 若,則顯然成立 綜上,恒成立,即對任意的, (3)由(2)知,若為等差數(shù)列,則公差,

2、故n無限增大時,總有 此時, 即 故, 即, 當(dāng)時,等式成立,且時,此時為等差數(shù)列,滿足題意; 若,則, 此時,也滿足題意; 綜上,滿足題意的的取值范圍是. （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）本小題滿分10分.設(shè)數(shù)列,即當(dāng)時,記,對于,定義集合(1)求集合中元素的個數(shù); (2)求集合中元素的個數(shù).【答案】本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運算.計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識,考察探究能力及運用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題能力及推理論證能力. (1)解:由數(shù)列的定義得:, , , 集合中元素的個數(shù)為5 (2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法先證 事實上, 當(dāng)時, 故原式成立 假

3、設(shè)當(dāng)時,等式成立,即 故原式成立 則:,時, 綜合得: 于是 由上可知:是的倍數(shù) 而,所以是 的倍數(shù) 又不是的倍數(shù), 而 所以不是的倍數(shù) 故當(dāng)時,集合中元素的個數(shù)為 于是當(dāng)時,集合中元素的個數(shù)為 又 故集合中元素的個數(shù)為 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,且,.()求數(shù)列的通項公式;()設(shè)數(shù)列前n項和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項和.【答案】解:()設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為, 由,得 , 解得, 因此 ()由題意知: 所以時, 故, 所以, 則 兩式相減得 整理得 所以數(shù)列數(shù)列的前n項和 （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷）本小

4、題滿分16分.設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和.記,其中為實數(shù).(1)若,且成等比數(shù)列,證明:();(2)若是等差數(shù)列,證明:.【答案】證明:是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和 (1) 成等比數(shù)列 左邊= 右邊= 左邊=右邊原式成立 (2)是等差數(shù)列設(shè)公差為,帶入得: 對恒成立 由式得: 由式得: 法二:證:(1)若,則,. 當(dāng)成等比數(shù)列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差數(shù)列,則型. 觀察()式后一項,分子冪低于分母冪, 故有:,即,而0, 故. 經(jīng)檢驗,當(dāng)時是等差數(shù)列. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)）等差數(shù)列的前項和為

5、,已知,且成等比數(shù)列,求的通項式.【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）已知首項為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列, 其前n項和為, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列. () 求數(shù)列的通項公式; () 設(shè), 求數(shù)列的最大項的值與最小項的值. 【答案】 （2013年高考江西卷（理）正項數(shù)列an的前項和an滿足:(1)求數(shù)列an的通項公式an;(2)令,數(shù)列bn的前項和為.證明:對于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正項數(shù)列,所以. 于是時,. 綜上,數(shù)列的通項. (2)證明:由于. 則. . （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理

6、）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,.() 求的值;() 求數(shù)列的通項公式;() 證明:對一切正整數(shù),有.【答案】.(1) 解: ,. 當(dāng)時, 又, (2)解: ,. 當(dāng)時, 由 ,得 數(shù)列是以首項為,公差為1的等差數(shù)列. 當(dāng)時,上式顯然成立. (3)證明:由(2)知, 當(dāng)時,原不等式成立. 當(dāng)時, ,原不等式亦成立. 當(dāng)時, 當(dāng)時,原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數(shù),有. （2013年高考北京卷（理）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項,的最小值記為Bn,dn=An-Bn .(I)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*

7、,),寫出d1,d2,d3,d4的值;(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列;(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則an的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.【答案】(I) (II)(充分性)因為是公差為的等差數(shù)列,且,所以 因此,. (必要性)因為,所以. 又因為,所以. 于是,. 因此,即是公差為的等差數(shù)列. (III)因為,所以,.故對任意. 假設(shè)中存在大于2的項. 設(shè)為滿足的最小正整數(shù),則,并且對任意,. 又因為,所以,且. 于是,. 故,與矛盾. 所以對于任意,有,即非負(fù)整數(shù)列的各項只能為1或2. 因此對任意,所以. 故. 因此對于任意正整數(shù),存在滿足,且,即數(shù)列有無窮多項為1. （2013年高考陜西卷（理）設(shè)是公比為q的等比數(shù)列. () 導(dǎo)的前n項和公式; () 設(shè)q1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 【答案】解:() 分兩種情況討論. . 上面兩式錯位相