彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)分析

1、第二章應(yīng)力狀態(tài)分析一、內(nèi)容介紹彈性力學(xué)的研究對象為三維彈性體，因此分析從微分單元體入手，本章的任務(wù)就是從靜力學(xué)觀點出發(fā)，討論一點的應(yīng)力狀態(tài)，建立平衡微分方程和面力邊界條件。應(yīng)力狀態(tài)是本章討論的首要問題。由于應(yīng)力矢量與內(nèi)力和作用截面方位均有關(guān)。因此，一點各個截面的應(yīng)力是不同的。確定一點不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。首先是確定應(yīng)力狀態(tài)的描述方法，這包括應(yīng)力矢量定義，及其分解為主應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力分量；其次是任意截面的應(yīng)力分量的確定轉(zhuǎn)軸公式；最后是一點的特殊應(yīng)力確定，主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力和應(yīng)力圓等。應(yīng)力狀態(tài)分析表明應(yīng)力分量為二階對稱張量。本課程分析中使用張量符號描述物理量和基本方程，

2、如果你沒有學(xué)習(xí)過張量概念，請進入附錄一，或者查閱參考資料。本章的另一個任務(wù)是討論彈性體內(nèi)一點微分單元體的平衡。彈性體內(nèi)部單元體的平衡條件為平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理；邊界單元體的平衡條件為面力邊界條件。二、重點1、應(yīng)力狀態(tài)的定義：應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；2、平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理；3、面力邊界條件；4、應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式；5、應(yīng)力狀態(tài)特征方程和應(yīng)力不變量；知識點：體力；面力；應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量；平衡微分方程；面力邊界條件；主平面與主應(yīng)力；主應(yīng)力性質(zhì)；截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；三向應(yīng)力圓；八面體單元；偏應(yīng)力張量不變量；切應(yīng)力互等定理；應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸

3、公式；平面問題的轉(zhuǎn)軸公式；應(yīng)力狀態(tài)特征方程；應(yīng)力不變量；最大切應(yīng)力；球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量§2.1體力和面力學(xué)習(xí)思路:本節(jié)介紹彈性力學(xué)的基本概念體力和面力，體力Fb和面力Fs的概念均不難理解。應(yīng)該注意的問題是，在彈性力學(xué)中，雖然體力和面力都是矢量，但是它們均為作用于一點的力，而且體力是指單位體積的力；面力為單位面積的作用力。體力矢量用Fb表示，其沿三個坐標軸的分量用Fbi（i=1，2，3）或者Fbx、Fby和Fbz表示，稱為體力分量。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。體力和面力分量的方向均規(guī)定與坐標軸方向一致為正，反之為負。學(xué)習(xí)要點：

4、1、體力；2、面力。1、體力作用于物體的外力可以分為兩種類型：體力和面力。所謂體力就是分布在物體整個體積內(nèi)部各個質(zhì)點上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。面力是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。為了表明物體在xyz 坐標系內(nèi)任意一點P 所受體力的大小和方向，在P點的鄰域取一微小體積元素V，如圖所示設(shè)V 的體力合力為F，則P點的體力定義為令微小體積元素V 趨近于0，則可以定義一點P的體力為一般來講，物體內(nèi)部各點處的體力是不相同的。物體內(nèi)任一點的體力用Fb表示，稱為體力矢量，其方向由該點的體力合力方向確定。體力沿三個坐標軸的分量用Fbi( i = 1

5、,2,3)或者Fbx, Fby, Fbz表示，稱為體力分量。體力分量的方向規(guī)定與坐標軸方向一致為正，反之為負。應(yīng)該注意的是：在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。2、面力類似于體力，可以給出面力的定義。對于物體表面上的任一點P，在P 點的鄰域取一包含P點的微小面積元素S，如圖所示設(shè)S 上作用的面力合力為 F，則P 點的面力定義為面力矢量是單位面積上的作用力，面力是彈性體表面坐標的函數(shù)。一般條件下，面力邊界條件是彈性力學(xué)問題求解的主要條件。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。面力的方向規(guī)定以與坐標軸方向一致為正，反之為負。彈性力學(xué)中的面力均定義為單位

