將軍飲馬系列---最值問題

1、 同步課程“將軍飲馬”系列最值問題“將軍飲馬”系列最值問題知識回顧1.兩點(diǎn)之間，線段最短2.點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小魚第三邊4.分別為同一圓心半徑不等的兩個圓上的一點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時能取等號知識講解古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題：如圖，將軍從出發(fā)到河邊飲馬，然后再到地軍營視察，顯然有許多走法問怎樣走路線最短呢？精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回答這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題下面我們來看看數(shù)學(xué)家是怎樣解決的海倫發(fā)現(xiàn)這是一個求折線和最短的數(shù)學(xué)問題根據(jù)公理：

2、連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短若在河流的異側(cè)，直接連接，與的交點(diǎn)即為所求若在河流的同側(cè)，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，那么顯然要把折線變成直線再解海倫解決本問題時，是利用作對稱點(diǎn)把折線問題轉(zhuǎn)化成直線現(xiàn)在人們把凡是用對稱點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)解題的思想方法叫對稱原理，即軸對稱思想軸對稱及其性質(zhì)：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形這條直線就是它的對稱軸這時我們就說這個圖形關(guān)于這條直線(或軸)對稱如等腰是軸對稱圖形把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)如下圖，與

3、關(guān)于直線對稱，叫做對稱軸和，和，和是對稱點(diǎn)軸對稱的兩個圖形有如下性質(zhì)：關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線的垂直平分線；兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果他們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上線段垂直平分線：垂直平分線上點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等；到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上當(dāng)已知條件出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高，或者求幾條折線段的最小值等情況，通?？紤]作軸對稱變換，以“補(bǔ)齊”圖形，集中條件。所有的軸對稱圖形（角、線、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓、坐標(biāo)軸），都可以考察“將軍飲馬”問題?？疾熘R點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短

4、”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查。構(gòu)建“對稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化 常見模型：（1）最小 （2）最小最大 【變形】異側(cè)時，也可以問：在直線上是否存在一點(diǎn)使的直線為的角平分線（3）周長最短類型一 類型二 類型三 （4）“過河”最短距離類型一 類型二 （5）線段和最小（6）在直角坐標(biāo)系里的運(yùn)用同步練習(xí)【例1】 尺規(guī)作圖，作線段的垂直平分線，作的角平分線【變式練習(xí)】已知：如圖，及兩點(diǎn)、求作：點(diǎn)，使得，且點(diǎn)到兩邊所在的直線的距離相等 【例2】 已知點(diǎn)在直線外，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，探究是否存在一個

5、定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時，點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請作出定點(diǎn)；若不存在，請說明理由【例3】 如圖，在公路的同旁有兩個倉庫、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉庫的距離和最短，這個中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個位置比較合理？【變式練習(xí)】如圖，、為的邊、上的兩個定點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使的周長最短 【例4】 如圖，角內(nèi)有點(diǎn)，在角的兩邊有兩點(diǎn)、(均不同于點(diǎn))，求作、，使得的周長的最小 【例5】 如圖，在內(nèi)部有點(diǎn)和點(diǎn)，同時能使，這時在直線上再取點(diǎn)，使從點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離和為最小；在直線上也取點(diǎn)，使從點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離和也最小證明：【例6】 已知如圖，點(diǎn)在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到的邊的

6、距離和最小 【例7】 已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)， 在上求作一點(diǎn)，使得最小值和最大值【變式練習(xí)】(07年三帆中學(xué)期中試題)如圖，正方形中，是上的一點(diǎn)，且，是上的一動點(diǎn)求（1）的最小值與最大值（2）的最小值與最大值 【例8】 如圖，分別是邊上的點(diǎn)（均不與點(diǎn)重合），記的周長為，請作出周長最小的 課后練習(xí)【習(xí)題1】 如圖，在等腰中，的上一點(diǎn)，滿足，在斜邊上求作一點(diǎn)使得長度之和最小 【習(xí)題2】 如圖，菱形的兩條對角線分別長和，點(diǎn)、分別是變、的中點(diǎn)，在對角線求作一點(diǎn)使得的值最小 【習(xí)題3】 如圖，在銳角中，°，的平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是_ 【習(xí)題4】 已知的直徑為，的度數(shù)為°，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直徑上找一點(diǎn)，使 的值最小，并求的最小值 【習(xí)題5】 如圖所示，正方形的面積為，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個最小值為（） 【習(xí)題6】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線是第一、三象限的角平分線實(shí)驗(yàn)與探究：（1）由圖觀察易知關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，請?jiān)趫D中分別標(biāo)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的位置，并寫出它們的坐標(biāo)：_；歸納與發(fā)現(xiàn)：