反比例函數(shù)與一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合經(jīng)典例題解析

1、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合經(jīng)典例題解析  在歷年中考試題中一次函數(shù)和反比例函數(shù)常以綜合題形式出現(xiàn)，這類試題不僅能考查兩個函數(shù)的基本性質(zhì)，而且能考查同學們綜合分析問題的能力。現(xiàn)以以下典型例題為例，淺談這類問題的解法，供參考。一. 探求同一坐標系下的圖象例1. 已知函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象大致如圖1，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 分析：由圖知，一次函數(shù)中，y隨x的增大而增大，所以；反比例函數(shù) 在第二、四象限，所以。觀察各選項知，應(yīng)選B。評注：本題要由所給圖象結(jié)合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，方能作出正確選擇。例2.在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象大致是（ ）A. B.

2、 C. D.圖2分析：本題可采用排除法。由選項A、B的一次函數(shù)圖象知，即，則一次函數(shù)圖象與y軸交點應(yīng)在y軸負半軸，而選項A、B都不符合要求，故都排除；由選項D的一次圖象知，即，則反比例函數(shù)圖象應(yīng)在第一、三象限，而選項D不符合要求，故也排除；所以本題應(yīng)選C。評注：本題把一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標系中給出，有較強的綜合性，解決這類問題常用排除法。二. 探求函數(shù)解析式例3.如圖3，直線與雙曲線只有一個交點A（1，2），且與x軸，y軸分別交于B，C兩點，AD垂直平分OB，垂足為D，求直線與雙曲線的解析式。解析：因為雙曲線過點A（1，2），所以得雙曲線的解析式為。因為AD垂直平分OB，A點的坐

3、標為（1，2）。所以B點的坐標為（2，0）。因為過點A（1，2）和B（2，0），所以解得所以直線的解析式為評注：解決本題的關(guān)鍵是確定點B的坐標，由AD垂直O(jiān)B知，點D和點A的橫坐標應(yīng)相同，所以點D的坐標為（1，0），又AD平分OB知，所以點B坐標為（2，0），進而求出一次函數(shù)解析式。三. 探求三角形面積例4.如圖4，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點為A，B，過點A作y軸的平行線與過點B作x軸的平行線相交于點C，則的面積為（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2解析：把代入，得整理得解得把分別代入，得所以點A的坐標為點B的坐標為由題意知，點C的橫坐標與點A的橫坐標相同，點C的縱坐標與點B的縱坐標相同，

4、所以點C的坐標為（）。因為，所以的面積為故應(yīng)選A。例5.如圖5，已知點A是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點，點B在x軸的負半軸上，且OA=OB，那么的面積為（ ）A. 2B. C. D. 析解：把代入，得，整理得，解得得分別代入得又點A在第一象限內(nèi)，所以點A的坐標為在中由勾股定理，得所以O(shè)B=2。所以的面積為，故應(yīng)選（C）評注：例4和例5中都利用解方程來求出兩函數(shù)圖象的交點坐標，這是求兩函數(shù)圖象交點坐標的常用方法，蘊含著轉(zhuǎn)化思想。四. 探求點的坐標例6.如圖6，直線分別交x軸、y軸于點A，C，點P是直線AC與雙曲線 在第一象限內(nèi)的交點，軸，垂足為點B，的面積為4。（1）求點P

5、的坐標；（2）略。析解：在中，令，則；令，則。所以點A的坐標為（-2，0），點C的坐標為（0，1）。因為點P的直線上，不妨設(shè)點P的坐標為所以。又因為所以整理得即解得因為點P在第一象限，所以。故點P的坐標為（2，2）。評注：本題的解答過程蘊含著設(shè)元思想、方程思想和轉(zhuǎn)換思想。五、綜合運用例6 已知關(guān)于x的一次函數(shù)ymx3n和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1，2)求：(1)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標解析：(1)兩函數(shù)圖象都過點(1，2)，一次函數(shù)的解析式為y4x6，(2)根據(jù)題意，列出方程組評注：(1，2)，則該點坐標滿足兩解析式；要求兩圖象交點，則應(yīng)由兩圖象的解

6、析式組成方程組求解例已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)7 yx6y(k0)kx(1)k滿足什么條件時，這兩個函數(shù)在同一坐標系xOy中的圖象有兩個公共點？(2)設(shè)(1)中的兩個公共點為A，B，試判斷AOB是銳角還是鈍角？消去y，得x26xk0364k0，k9當k9且k0時，方程x26xk0有兩個不相等的非零實數(shù)解k9且k0時，兩函數(shù)圖象有兩個公共點(2)yx6的圖象過第一，二，四象限，0k9時，雙曲線兩支分別在第一、三象限由此知兩公共點A，B在第一象限，此時AOB是銳角k0時，雙曲線兩支分別在第二，四象限，兩公共點A，B分別在第二、四象限，此時AOB是鈍角例已知，是直線與雙曲線的交點8 A(m2)ly3x

7、(1)求m的值；(2)若直線l分別與x軸、y軸相交于E，F(xiàn)兩點，并且RtOEF(O是坐標原點)的外心為點A，試確定直線l的解析式；l繞點A旋轉(zhuǎn)后所得的直線記為l，若l與y軸的正半軸相交于點C，若存在，請求出點P的坐標？若不存在，請說明理由解析：直線與雙曲線的一個交點為，yA(m2)l3x(2)作AMx軸于MA點是RtOEF的外心，EAFA由AMy軸有OMMEOF2OMMA2，OF4F點的坐標為(0，4)設(shè)l：ykxb，則有C點坐標為(0，1)設(shè)B點坐標為(x1，y1，)，則x1y13設(shè)P點坐標為(0，y)，滿足SPCASBOK當點P在C點上方時，y1，有y3當點P在C點下方時，y1，有y2綜上

8、知，在y軸存在點P(0，3)與(0，2)，使得SPACSBOK評注：直線與雙曲線的綜合題的重要組成部分是兩種圖象的交點，這是惟一能溝通它們的要素，應(yīng)用交點時應(yīng)注意：(1)交點既在直線上也在雙曲線上，交點坐標既滿足直線的解析式也滿足雙曲線的解析式(2)要求交點坐標時，應(yīng)將兩種圖象對應(yīng)的解析式組成方程組，通過解方程組求出交點坐標(3)判斷兩種圖象有無交點時，可用判別式確定，也可以畫出草圖直觀地確定例如圖，已知，是雙曲線在第一象限內(nèi)的分支91332CDymx上的兩點，直線CD分別交x軸，y軸于A，B兩點，設(shè)C，D的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，連結(jié)OC，OD析式證明：(1)如圖1333過點C作CGx軸，垂足為G，則CGy1，OGx1在RtOCG中，CGOCCGOG，解(2)：在RtGCO中，GCO