壓電陶瓷測(cè)量原理_第1頁(yè)
壓電陶瓷測(cè)量原理_第2頁(yè)
壓電陶瓷測(cè)量原理_第3頁(yè)
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1、 壓電陶瓷及其測(cè)量原理 近年來(lái),壓電陶瓷的研究發(fā)展迅速,取得一系列重大成果,應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大,已深入到國(guó)民經(jīng)濟(jì)和尖端技術(shù)的各個(gè)方面中,成為不可或缺的現(xiàn)代化工業(yè)材料之一。由于壓電材料的各向異性,每一項(xiàng)性能參數(shù)在不同的方向所表現(xiàn)出的數(shù)值不同,這就使得壓電陶瓷材料的性能參數(shù)比一般各向同性的介質(zhì)材料多得多。同時(shí),壓電陶瓷的眾多的性能參數(shù)也是它廣泛應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。 (一)壓電陶瓷的主要性能及參數(shù) (1)壓電效應(yīng)與壓電陶瓷 在沒(méi)有對(duì)稱中心的晶體上施加壓力、張力或切向力時(shí),則發(fā)生與應(yīng)力成比例的介質(zhì)極化,同時(shí)在晶體兩端將出現(xiàn)正負(fù)電荷,這一現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng);反之,在晶體上施加電場(chǎng)時(shí),則將產(chǎn)生與電場(chǎng)強(qiáng)度成比例的

2、變形或機(jī)械應(yīng)力,這一現(xiàn)象稱為逆壓電效應(yīng)。這兩種正、逆壓電效應(yīng)統(tǒng)稱為壓電效應(yīng)。晶體是否出現(xiàn)壓電效應(yīng)由構(gòu)成晶體的原子和離子的排列方式,即晶體的對(duì)稱性所決定。在聲波測(cè)井儀器中,發(fā)射探頭利用的是正壓電效應(yīng),接收探頭利用的是逆壓電效應(yīng)。(2) 壓電陶瓷的主要參數(shù) 1、介質(zhì)損耗 介質(zhì)損耗是包括壓電陶瓷在內(nèi)的任何電介質(zhì)的重要品質(zhì)指標(biāo)之一。在交變電場(chǎng)下,電介質(zhì)所積蓄的電荷有兩種分量:一種是有功部分(同相),由電導(dǎo)過(guò)程所引起;另一種為無(wú)功部分(異相),由介質(zhì)弛豫過(guò)程所引起。介質(zhì)損耗是異相分量與同相分量的比值,如圖 1 所示,為同相分量,為異相分量,與總電流 I 的夾角為,其正切值為 其中 為交變電場(chǎng)的角頻率,R

3、 為損耗電阻,C 為介質(zhì)電容。 圖 1 交流電路中電壓-電流矢量圖(有損耗時(shí))2、機(jī)械品質(zhì)因數(shù) 機(jī)械品質(zhì)因數(shù)是描述壓電陶瓷在機(jī)械振動(dòng)時(shí),材料內(nèi)部能量消耗程度的一個(gè)參數(shù),它也是衡量壓電陶瓷材料性能的一個(gè)重要參數(shù)。機(jī)械品質(zhì)因數(shù)越大,能量的損耗越小。產(chǎn)生能量損耗的原因在于材料的內(nèi)部摩擦。機(jī)械品質(zhì)因數(shù)的定義為: 機(jī)械品質(zhì)因數(shù)可根據(jù)等效電路計(jì)算而得 式中為等效電阻(), 為串聯(lián)諧振角頻率(Hz), 為振子諧振時(shí)的等效電容(F),為振子諧振時(shí)的等效電感。 與其它參數(shù)之間的關(guān)系將在后續(xù)詳細(xì)推導(dǎo)。 不同的壓電器件對(duì)壓電陶瓷材料的 值的要求不同,在大多數(shù)的場(chǎng)合下(包括聲波測(cè)井的壓電陶瓷探頭),壓電陶瓷器件要求壓