6、面積的面力。§2.2應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)學(xué)習(xí)思路:物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用，物體內(nèi)部相互作用力稱為內(nèi)力。為討論彈性體的強度，將單位面積的內(nèi)力，就是內(nèi)力集度定義為應(yīng)力。pn為過任意點M，法線方向為n的微分面上的應(yīng)力矢量。應(yīng)力矢量不僅隨點的位置改變而變化，而且即使在同一點，也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。一點所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)。討論一點各個截面的應(yīng)力變化趨勢稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。凡是應(yīng)力均必須說明是物體內(nèi)哪一點，并且通過該點哪一個微分面的應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)對于研究物體的強度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個確定點的各個截面的應(yīng)力矢量，

7、就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫出一點所有截面的應(yīng)力。為了準確、明了地描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。為了探討各個截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。學(xué)習(xí)要點：1、應(yīng)力矢量；2、應(yīng)力矢量的分解；3、應(yīng)力分量。1、應(yīng)力矢量物體在外界因素作用下，例如外力，溫度變化等，物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力稱為內(nèi)力。內(nèi)力的計算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計算內(nèi)力的截面暴露出來，通過平衡關(guān)系計算截面內(nèi)力F。內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任意一點M的內(nèi)力，在截面上選取一個包含M的微

8、面積單元S，如圖所示則可認為微面積上的內(nèi)力主矢F的分布是均勻的。設(shè)S 的法線方向為n，則定義：上式中pn為微面積S 上的平均應(yīng)力。如果令S 逐漸減小，并且趨近于零，取極限可得 上述分析可見：pn是通過任意點M，法線方向為n的微分面上的應(yīng)力矢量。應(yīng)力pn是矢量，方向由內(nèi)力主矢F確定，又受S方位變化的影響。應(yīng)力矢量不僅隨點的位置改變而變化，而且即使在同一點，也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。這種性質(zhì)稱為應(yīng)力狀態(tài)。因此凡是應(yīng)力均必須說明是物體內(nèi)哪一點，并且通過該點哪一個微分面的應(yīng)力。一點所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)對于研究物體的強度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個

9、確定點的各個截面的應(yīng)力矢量，就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫出一點所有截面的應(yīng)力。為了準確、明了地描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。 2、應(yīng)力矢量的分解討論一點各個截面的應(yīng)力變化趨勢稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。為了探討各個截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。 應(yīng)力矢量的一種分解方法是將應(yīng)力矢量pn在給定的坐標系下沿三個坐標軸方向分解，如用px, py, pz表示其分量，則 pn=px i + py j+ pz k，這種形式的分解并沒有工程實際應(yīng)用的價值。它的主要用途在于作為工具用于推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程。另一種分解方法，如圖所示，是將應(yīng)力矢量 pn

10、沿微分面S的法線和切線方向分解。與微分面S 法線 n方向的投影稱為正應(yīng)力，用sn表示；平行于微分面S 的投影稱為切應(yīng)力或剪應(yīng)力，切應(yīng)力作用于截面內(nèi)，用tn表示。彈性體的強度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān)，因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形式。由于微分面法線 n 的方向只有一個，因此說明截面方位就確定了正應(yīng)力 sn 的方向。但是平行于微分面的方向有無窮多，因此切應(yīng)力tn不僅需要確定截面方位，還必須指明方向。3、應(yīng)力分量為了表達彈性體內(nèi)部任意一點M 的應(yīng)力狀態(tài)，利用三個與坐標軸方向一致的微分面，通過M點截取一個平行六面體單元，如圖所示。將六面體單元各個截面上的應(yīng)力矢量分別向3個坐標軸投影，可以得

11、到應(yīng)力分量sij。應(yīng)力分量的第一腳標 i 表示該應(yīng)力所在微分面的方向，即微分面外法線的方向；第二腳標 j 表示應(yīng)力的方向。如果應(yīng)力分量與 j 坐標軸方向一致為正，反之為負。如果兩個腳標相同，ij，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向一致，這是正應(yīng)力，可以并寫為一個腳標，例如sx。如果兩腳標不同，ij，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向不同，這是切應(yīng)力，例如txy。六面體單元的3對截面共有九個應(yīng)力分量sij。應(yīng)該注意：應(yīng)力分量是應(yīng)力矢量在坐標軸上的投影，因此是標量，而不是矢量。在已知的坐標系中應(yīng)力狀態(tài)通常用應(yīng)力張量表示。使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點的應(yīng)力狀態(tài)。§2.3斜截面上的應(yīng)力 應(yīng)力矢

