壓軸題解題策略：平行四邊形的存在性問題

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略 平行四邊形的存在性問題解題策略 2015年9月13日星期日 專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計算難點在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計算又好又快如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點：以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標(biāo)平移，可以使得計算過程簡便根據(jù)平行四邊形的中心對稱的性質(zhì)，靈活運用坐標(biāo)對稱，可以

2、使得解題簡便例題解析例 如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為P，如果以點P、A、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo) 圖1-1【解析】P、A、C三點是確定的，過PAC的三個頂點分別畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個符合條件的點D（如圖1-2）由yx22x3(x1)24，得A(3,0)，C(0, 3)，P(1, 4)由于A(3,0)C(0, 3)，所以P(1, 4)D1(2, 7)由于C(0, 3)A(3,0)，所以P(1, 4)D2(4, 1)由于P(1, 4)C(0, 3)，所以A(3,0)D3(

3、2, 1)我們看到，用坐標(biāo)平移的方法，遠比用解析式構(gòu)造方程組求交點方便多了圖1-2例 如圖2-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx2+2x3與x軸交于A、B兩點，點M在這條拋物線上，點P在y軸上，如果以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)圖2-1【解析】在P、M、A、B四個點中，A、B是確定的，以AB為分類標(biāo)準(zhǔn)由yx2+2x3(x1)(x3)，得A(1，0)，B(3，0)如圖2-2，當(dāng)AB是平行四邊形的對角線時，PM與AB互相平分，因此點M與點P關(guān)于AB的中點（1,0）對稱，所以點M的橫坐標(biāo)為2此時M(2，3)如圖2-3，圖2-4，當(dāng)AB是平行四邊形的邊時，PM/AB，P

4、MAB4所以點M的橫坐標(biāo)為4或4所以M (4,5)或(4,21)我們看到，因為點P的橫坐標(biāo)是確定的，在解圖2-2時，根據(jù)對稱性先確定了點M的橫坐標(biāo)；在解圖2-3和圖2-4時，根據(jù)平移先確定了點M的橫坐標(biāo)圖2-2 圖2-3 圖2-4例 如圖3-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在直線AB上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點D，使得以O(shè)、A、C、D為頂點的四邊形是菱形圖 3-1【解析】由yx4，得A(4, 0)，直線AB與坐標(biāo)軸的夾角為45°在O、A、C、D四個點中，O、A是確定的，以線段OA為分類標(biāo)準(zhǔn)如圖3-2，如果OA是菱形的對角線，那么點C在OA的垂直平

5、分線上，點C(2,2)關(guān)于OA的對稱點D的坐標(biāo)為(2,2)如果OA是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與直線AB的交點恰好為點B(0, 4)，那么正方形AOCD的頂點D的坐標(biāo)為(4, 4)如圖3-4，以A為圓心，AO為半徑的圓與直線AB有兩個交點C和C，點C和C向左平移4個單位得到點D和D圖3-2 圖3-3 圖3-4例 如圖4-1，已知拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點C，點E的坐標(biāo)為(0,3)，點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M、N，使得以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 圖4-1【解析

6、】C(4,0)、E(0,3)兩點是確定的，點N的橫坐標(biāo)2也是確定的以CE為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論平行四邊形：如圖4-2，當(dāng)CE為平行四邊形的邊時，由于C、E兩點間的水平距離為4，所以M、N兩點間的水平距離也為4，因此點M的橫坐標(biāo)為6或2將x6和x2分別代入拋物線的解析式，得M(6,16)或(2, 16)如圖4-3，當(dāng)CE為平行四邊形的對角線時，M為拋物線的頂點，所以M圖4-2 圖4-3例如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22ax3a（a0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點，直線AD與y軸負(fù)半軸交于點C，且CD4AC設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點