4、電陶瓷的 值要高。 3、壓電常數(shù) 壓電陶瓷具有壓電性,即在其外部施加應(yīng)力時(shí)能產(chǎn)生額外的電荷。其產(chǎn)生的電荷與施加的應(yīng)力成比例,對(duì)于壓力和張力來(lái)說(shuō),其符號(hào)是相反的,電位移 D(單位面積的電荷)和應(yīng)力 的關(guān)系表達(dá)式為: 式中 Q 為產(chǎn)生的電荷(C),A 為電極的面積(m),d 為壓電應(yīng)變常數(shù)(C/N)。 在逆壓電效應(yīng)中,施加電場(chǎng) E 時(shí)將成比例地產(chǎn)生應(yīng)變 S,所產(chǎn)生的應(yīng)變 S 是膨脹還是收縮,取決于樣品的極化方向。 S=dE 兩式中的壓電應(yīng)變常數(shù) d 在數(shù)值上是相同的,即另一個(gè)常用的壓電常數(shù)是壓電電壓常數(shù) g,它表示應(yīng)力與所產(chǎn)生的電場(chǎng)的關(guān)系,或應(yīng)變與所引起的電位移的關(guān)系。常數(shù) g 與 d 之間有如下

5、關(guān)系: 式中為介電系數(shù)。在聲波測(cè)井儀器中,壓電換能器希望具有較高的壓電應(yīng)變常數(shù)和壓電電壓常數(shù),以便能發(fā)射較大能量的聲波并且具有較高的接受靈敏度。 4、機(jī)電耦合系數(shù) 當(dāng)用機(jī)械能加壓或者充電的方法把能量加到壓電材料上時(shí),由于壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng),機(jī)械能(或電能)中的一部分要轉(zhuǎn)換成電能(或機(jī)械能)。這種轉(zhuǎn)換的強(qiáng)弱用機(jī)電耦合系數(shù) k 來(lái)表示,它是一個(gè)量綱為一的量。機(jī)電耦合系數(shù)是綜合反映壓電材料性能的參數(shù),它表示壓電材料的機(jī)械能和電能的耦合效應(yīng)。機(jī)電耦合系數(shù)的定義為: k=或者k=機(jī)電耦合系數(shù)不但與材料參數(shù)有關(guān),還與具體壓電材料的工作方式有關(guān)。對(duì)于壓電陶瓷來(lái)說(shuō),它的大小還與極化程度相關(guān)。它只是反映機(jī)、電

6、兩類能量通過(guò)壓電效應(yīng)耦合的強(qiáng)弱,并不代表兩類能量之間的轉(zhuǎn)換效率。壓電材料的耦合系數(shù)在不同的場(chǎng)合有不同的要求,當(dāng)制作換能器時(shí),希望機(jī)電耦合系數(shù)越大越好。(二)壓電換能器的等效電路 壓電換能器的等效電路表示法,是利用電學(xué)網(wǎng)絡(luò)術(shù)語(yǔ)表示壓電陶瓷的機(jī)械振動(dòng)特性,即把某些力學(xué)量模擬為電學(xué)量的方法。把壓電換能器用等效電路來(lái)表示,有很多優(yōu)點(diǎn):其一,可以把力學(xué)上復(fù)雜的振動(dòng)問(wèn)題有效地進(jìn)行簡(jiǎn)化;其二,為了得到換能器的各個(gè)參數(shù),從而定量地分析或篩選換能器;其三,實(shí)際應(yīng)用的需要,因?yàn)樵趯?shí)際的應(yīng)用當(dāng)中,壓電換能器也是接入到具體的電子線路中的,得到壓電換能器的等效電路能夠更好地對(duì)其外圍電路進(jìn)行匹配設(shè)計(jì)。由此可見(jiàn),得到壓電換

7、能器的等效電路是十分必要的。2.3 壓電換能器的諧振特性 將壓電換能器按照?qǐng)D 2-2 所示線路連接。當(dāng)改變信號(hào)頻率時(shí),可以發(fā)現(xiàn),通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流也隨著發(fā)生變化,其變化規(guī)律如圖 2-3(a)所示。從圖2-3(a)可以看出,當(dāng)信號(hào)為某一頻率時(shí),通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流出現(xiàn)最大值 ;而當(dāng)信號(hào)變到另一頻率時(shí),傳輸電流出現(xiàn)最小值 。由流經(jīng)它的電流隨頻率的變化可以看出,壓電陶瓷換能器的阻抗是隨頻率的變化而變化的,其變化規(guī)律同電流相反,如圖 2-3(b)所示。 圖 2-2 壓電陶瓷換能器諧振特性接線示意圖 圖 2-3 壓電陶瓷換能器電流、阻抗同頻率的關(guān)系曲線 (a)電流-頻率關(guān)系曲線 (b)阻抗-頻