12、量與應(yīng)力分量學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力矢量不僅隨點的位置改變而變化，而且也由于截面的法線方向n的方向改變而變化，研究這一變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。如果應(yīng)力分量能夠描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準備。利用三個坐標平面和一個任意斜截面構(gòu)造微分四面體單元，通過四面體單元探討坐標平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系。根據(jù)平衡關(guān)系，推導(dǎo)任意斜截面的應(yīng)力矢量、法線方向余弦和各個應(yīng)力分量之間的關(guān)系。分析表明：一點的應(yīng)力分量確定后，任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的。學(xué)習(xí)要點：1、 分四面體單元；2、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量。1、微分四面體

13、單元一點的九個應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點的應(yīng)力狀態(tài)，則其必須能夠表達通過該點的任意斜截面上的應(yīng)力矢量。為了說明這一問題，在O點用三個坐標面和一任意斜截面截取一個微分四面體單元，如圖所示。斜截面的法線方向矢量為n，它的三個方向余弦分別為l，m和n。 設(shè)斜截面上的應(yīng)力為pn，i，j 和 k 分別為三個坐標軸方向的單位矢量，pn在坐標軸上的投影分別為px, py, pz。則應(yīng)力矢量可以表示為 pn = pxi+ py j+ pz k同樣，把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標軸分解，有Fb = Fbxi+ Fby j+ Fbz k設(shè)S為ABC的面積，則 OBC=lS,  

14、60; OCA=mS,    OAB=nSABC的法線方向的單位矢量可表示為 n = l i+ l j + m k2、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿足平衡條件，設(shè)h為O點至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得將公式 代入上式，則     對于微分四面體單元，h與單元體棱邊相關(guān)，因此與1相比為小量，趨近于零，因此同理 如果采用張量記號，則上述公式可以表示為上式給出了物體內(nèi)一點的9個應(yīng)力分量和通過同一點的各個微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明，只要有了應(yīng)力分量，就能夠確定一點任意截面的應(yīng)力矢量，或者正應(yīng)力和

15、切應(yīng)力。因此應(yīng)力分量可以確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。§2.4平衡微分方程學(xué)習(xí)思路:物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達到平衡位置。平衡不僅是指整個物體，而且彈性體的任何部分也是平衡的。本節(jié)通過微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點的平衡。應(yīng)該注意：在討論微分單元體平衡時，考慮到坐標的微小變化將導(dǎo)致應(yīng)力分量的相應(yīng)改變。即坐標有增量時，應(yīng)力分量也有對應(yīng)的增量。這個增量作為高階小量，如果不涉及微分單元體平衡時是可以不考慮的。微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點的平衡，確定了應(yīng)力分量與體力之間的關(guān)系。又稱為納維（Navier）方程。平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部應(yīng)力分量與體力之間的微分關(guān)系，是彈性力學(xué)的第

16、一個基本方程。切應(yīng)力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果。學(xué)習(xí)要點：1、微分單元體及平衡關(guān)系； 2、平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理。1、微分單元體及平衡關(guān)系物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達到平衡位置。不僅整個物體是平衡的，而且彈性體的任何部分也都是平衡的。為了考察彈性體內(nèi)部的平衡，通過微分平行六面體單元討論任意一點M 的平衡。在物體內(nèi)，通過任意點M，用三組與坐標軸平行的平面截取一正六面體單元，單元的棱邊分別與x，y，z軸平行，棱邊分別長dx，dy，dz，如圖所示討論微分平行六面體單元的平衡：在x面上有應(yīng)力分量sx，txy和 txz；在x+dx面上，應(yīng)力分量相對x 截面有一個增量，取一階增量，則對y，z

17、方向的應(yīng)力分量作同樣處理。 根據(jù)微分單元體x方向平衡，F(xiàn)x=0，則 簡化并且略去高階小量，可得同理考慮y，z方向，有上述公式給出了應(yīng)力和體力之間的平衡關(guān)系，稱為平衡微分方程，又叫納維（Navier）方程。用張量形式表示，可以寫作 如果考慮微分單元體的力矩平衡， 則可以得到t xy =t yx， t yz=tzy， tzx=txz由此可見，切應(yīng)力是成對出現(xiàn)的，9個應(yīng)力分量中僅有6個是獨立的。上述關(guān)系式又稱作切應(yīng)力互等定理。用張量形式表示，則sij = sji§2.5面力邊界條件學(xué)習(xí)思路: 在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿足平衡微分方程；在彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界

