二面角面積法

1、用射影面積法求二面角在高考中的妙用 立體幾何中的二面角是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二面角的大小更是歷年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在每年全國(guó)各省市的高考試題的大題中幾乎都出現(xiàn). 求二面角的方法很多，但是，對(duì)無(wú)棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角時(shí)，如何求這個(gè)二面角的大小呢？用射影面積法是解決這類問(wèn)題的捷徑，本文以近年高考題為例說(shuō)明這個(gè)方法在解題中的妙用，以饗讀者！定理 已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為，平面和平面所成的二面角的大小為，則.本文僅對(duì)多邊形為三角形為例證明，其它情形請(qǐng)讀者自證.AB D C證明：如圖，平面內(nèi)的ABC在平面的射影為，作于D，連結(jié)AD.于，在內(nèi)的射影為

2、.又，（三垂線定理的逆定理）.為二面角BC的平面角.設(shè)ABC和的面積分別為S和，則.A BD1 C1D CA1 B1E典題妙解下面以近年高考題為例說(shuō)明上述結(jié)論在解題中的妙用.例1 如圖, 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A A1棱的中點(diǎn)，則面BE C1與面AC所成的二面角的大小為( )A BD1 C1D CA1 B1EA. B. C. D. 解：連結(jié)AC，則在面AC內(nèi)的射影是ABC，設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為 .設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則AB = BC = 2，.故答案選D.例2（04北京）如圖, 已知四棱錐SABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形, SD面AC, SB = . A

3、 BD CS BM BD(1) 求證:BCSC;(2) 求面ASD與面BSC所成的二面角的大小;(3) 設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M, 求異面直線DM與SB所成的角的大小.（1）證明： SD面AC， SC在面AC內(nèi)的射影是SD. 又四邊形ABCD是正方形，面AC， BCSC（三垂線定理）.（2）解： SD面AC，面AC，.又四邊形ABCD是正方形，. 而，CD面ASD. 又ABCD，BA面ASD. SBC在面SAD的射影是SAD，設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為 . 故.所以面ASD與面BSC所成的二面角的大小為.A BD CS BM BDE（3）解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、ME.，MESB.異

4、面直線DM與SB所成的角就是，設(shè).，. 故.A BD CS BM BD所以異面直線DM與SB所成的角的大小為.解法二：面SAD，SB在面SAD 內(nèi)的射影是SA.又.而面SAD，（三垂線定理）.所以異面直線DM與SB所成的角的大小為.D AMC BEF例3 （04浙江）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB = ，AF = 1，M是線段EF的中點(diǎn). (1) 求證：AM平面BDE；(2) 求證：面AE平面BDF；(3) 求二面角ADFB的大小.證明：（1）設(shè)，則，連結(jié)OE.四邊形ACEF是矩形，D AMC BEFO，EMAO.四邊形AOEM是平行四邊形，從而AMEO.又平面

5、BDE， AM平面BDE.（2）四邊形ABCD是正方形，.又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，面BD面AE= AC ，從而.而，.平面BDF，面AE平面BDF.（3）解：，.BDF在面ADF上的射影是ADF，設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為. AB = ，AF = 1，.D AMC BEFO連結(jié)FO，則.故.PA DB C所以二面角ADFB的大小為.例4 （08天津）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，.（1）證明：AD平面PAB；（2）求異面直線PC與AD所成的角的大??；（3）求二面角PBDA的大小.（1）證明：

6、. ，即. 又四邊形ABCD是正方形，.而，AB、PA面PAB，AD平面PAB.（2）ADBC，異面直線PC與AD所成的角就是PC與BC所成的角，即.在PAB中，AB = 3，PA = 2，.由（1）得，AD平面PAB.，即. 又BC = AD = 2，PA DB CE. .所以異面直線PC與AD所成的角的大小為.（3）作于E，連結(jié)DE.由（1）知，而，面ABCD.PBD在面ABCD內(nèi)的射影是EBD，設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為 .，.所以二面角PBDA的大小為.點(diǎn)評(píng)：例1和例2 中的二面角就是無(wú)棱二面角，例3和例4中的二面角雖然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定義法解

7、決這兩類問(wèn)題就顯得非常繁雜，并且不知如何下手，而另辟溪徑，用射影面積法則是化繁為簡(jiǎn)，曲徑通幽！金指點(diǎn)睛VD CA B1.（05全國(guó)）如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.（1）證明：AB平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成二面角的大小.C BADE2.（06全國(guó)）如圖，在直三棱柱ABC中，AB = BC ，D、E分別為、的中點(diǎn).（1）證明：ED為異面直線和的公垂線；（2）設(shè)，求二面角的大小.EB CA DP3.（07陜西）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，PA平面ABCD，PA = 4，AD = 2，BC =

8、6.（1）求證：BD平面PAC；（2）求二面角APCD的大小.SA BD CE4. （09湖北）如圖，四棱柱SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD = AD = a ，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（0）.（1）求證：對(duì)任意，都有ACBE；（2）若二面角CAED的大小為，求的值.金指點(diǎn)睛的參考答案VD CA B1.（05全國(guó)）如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.（1）證明：AB平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成二面角的大小.（1）證明：取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)VE. . 又平面VAD底面ABCD，VE平面VAD， VE底面ABCD

9、. VA在底面ABCD的射影是AD.ABAD，AB底面ABCD， ABVA（三垂線定理）. 而VA、AD平面VAD，故AB平面VAD.（2）由（1）可知，AB平面VAD， VBD在平面VAD的射影是VAD，設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為. 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則. .，.所以面VAD與面VDB所成二面角的大小為.2.（06全國(guó)）如圖，在直三棱柱ABC中，AB = BC ，D、E分別為、的中點(diǎn).C BADE（1）證明：ED為異面直線和的公垂線；（2）設(shè)，求二面角的大小.（1）證明：取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF. .在直三棱柱ABC中，面ABC，C BADEFDB，EF= DB，面ABC

10、.四邊形BDEF是矩形. 從而.在RtABD和Rt中，. RtABDRt. 而 C BADE所以ED為異面直線和的公垂線.（2）解：連結(jié). ，即面在面內(nèi)的射影是.在面內(nèi)的射影是.設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為.設(shè)AB = BC = 1，則. 所以二面角的大小為.EB CA DP3.（07陜西）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，PA平面ABCD，PA = 4，AD = 2，BC = 6.（1）求證：BD平面PAC；（2）求二面角APCD的大小.（1）證明：在RtABD和RtABC中， AD = 2，BC = 6. . 而，EB CA DP，即. 又 PA平面ABCD，

11、平面ABCD，.，PA、AC平面PAC，故BD平面PAC.（2）解：連結(jié)PE. 由（1）知，BD平面PAC.PDC在平面PAC內(nèi)的射影是PEC，設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為.PA平面ABCD，（三垂線定理）.，從而. .所以二面角APCD的大小SA BD CEO4. （09湖北）如圖，四棱柱SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD = AD = a ，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（0）.（1）求證：對(duì)任意，都有ACBE；（2）若二面角CAED的大小為，求的值.（1）證明：連結(jié)BD. 四邊形ABCD是正方形，. 又 SD平面ABCD，SD = a ，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（0）， 點(diǎn)E在線段SD上，且不與點(diǎn)D重合，因而BE在