8、率關(guān)系曲線 從圖中可以看出,當(dāng)信號(hào)頻率為時(shí),通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流最大,即其等效阻抗最小,導(dǎo)納最大;當(dāng)信號(hào)頻率為時(shí),通過(guò)壓電陶瓷換能器的電流最小,即其等效阻抗最大,導(dǎo)納最小。因此把稱為最大導(dǎo)納頻率或最小阻抗頻率;而把稱為最小導(dǎo)納頻率或最大阻抗頻率。而當(dāng)信號(hào)頻率繼續(xù)增大時(shí),還會(huì)出現(xiàn)一系列的電流的極大值和極小值,如圖 2-4 所示。 圖 2-4 壓電陶瓷換能器電流隨頻率變化示意圖(多諧振模式) 2.2.4 壓電換能器的等效電路 根據(jù)交流電路相關(guān)知識(shí),對(duì)于圖 2-5 所示好的 LC 電路來(lái)說(shuō),其阻抗 Z 也隨著頻率的變化而變化。在圖 2-2 所示的線路中,用 LC 電路代替壓電陶瓷換能器,可以發(fā)現(xiàn)

9、,在壓電陶瓷換能器的諧振頻率處,只要選擇合適的、和 ,通過(guò) LC 電路的電流和 LC 電路的阻抗的絕對(duì)值隨頻率的變化曲線,分別同圖 2-1中的(b)和(c)的關(guān)系曲線非常相似。也就是說(shuō),在串聯(lián)諧振頻率附近,壓電陶瓷換能器的阻抗特性和諧振特性同 LC 電路的阻抗特性和頻率特性非常相似。因此,利用機(jī)電類比的方法,可以用一個(gè) LC 電路來(lái)表示壓電陶瓷換能器的參數(shù)和特性,這個(gè) LC 電路即為壓電陶瓷換能器的等效電路。 圖 2-5 LC 電路 對(duì)壓電陶瓷換能器來(lái)說(shuō),在任何串聯(lián)諧振頻率附近,其電行為可以用圖 2-3所示的 LC 電路來(lái)表示。在壓電陶瓷換能器的串聯(lián)諧振頻率附近,如果值存在一種振動(dòng)模式,即沒(méi)有

10、其它寄生響應(yīng),則在串聯(lián)諧振頻率附近很窄的頻率范圍內(nèi),可以認(rèn)為壓電陶瓷換能器的等效參數(shù)、和與頻率無(wú)關(guān)。在實(shí)際中通過(guò)選擇合適的尺寸進(jìn)行加工處理,是可以將所需要的振動(dòng)模式同其他模式充分隔離開(kāi)來(lái)的。 另外,考慮到在實(shí)際中,在通電之后,壓電陶瓷換能器必然會(huì)存在能量的損耗,這一能量損耗可用一個(gè)并聯(lián)電阻 來(lái)等效。所以其最終等效電路圖如圖 2-6所示。 圖 2-6 壓電陶瓷換能器等效電路圖 圖中串聯(lián)支路中的稱為壓電陶瓷換能器的動(dòng)態(tài)電感,稱為動(dòng)態(tài)電容,稱為動(dòng)態(tài)電阻。這三個(gè)參數(shù)用來(lái)表征壓電陶瓷換能器在工作(加電源激勵(lì)產(chǎn)生振動(dòng))的情況下,振動(dòng)部分所受到的力阻抗和介質(zhì)對(duì)振動(dòng)的反作用的強(qiáng)弱。并聯(lián)電容 又稱靜態(tài)電容,表征

11、壓電陶瓷換能器在未加激勵(lì)的情況下等效為一個(gè)純電容,它的值的大小與換能器的形狀有關(guān)。并聯(lián)電阻 又稱靜態(tài)電阻,表征換能器的電損耗的大小。2.2.5 壓電換能器的導(dǎo)納特性根據(jù)已得到的壓電換能器的等效電路圖,來(lái)進(jìn)一步分析其導(dǎo)納特性。為了簡(jiǎn)化推導(dǎo),先假定壓電陶瓷換能器沒(méi)有電損耗,即 =0,此時(shí)其等效電路即為一個(gè) LC 電路,如圖 2-5 所示。則 (2-1)式中:Y 為換能器的總的導(dǎo)納值,為并聯(lián)支路的導(dǎo)納值,為串聯(lián)支路的導(dǎo)納值。先對(duì)串聯(lián)支路進(jìn)行分析。 得到:, (2-2)若令則。由式(2-2)可得:,所以, 兩邊同時(shí)加上,可得(2-3)若以電導(dǎo)為橫坐標(biāo),電納為縱坐標(biāo),則式(2-3)表示一個(gè)以(,0)為圓