18、條件，以維持彈性體表面的平衡。面力邊界條件的推導(dǎo)時，參考了應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量關(guān)系表達式。只要注意到物體邊界任意一點的微分四面體單元表面作用應(yīng)力分量和面力之間的關(guān)系就可以得到。面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，而平衡微分方程描述物體內(nèi)部的平衡。當(dāng)然，對于彈性體，這僅是靜力學(xué)可能的平衡，還不是彈性體實際存在的平衡。面力邊界條件確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點：1、面力邊界條件。1、面力邊界條件物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)，不僅整體，而且任意部分都是平衡的。在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿足平衡微分方程；在彈性體的表面，應(yīng)力分量須與表面力滿足面力邊界條件，以滿

19、足彈性體表面的平衡。考慮物體表面任一微分四面體的平衡，如圖所示。由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用，設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz ，物體外表面法線n的方向余弦為l，m，n。參考應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，可得用張量符號可以表示為上述公式是彈性體表面微分單元體保持平衡的必要條件，公式左邊表示物體表面的外力，右邊是彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量。公式給出了應(yīng)力分量與面力之間的關(guān)系，稱為靜力邊界條件或面力邊界條件。平衡微分方程和面力邊界條件都是平衡條件的表達形式，前者表示物體內(nèi)部的平衡，后者表示物體邊界部分的平衡。顯然，若已知應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條件，則物體

20、平衡；反之，如物體平衡，則應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和面力邊界條件。§2.5坐標變換的應(yīng)力分量和應(yīng)力張量學(xué)習(xí)思路:一點的應(yīng)力不僅隨著點的位置改變而變化，而且由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。因此必須探討一點任意截面應(yīng)力之間的變化關(guān)系。應(yīng)力分量能夠描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，因此確定不同截面應(yīng)力分量的變化規(guī)律，就可以確定應(yīng)力狀態(tài)。本節(jié)分析坐標系改變時應(yīng)力分量的變化規(guī)律。為了簡化分析，首先假設(shè)斜截面的法線與新坐標軸方向相同，建立斜截面應(yīng)力矢量表達式。然后利用斜截面應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，將應(yīng)力矢量投影于各個坐標軸得到應(yīng)力分量表達式。應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式說明：應(yīng)力分量滿足張量變換條件。

21、根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)力張量是二階對稱張量。轉(zhuǎn)軸公式說明了一點的應(yīng)力狀態(tài)，盡管截面方位的變化導(dǎo)致應(yīng)力分量改變，但是一點的應(yīng)力狀態(tài)是不變的。學(xué)習(xí)要點：1、坐標系的變換；2、坐標平面的應(yīng)力矢量；3、應(yīng)力分量的投影；4、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式；5、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式。1、坐標系的變換一點的應(yīng)力不僅是坐標的函數(shù)，隨著彈性體中點的位置改變而變化，而且即使同一點，由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不相同。一點的應(yīng)力隨著截面的法線方向的改變而變化稱為應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析就是討論一點不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律。由于應(yīng)力分量可以描述應(yīng)力狀態(tài)，因此討論坐標系改變時，一點的各個應(yīng)力分量的變化就可以確定應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)坐標系

22、改變時，同一點的各個應(yīng)力分量將作如何的改變。容易證明，坐標系僅作平移變換時，同一點的應(yīng)力分量是不會改變的，因此只須考慮坐標系旋轉(zhuǎn)的情況。假設(shè)在已知坐標系Oxyz中，彈性體中某點的應(yīng)力分量為如果讓坐標系轉(zhuǎn)過一個角度，得到一個新的坐標系Ox'y'z'。設(shè)新坐標系與原坐標系之間有如下關(guān)系：其中，li，mi，ni表示新坐標軸Ox'y'z'與原坐標軸Oxyz之間的夾角方向余弦。2、坐標平面的應(yīng)力矢量如果用表示同一點在新坐標系下的應(yīng)力分量。作斜截面ABC與 x' 軸垂直，其應(yīng)力矢量為pn，則 根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的表達式 3、應(yīng)力分量的投影設(shè)i&#

23、39;，j'，k' 為新坐標系Ox'y'z'的三個坐標軸方向的單位矢量，如圖所示將 pn ，即px'向x' 軸投影就得到s x'；向y' 軸投影就得到t x'y'；向z' 軸投影就得到tx'z'；所以4、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式將應(yīng)力矢量分量表達式代入上述各式，并分別考慮 y，z方向，則可以得到轉(zhuǎn)軸公式 注意到，tx'y' =ty'x' , ty'z' =tz'y' , tx'z' =tz'x'。

