剛體力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題思考題

1、習(xí)題5-1. 如圖，一輕繩跨過兩個質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量均為，將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：受力分析如圖 （1） （2）（3） （4） (5)聯(lián)立，5-2. 如圖所示,一均勻細(xì)桿長為，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上,設(shè)開始時桿以角速度繞過中心且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動，試求:（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉(zhuǎn)動。（1） 設(shè)桿的線，在桿上取一小質(zhì)元考慮對稱（2） 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律所以5-3. 如圖所示，一個質(zhì)量為的物

2、體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為、半徑為 ,其轉(zhuǎn)動慣量為，試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關(guān)系。整理5-4. 輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質(zhì)量為，均勻分布在其邊緣上，繩子端有一質(zhì)量為的人抓住了繩端，而在繩的另一端系了一質(zhì)量為的重物，如圖。已知滑輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量，設(shè)人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求端重物上升的加速度？解：選人、滑輪與重物為系統(tǒng)，設(shè)為人相對繩的速度，為重物上升的速度，系統(tǒng)對軸的角動量 根據(jù)角動量定理所以5-5. 計算質(zhì)量為半徑為的均質(zhì)球體繞其軸線的轉(zhuǎn)動慣量。證明：設(shè)球的半徑為，

3、總重量為，體密度，將球體劃分為許多厚度為的圓盤， 則盤的體積為 5-6. 一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)，當(dāng)時彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量，求在的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度，才能轉(zhuǎn)動到水平位置？解：機(jī)械能守恒 根據(jù)幾何關(guān)系 5-7. 如圖所示，一質(zhì)量為、半徑為的圓盤，可繞軸在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。若盤自靜止下落，略去軸承的摩擦，求：（1）盤到虛線所示的鉛直位置時，質(zhì)心C和盤緣A點的速率；（2）在虛線位置軸對圓盤的作用力。解：在虛線位置的C點設(shè)為重力勢能的零點，下降過程 機(jī)械能守恒 方向向上5-8. 如圖所示，長為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O

4、在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與桿下端小球作對心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動量守衡 有5-9. 一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為，半徑為，放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為)，圓盤可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動。開始時，圓盤靜止，一質(zhì)量為的子彈以水平速度垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求：(1)子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度；(2)經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動。(圓盤繞通過的豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量為，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩。) 解（1）角動量守恒（2），由（1）已得：，代入

5、即得5-10. 有一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為m的水平桌面上，它可繞通過其端點且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一水平運(yùn)動的質(zhì)量為的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為和，如圖所示。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動到停止轉(zhuǎn)動的過程所需的時間。(已知棒繞點的轉(zhuǎn)動慣量) 碰撞時角動量守恒細(xì)棒運(yùn)動起來所受到的摩擦力矩5-11. 如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細(xì)繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止而下落的最大距離。(2)物體的速度達(dá)最

6、大值時的位置及最大速率。（1）機(jī)械能守恒。設(shè)下落最大距離為（2）若速度達(dá)最大值，5-12. 設(shè)電風(fēng)扇的功率恒定不變?yōu)椋~片受到的空氣阻力矩與葉片旋轉(zhuǎn)的角速度成正比，比例系數(shù)的，并已知葉片轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動慣量為。（1）原來靜止的電扇通電后秒時刻的角速度；（2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)速為多大？（3）電扇以穩(wěn)定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，斷開電源后風(fēng)葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度？解：（1）通電時根據(jù)轉(zhuǎn)動定律有 代入兩邊積分 （2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)速 （3） 5-13. 如圖所示，物體放在粗糙的水平面上，與水平桌面之間的摩擦系數(shù)為，細(xì)繩的一端系住物體，另一端纏繞在半徑為的圓柱形轉(zhuǎn)輪上，物體與轉(zhuǎn)輪的質(zhì)量相同。開始時，物體與轉(zhuǎn)輪皆靜止

7、，細(xì)繩松弛，若轉(zhuǎn)輪以繞其轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。試問：細(xì)繩剛繃緊的瞬時，物體的速度多大？物體運(yùn)動后，細(xì)繩的張力多大？解：細(xì)繩剛繃緊時系統(tǒng)機(jī)械能守恒5-14. 質(zhì)量為的小孩站在半徑為、轉(zhuǎn)動慣量為的可以自由轉(zhuǎn)動的水平平臺邊緣上(平臺可以無摩擦地繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動)。平臺和小孩開始時均靜止。當(dāng)小孩突然一相對地面為的速率沿臺邊緣逆時針走動時，此平臺相對地面旋轉(zhuǎn)的角速度為多少？解：此過程角動量守恒 5-15. 以速度作勻速運(yùn)動的汽車上，有一質(zhì)量為（較?。呴L為的立方形貨物箱，如圖所示。當(dāng)汽車遇到前方障礙物急剎車停止時，貨物箱繞其底面邊翻轉(zhuǎn)。試求：（1）汽車剎車停止瞬時，貨物箱翻轉(zhuǎn)的角速度及角加速度；（2）此時，

8、貨物箱邊所受的支反力。解：（1）角動量守恒 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 （2）思考題5-1. 一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質(zhì)量為的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量和的物體 (<)，如圖所示.繩與輪之間無相對滑動，某時刻滑輪沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，則繩的張力多大？ （1） （2） 插入圖5-29（3） (4)聯(lián)立方程可得 、。 5-2. 一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸以角速度按圖示方向轉(zhuǎn)動，若如圖所示的情況那樣，將兩個大小相等方向相反但不在同一條直線的力沿盤面方向同時作用到盤上，則盤的角速度怎樣變化？ 答：增大5-3. 個人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平臺上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的

9、過程中,人、啞鈴與轉(zhuǎn)動平臺組成的系統(tǒng)的：（A）機(jī)械能守恒,角動量守恒;（B）機(jī)械能守恒,角動量不守恒,（C）機(jī)械能不守恒,角動量守恒;（D）機(jī)械能不守恒,角動量不守恒. 答：（C）5-4. 在邊長為的六邊形頂點上，分別固定有質(zhì)量都是的6個質(zhì)點，如圖所示。試求此系統(tǒng)繞下列轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：（1）設(shè)轉(zhuǎn)軸、在質(zhì)點所在的平面內(nèi)，如圖所示；（2）設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點所在的平面，如圖所示。以為軸轉(zhuǎn)動慣量 以為軸轉(zhuǎn)動慣量 以為軸轉(zhuǎn)動慣量 5-5. 如圖所示，半徑分別是和、轉(zhuǎn)動慣量分別是和的兩個圓柱體，可繞垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動，最初大圓柱體的角速度為，現(xiàn)在將小圓柱體向左靠近，直到它碰到大圓柱體為止。由于相互間的摩擦力，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動，最后，當(dāng)相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動。試問這種情況角動量是否守恒？為什么？小圓柱的最終角速度