12、心,為半徑的圓,也即是我們所說(shuō)的導(dǎo)納圓。如圖 2-7 中虛線所示 圖 2-7 導(dǎo)納圓圖 對(duì)于串聯(lián)支路進(jìn)行分析,根據(jù)串聯(lián)諧振頻率的定義,令 =0,則由式(2-3)可得到 =0 或 。由于實(shí)際的壓電陶瓷換能器的動(dòng)態(tài)電阻 不可能為零,根據(jù)式(2-2)中的表達(dá)式可以知道,只有滿足串聯(lián)諧振的條件。即:,所以可以得到串聯(lián)支路的諧振頻率(又稱機(jī)械共振頻率): (2-4)接著考慮加入靜態(tài)電容后的情況。由式(2-1)可知,考慮靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納相當(dāng)于在串聯(lián)支路的電納(虛部)加上 。鑒于一般情況下,壓電陶瓷換能器的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)都較大,也即在串聯(lián)諧振頻率 附近,的值隨頻率的變化很小,可以近似認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。因此

13、,只需將串聯(lián)支路所得到的導(dǎo)納圓的縱坐標(biāo)向上平移一個(gè)常數(shù),而橫坐標(biāo)保持不變即可得到加入靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納關(guān)系圖,如圖 2-7 中點(diǎn)劃線所示。若再考慮到換能器的靜態(tài)電阻并不為零,則實(shí)際中的導(dǎo)納圓不可能與縱軸相切,而是向橫軸的正向平移一定的量(平移距離的大小取決于靜態(tài)電阻的阻值),如圖 2-7 中實(shí)線圓所示對(duì)導(dǎo)納圓圖進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析可知:當(dāng)即時(shí),電納值大于零,當(dāng)即時(shí),電納值小于零。所以,隨著頻率的增加,導(dǎo)納圓是沿順時(shí)針?lè)较蜃兓摹A硗?,在串?lián)諧振頻率的附近,還存在著兩個(gè)頻率點(diǎn)使得換能器總的電納為零,此時(shí)電源信號(hào)經(jīng)過(guò)換能器之后只有幅值的改變,而沒(méi)有相位的變化,也即電壓和電流信號(hào)同相位。這兩個(gè)頻率中,

14、值較小的那個(gè)頻率 稱為諧振頻率,較大的稱為反諧振頻率。另外還存在使得換能器的導(dǎo)納值取得最大的頻率 ,導(dǎo)納值最小的頻率 。連接原點(diǎn)和串聯(lián)諧振頻率點(diǎn),與導(dǎo)納圓的交點(diǎn)處的頻率稱為并聯(lián)諧振頻率。另外,需要特別指出的是,上述討論是在一個(gè)振動(dòng)模態(tài)諧振頻率 附近較小的頻率變化范圍內(nèi)進(jìn)行的,并且只有在導(dǎo)納圓的直徑遠(yuǎn)大于這個(gè)頻率范圍內(nèi)的變化時(shí)才是正確的,否則換能器的導(dǎo)納曲線將變得十分復(fù)雜,具有蔓葉曲線的特征。根據(jù)以上導(dǎo)納圓圖的推導(dǎo)過(guò)程,下面介紹一下壓電陶瓷換能器等效電路中各個(gè)參數(shù)和導(dǎo)納圓圖的關(guān)系,并給出各自的計(jì)算公式。 在換能器的導(dǎo)納圓圖中作平行于縱軸的直徑,交導(dǎo)納圓于兩點(diǎn),分別記作、。在點(diǎn)處,串聯(lián)支路的動(dòng)態(tài)電

15、導(dǎo)和電納值相等,即。由式(2-2)可得: (2-5)在 點(diǎn)處,串聯(lián)支路的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)和電納值相等,但符號(hào)相反,即。由式(2-2)可得: (2-6)結(jié)合式(2-5)和式(2-6),可得: (2-7)再由式(2-4)可得: (2-8)機(jī)械品質(zhì)因數(shù): (2-9)結(jié)合式(2-7)和(2-8)可得:式(2-5)和式(2-6)消去得到: 則所以: (2-10)動(dòng)態(tài)電阻的值可以通過(guò)導(dǎo)納圓的直徑求得: (2-11)靜態(tài)電容 的值也可由導(dǎo)納圓偏離橫軸的距離來(lái)確定: (2-12) 式中 為圓心的縱坐標(biāo)。 靜態(tài)電阻的值可由導(dǎo)納圓偏離縱軸的距離(或圓心的橫坐標(biāo))來(lái)確定: (2-13)式中為圓心的橫坐標(biāo)。 至此,我們已得到