24、用張量形式描述，則上述公式可以寫作 應(yīng)力變換公式表明：當(dāng)坐標軸作轉(zhuǎn)軸變換時，應(yīng)力分量遵循張量的變換規(guī)律。坐標軸旋轉(zhuǎn)后，應(yīng)力分量的九個分量均有改變，但是作為一個整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)是不會發(fā)生變化的。應(yīng)力張量為二階對稱張量，僅有六個獨立分量。新坐標系下的六個應(yīng)力分量可通過原坐標系的應(yīng)力分量確定。因此，應(yīng)力張量的六個應(yīng)力分量就確定了一點的應(yīng)力狀態(tài)。5、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式對于平面問題，如Ox 軸與Ox' 成 j角。則新舊坐標系有如下關(guān)系：根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得上述公式即材料力學(xué)中常用的應(yīng)力變換公式。應(yīng)該注意的問題是：材料力學(xué)是根據(jù)變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量的，而彈性力學(xué)是根據(jù)坐標軸定義應(yīng)力分量的符號的。

25、因此對于正應(yīng)力二者符號定義結(jié)果沒有差別，但是對于切應(yīng)力符號定義是不同的。例如對于兩個相互垂直的微分面上的切應(yīng)力，根據(jù)彈性力學(xué)定義，符號是相同的，而根據(jù)材料力學(xué)定義，符號是相反的。 §2.7主應(yīng)力和應(yīng)力不變量學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點各個截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。本節(jié)討論應(yīng)力狀態(tài)的的重要概念主平面和主應(yīng)力。主平面是指切應(yīng)力為零的平面；主平面法線方向稱為應(yīng)力主軸；主平面的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主平面和主應(yīng)力是描述一點應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)，關(guān)系彈性體的強度。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程應(yīng)力狀態(tài)特征方程。對于應(yīng)力主軸，在

26、主應(yīng)力求解后，再次應(yīng)用齊次方程組和方向余弦特性可以得到。主應(yīng)力特征方程的系數(shù)具有不變性、實數(shù)性和正交性。因此稱為應(yīng)力不變量。學(xué)習(xí)要點：1、主平面與主應(yīng)力；2、l，m，n的齊次線性方程組；3、應(yīng)力狀態(tài)特征方程；4、主應(yīng)力性質(zhì)；5、正交性證明。1、主平面與主應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點各個截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。物體內(nèi)一點的應(yīng)力分量是隨坐標系的旋轉(zhuǎn)而改變的，那么，對于這個確定點，是否可以找到這樣一個坐標系，在這個坐標系下，該點只有正應(yīng)力分量，而切應(yīng)力分量為零。也就是說：對于物體內(nèi)某點，是否能找到三個相互垂直的微分面，面上只有正應(yīng)力而沒有切應(yīng)力。

27、答案是肯定的，對于任何應(yīng)力狀態(tài)，至少有三個相互垂直平面的切應(yīng)力為零。切應(yīng)力為零的微分面稱為主微分平面，簡稱主平面。 主平面的法線稱為應(yīng)力主軸或者稱為應(yīng)力主方向。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程。 設(shè)過點O與坐標軸傾斜的微分面ABC為主微分面，如圖所示其法線方向n，既應(yīng)力主軸的三個方向余弦分別為l，m，n，微分面上的應(yīng)力矢量 pn，即主應(yīng)力的三個分量為px, py, pz。根據(jù)主平面的定義，應(yīng)力矢量 pn的方向應(yīng)與法線方向n一致，設(shè)s 為主應(yīng)力，則應(yīng)力矢量的三個分量與主應(yīng)力的關(guān)系為px =s l, py =s m, pz =s n2、l，m，n的齊次線性

28、方程組同時，根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量表達式，有將上述公式聯(lián)立求解，可以得到上述公式是一個關(guān)于主平面方向余弦 l，m，n 的齊次線性方程組。求解關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組。這個方程組具有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零。即 3、應(yīng)力狀態(tài)特征方程展開上述行列式,可得以上方程稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程，是確定彈性體中任意一點主應(yīng)力的方程。其中， ， 為應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式 主對角線元素之和。是 行列式按主對角線展開的三個代數(shù)主子式之和。 是行列式 的值。由于一點的主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于物體所受載荷和約束條件等，而與坐標軸的選取無關(guān)。因此特征方程的根是確定的，即I1, I2, I3的值是不隨坐標軸的