7、Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由圖5-1【解析】由yax22ax3aa(x1)(x3)，得A(1, 0)由CD4AC，得xD4所以D(4, 5a)已知A(1, 0)、D(4, 5a)，xP1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：如圖5-2，如果AD為矩形的邊，我們根據(jù)AD/QP，ADQP來兩次平移坐標(biāo)由于A、D兩點間的水平距離為5，所以點Q的橫坐標(biāo)為4所以Q(4,21a)由于A、D兩點間的豎直距離為5a，所以點P的縱坐標(biāo)為26a所以P(1, 26a)根據(jù)矩形的對角線相等，得AP2QD2所以22(26a)282(16a)2整理，得

8、7a21所以此時P如圖5-3，如果AD為矩形的對角線，我們根據(jù)AP/QD，APQD來兩次平移坐標(biāo)由于A、P兩點間的水平距離為2，所以點Q的橫坐標(biāo)為2所以Q(2,3a)由于Q、D兩點間的豎直距離為8a，所以點P的縱坐標(biāo)為8a所以P(1, 8a)再根據(jù)AD2PQ2，得52(5a)212(11a)2整理，得4a21所以此時P我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構(gòu)造矩形的外接矩形，使得外接矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，那么線段的等量關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系上面我們根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”列方程，還可以根據(jù)定義“有一個角是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程如圖5-2，如果ADP90°，

9、那么；如圖5-3，如果QAP90°，那么圖5-2 圖5-3例 如圖6-1，將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由圖6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們?nèi)未嬲?，將A、B、D、E、M、N六個點及它們的坐標(biāo)在圖中都標(biāo)注出來（如圖6-2），如果您看到了MA

10、B和NED是邊長為2的等邊三角形，那么平移就簡單了如圖6-3，在兩個等邊三角形平移的過程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANEM保持平行四邊形的形狀，點O為對稱中心【解法一】如果ANE90°，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AE2EN4而AEAOOE2AO，所以AO2已知AB2，此時B、O重合（如圖6-4），所以mBO1【解法二】如果對角線MNAE，那么OMOA，此時MAO是等邊三角形所以等邊三角形MAB與MAO重合因此B、O重合，mBO1【解法三】在平移的過程中，、，M，根據(jù)OA2OM 2列方程(1m)2m23解得m1圖6-2 圖6-3 圖6-4例 如

11、圖7-1，菱形ABCD的邊長為4，B60°，E、H分別是AB、CD的中點，E、G分別在AD、BC上，且AECG（1）求證四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形EFGH是矩形時，求AE的長；（3）當(dāng)四邊形EFGH是菱形時，求AE的長 圖7-1【解析】（1）證明三角形全等得EFGH和FGHE大家最熟練了（2）平行四邊形EFGH的對角線FH4是確定的，當(dāng)EGFH4時，四邊形EFGH是矩形以FH為直徑畫圓，你看看，這個圓與AD有幾個交點，在哪里？如圖7-2如圖7-3，當(dāng)E為AD的中點時，四邊形ABGE和四邊形DCGE都是平行四邊形如圖7-4，當(dāng)E與A重合時，ABG與DCE都是等邊三角形（

12、3）如果平行四邊形EFGH的對角線EG與FH互相垂直，那么四邊形EFGH是菱形過FH的中點O畫FH的垂線，EG就產(chǎn)生了在RtAOE中，OAE60°，AO2，此時AE1又一次說明了如果會畫圖，答案就在圖形中圖7-2 圖7-3 圖7-4 圖7-5例 如圖8-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A(4, 0)、B(0, 3)，點C的坐標(biāo)為(0, m)，過點C作CEAB于點E，點D為x軸正半軸的一動點，且滿足OD2OC，連結(jié)DE，以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA（1）如果平行四邊形DEFA為矩形，求m的值；（2）如果平行四邊形DEFA為菱形，請直接寫出m的值圖8-1【解析】這道題目我們著重講解怎樣畫示意圖我們注意到，點A和直線AB（