16、壓電陶瓷換能器等效電路中所有參數(shù)的計(jì)算公式。 2.3 測(cè)量原理在上一節(jié)中,得到的壓電陶瓷換能器等效電路參數(shù)的計(jì)算公式都是基于導(dǎo)納圓的,也即是基于各個(gè)頻率下的電導(dǎo)和電納值的,因此我們需要得到每個(gè)頻率點(diǎn)的導(dǎo)納值。為此采用圖 2-8 所示的測(cè)量原理圖進(jìn)行測(cè)量。 圖 2-8 壓電陶瓷換能器測(cè)量原理示意圖 圖 2-8 中,AC 為頻率可控的交流信號(hào)源,R 表示源內(nèi)阻, 稱為精密電阻,為加在壓電陶瓷換能器山的電壓信號(hào) 為經(jīng)過(guò)換能器之后的電壓信號(hào)。根據(jù)前面章節(jié)所介紹的壓電陶瓷的導(dǎo)納特性可以知道,在經(jīng)過(guò)換能器之后的電壓信號(hào)相對(duì)于會(huì)有一個(gè)幅度和相位的變化。不失一般性,在這里設(shè)定: , (2-14)其中: ,分別

17、表示兩路信號(hào)的幅值, 為信號(hào)的角頻率,為信號(hào)的初始相位,為兩路信號(hào)的相位差。 按照習(xí)慣表達(dá),先求壓電陶瓷換能器的阻抗,再取倒數(shù)得到導(dǎo)納。 將式(2-14)代入得 =對(duì)應(yīng)得到:, (2-15)再由導(dǎo)納和阻抗的關(guān)系可得 即:, (2-16)由以上推導(dǎo)可以看出,換能器的導(dǎo)納和阻抗值僅與加在其兩端的電壓信號(hào)的幅值比和相位差有關(guān),因此只需要得到兩路信號(hào)的幅值和相位信息即可得到換能器等效電路的各個(gè)參數(shù)。而實(shí)際中,只需要對(duì)兩路信號(hào)進(jìn)行采樣,再通過(guò)對(duì)采樣所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理便可得到幅值和相位信息。2.4 正弦信號(hào)的測(cè)量方法 根據(jù)上一節(jié)介紹的測(cè)量原理可知,要得到壓電換能器在測(cè)試頻率下的電導(dǎo)和電納值,就需要測(cè)得其兩端

18、正弦信號(hào)的幅值比和相位差。但是實(shí)際中,硬件電路實(shí)現(xiàn)的僅是對(duì)兩路信號(hào)的 A/D 轉(zhuǎn)換采集,也即是得到的是兩路正弦信號(hào)的一系列的離散的點(diǎn)。在這一節(jié)中,將介紹從這些采集到的離散的點(diǎn)計(jì)算其幅值和相位的方法。2.4.1 數(shù)字相關(guān)法 隨著微處理器和大規(guī)模集成電路的迅速發(fā)展,在測(cè)試系統(tǒng)中,越來(lái)越多的傳統(tǒng)的測(cè)量方法被數(shù)字化測(cè)量方法所取代。近年來(lái),由于相關(guān)函數(shù)法具有提高測(cè)試精度,減少或簡(jiǎn)化硬件設(shè)計(jì),能夠充分利用測(cè)試系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和微型計(jì)算機(jī),提高測(cè)試系統(tǒng)的可靠性和可維護(hù)性的諸多優(yōu)點(diǎn),使得相關(guān)技術(shù)原理在相位差的測(cè)量及數(shù)字信號(hào)處理中得到了廣泛應(yīng)用,并展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景1、相關(guān)函數(shù)法原理 相關(guān)函數(shù)法利用兩同頻

19、正弦信號(hào)的延時(shí)為零時(shí)的互相關(guān)函數(shù)值與其相位差的余弦值成正比的原理獲得相位差。設(shè)兩路被測(cè)信號(hào)為:, (2-17)其中:A、B 分別表示兩路信號(hào)的幅值,表示信號(hào)的頻率,、 分別表示兩路信號(hào)的干擾噪聲信號(hào),表示兩路信號(hào)的相位差。顯然,信號(hào) x(t)和y(t)是相關(guān)的,則兩路信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為: (2-18)式中 T 為信號(hào)的周期,即當(dāng) =0時(shí),有 由于噪聲信號(hào)之間不相關(guān),噪聲和信號(hào)之間也不相關(guān),將上式進(jìn)一步展開(kāi)得: 所以,可以得到相位差的計(jì)算公式: (2-19)而信號(hào)幅值的大小可由信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)求得 (2-20)當(dāng) =0時(shí),有 所以可得信號(hào)幅值的計(jì)算公式: (2-21)將上式代入式(2-19),可