29、改變而變化的。因此I1, I2, I3 分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變量。應(yīng)當(dāng)指出，所謂不變量是指同一點的應(yīng)力張量而言的，它們與坐標軸的選取無關(guān)。對于不同點，應(yīng)力狀態(tài)不同，這些量當(dāng)然是要變化的4、主應(yīng)力性質(zhì)可以證明，特征方程有三個實數(shù)根，如用s 1， s 2，s 3 分別表示這三個根，則它們代表某點的三個主應(yīng)力。對于應(yīng)力主軸方向的確定，可以將計算所得的s 1， s 2，s 3分別代入齊次方程組的任意兩式，并且利用關(guān)系式 聯(lián)立求解，則可以求得應(yīng)力主方向。應(yīng)力不變量具有以下性質(zhì)：1、不變性：由于一點的正應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于彈性體所受的外力和約束條件，而與坐標系的選取無關(guān)。因此對于任意一

30、個確定點，特征方程的三個根是確定的，因此I1，I2，I3的值均與坐標軸的選取無關(guān)。坐標系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量的各個分量變化，但該點的應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。2、實數(shù)性：特征方程的三個根，就是一點的三個主應(yīng)力，根據(jù)三次方程根的性質(zhì)，容易證明三個根均為實根，所以一點的三個主應(yīng)力均為實數(shù)。3、正交性：任一點的應(yīng)力主方向，即三個應(yīng)力主軸是正交的。下面證明主應(yīng)力的正交性：a、若s 1s 2s 3，則特征方程無重根，因此，應(yīng)力主軸必然相互垂直；b、若s 1s 2s 3，則特征方程有兩重根，s 1 和s 2的方向必然垂直于s 3的方向。而s 1 和s 2的方向可以是垂直的，也可以不垂

31、直；c、若s 1s 2s 3，則特征方程有三重根，三個應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直。這就是說，任何方向都是應(yīng)力主軸。5、正交性證明證明應(yīng)力不變量的正交性。假設(shè)主應(yīng)力s 1s 2s 3的方向余弦分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），由于滿足齊次方程組，有 將上述公式的前三式分別乘以 l2，m2和n2 ，中間三式分別乘以-l1，-m1，-n1，然后將六式相加，可得同理根據(jù)上述關(guān)系式，如果s 1s 2s 3，有l(wèi)1l2+m1m2+n1n20， l2l3+m2m3+n2n3 0， l1l3+m1m3+n1n30上式說明如果三個主應(yīng)力均不相等，則三個應(yīng)力主方向是相互垂

32、直的。如果s 1s 2s 3，有l(wèi)2l3+m2m3+n2n3 0， l1l3+m1m3+n1n3 0而l1l2+m1m2+n1n2可以等于零，也可以不等于零。 這說明s 3的方向同時與s 1和s 2的方向垂直，而s 1和s 2的方向可以垂直，也可以不垂直。因此所有與s 3垂直的方向都是s 1和s 2的應(yīng)力主方向。如果s 1s 2s 3，則 l1l2+m1m2+n1n2， l2l3+m2m3+n2n3 和 l1l3+m1m3+n1n3均可以等于零，也可以不等于零。也就是說任何方向都是應(yīng)力主方向。由此證明應(yīng)力不變量的正交性。§2.8應(yīng)力圓和最大切應(yīng)力學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力狀態(tài)的確定，還需要討論一

33、點的正應(yīng)力和切應(yīng)力之間的變化關(guān)系。本節(jié)通過討論任意截面正應(yīng)力與切應(yīng)力的關(guān)系，建立三向應(yīng)力圓概念，并且通過應(yīng)力圓確定一點的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力。分析中應(yīng)用任意斜截面上的應(yīng)力矢量可以通過應(yīng)力分量的特殊形式主應(yīng)力表達，也可以分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力，建立主應(yīng)力與正應(yīng)力和切應(yīng)力的關(guān)系?？紤]斜截面法線的三個方向余弦，則可以確定一點的正應(yīng)力、切應(yīng)力與三個主應(yīng)力的關(guān)系。構(gòu)造一個以正應(yīng)力為橫軸，切應(yīng)力為豎軸的應(yīng)力平面，則一點的正應(yīng)力和切應(yīng)力位于應(yīng)力平面的三個由主應(yīng)力確定的應(yīng)力圓之內(nèi)。為了進一步探討應(yīng)力狀態(tài)，最后分析八面體單元應(yīng)力。學(xué)習(xí)要點：1、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；2、斜截面方向余弦；3、三向應(yīng)力圓；4、最大切應(yīng)力；

34、5、八面體單元；6、八面體單元應(yīng)力。1、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力一點的應(yīng)力狀態(tài)可以通過六個應(yīng)力分量確定，主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是描述應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)。但僅僅這些，對于應(yīng)力狀態(tài)分析還不夠，本節(jié)將進一步討論任意斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化。以三個相互垂直的應(yīng)力主軸為坐標軸建立坐標系如圖所示，設(shè)三個主應(yīng)力為應(yīng)力分量為s 1，s 2, s 3，即O點附近有任意斜截面ABC，它的法線方向為n（l，m，n）。斜截面上的應(yīng)力矢量pn可分解為兩部分：沿法線方向的正應(yīng)力s n 和沿切線方向的切應(yīng)力 t n，如圖所示根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系展開可得因為 根據(jù)應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式 還有2、斜截面方向余弦關(guān)于l，m，n聯(lián)立求解上述

35、公式，可以得到當(dāng)斜截面方位變更時，法線的方向余弦n 隨著改變，因此正應(yīng)力s n和切應(yīng)力t n也隨之變化。這里有正應(yīng)力s n和切應(yīng)力t n 兩個變量，如果建立一個平面坐標系，以s n為橫軸，t n為縱軸，則斜截面上的兩個應(yīng)力分量（s n，t n）恰好是這個坐標系中的一個點。如圖所示設(shè)s1s 2s 3，則因為l2 ,m2 ,n2均大于或等于零，因此根據(jù)上述公式的第一式，可以得到3、三向應(yīng)力圓上式可以改寫為 上述不等式表示在應(yīng)力平面上，圓心在橫軸，橫坐標為（s 2+s 3）/2，半徑為（s 2-s 3）/2的圓C1圓周及其以外的區(qū)域。同理考慮公式的第二式，可得它表達了圓C2的圓周及其內(nèi)部區(qū)域。對于公

36、式的第三式，可得它表達了圓C3圓周及其外部區(qū)域。綜上所述，斜截面的方位改變時，截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力（s n ，t n ）只能位于圓C1，C2和C3的圓周所圍成的區(qū)域之內(nèi)。這三個圓C1，C2和C3是兩兩相切的，稱為應(yīng)力圓 。4、最大切應(yīng)力根據(jù)應(yīng)力圓，對于一點的應(yīng)力狀態(tài)，不難得到下列結(jié)論：根據(jù)應(yīng)力圓，縱坐標最大處即最大切應(yīng)力的值，它的橫坐標為(s 1+s3)/2，將它們回代到公式，可得最大切應(yīng)力作用平面的方向余弦為l2 = 0.5, m2 = 0, n2 = 0.5m=0表示最大切應(yīng)力作用面的法線與應(yīng)力主軸2相互垂直，因此這一作用面必然通過應(yīng)力主軸2。l2 = 0,n2 = 0.5 說明最大切應(yīng)

37、力作用面的法線與應(yīng)力主軸1和3都成45°角。根據(jù)上述分析，彈性體內(nèi)任意一點的最大正應(yīng)力為s1，最小正應(yīng)力為s 3。最大切應(yīng)力可以通過主應(yīng)力計算，最大切應(yīng)力等于(s 1s 3)/2。最大切應(yīng)力作用平面也可以通過應(yīng)力主軸得到，其作用平面通過s 2 應(yīng)力主軸，并且與s 1和s 3應(yīng)力主軸交45°角，如圖所示。5、八面體單元下面介紹正八面體單元應(yīng)力。 以主應(yīng)力s 1, s 2, s 3 對應(yīng)的應(yīng)力主軸作為x1，x2，x3坐標軸建立坐標系，選取與三個應(yīng)力主軸等傾的八個微分面構(gòu)成一個單元體，如圖所示 由于單元體的每一個微分面均為等傾面，即其法線與三個坐標軸的夾角相同。設(shè)微分面的法線方向余弦為l，m，n，則由于所以對于八面體單元各微分面上的應(yīng)力矢量，我們將其分為正應(yīng)力s 8和切應(yīng)力t 8兩部分分別討論。對于八面體單元的正應(yīng)力，由公式可得 由