20、得相位差計(jì)算公式的另一種表達(dá)式: (2-22)而在實(shí)際中,是沒(méi)有完整精確的信號(hào)的表達(dá)式的,有的是對(duì)信號(hào)的模數(shù)轉(zhuǎn)換所得到的離散的數(shù)據(jù),離散序列的自相關(guān)和互相關(guān)的計(jì)算公式如下: (2-23)式中:n 表示采樣個(gè)數(shù),i 表示第 i 個(gè)采樣點(diǎn),x(i)、y(i)分別表示兩路信號(hào)的第 i 個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換得到數(shù)值。由式(2-23)分別求出兩路信號(hào)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)值之后,再由式(2-21)和式(2-22)即可得到兩路信號(hào)各自的幅值和它們之間的相位差。但是,需要指出的是,由數(shù)字相關(guān)法求得的相位差,并不能區(qū)分是超前還是滯后,這就需要采用其他方法來(lái)確定相位差符號(hào)的正負(fù)號(hào)。根據(jù)前面測(cè)量原理中的介紹,由式(2-15)

21、和式(2-16)可知,壓電陶瓷換能器的電導(dǎo)值僅取決于兩路信號(hào)相位差的余弦值,而電納的值是在電導(dǎo)值取得最大的時(shí)候發(fā)生變號(hào)。由此,可以先求得電導(dǎo)的值,再通過(guò)循環(huán)找其最大值,并從使電導(dǎo)取得最大值時(shí)的相位差開(kāi)始,把相位差變號(hào),得到新的相位差序列,再由新的相位差序列求電納的值即可。圖2-9 表示的為采用數(shù)字相關(guān)法對(duì)一號(hào)壓電換能器測(cè)量數(shù)據(jù)的處理結(jié)果,其中(a)表示的是導(dǎo)納圓圖,(b)表示的是電導(dǎo)和電納值隨測(cè)試頻率的變化曲線。 (a) (b) 圖 2-9 數(shù)字相關(guān)法處理結(jié)果 2、相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)及誤差分析 通過(guò)上面對(duì)相關(guān)函數(shù)法測(cè)量原理的理論推導(dǎo)過(guò)程可以看出,相關(guān)函數(shù)法測(cè)量信號(hào)的幅值和相位差與信號(hào)的頻率無(wú)關(guān)。

22、也即是說(shuō)相關(guān)函數(shù)法不受頻率的影響,可以用來(lái)測(cè)量未知頻率的信號(hào)的相位差。同時(shí),相關(guān)函數(shù)法測(cè)量原理的推導(dǎo)都是基于正弦函數(shù)的,因此,它只能用于測(cè)量正弦或余弦信號(hào),并不能測(cè)量一般的周期信號(hào)。由于噪聲干擾信號(hào)和原信號(hào)并不相關(guān),所以相關(guān)函數(shù)法能夠有效的抑制噪聲干擾。但是,如果在系統(tǒng)中存在相關(guān)性較強(qiáng)的干擾信號(hào),并且信噪比又比較低的情況下,相關(guān)函數(shù)法測(cè)量誤差就會(huì)比較大。由相關(guān)函數(shù)法離散序列的最終計(jì)算公式可以看出,其計(jì)算結(jié)果與采樣的點(diǎn)數(shù)有關(guān),也即是說(shuō)測(cè)量誤差的大小與采樣點(diǎn)數(shù)是相關(guān)的,采樣點(diǎn)數(shù)越大,計(jì)算結(jié)果越接近真實(shí)值,測(cè)量誤差也就越小。 綜合以上對(duì)相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)的分析,可知相關(guān)函數(shù)法對(duì)于采樣轉(zhuǎn)換信號(hào)中的直流偏

23、移和噪聲等干擾具有很強(qiáng)的抑制能力,它的誤差主要是因?yàn)椴捎糜邢揲L(zhǎng)度的樣本代替了高斯白噪聲和均勻分布的 A/D 量化誤差,使得被檢正弦信號(hào)與噪聲信號(hào)并非完全不相關(guān)。所以,相關(guān)函數(shù)法的測(cè)量誤差與 A/D 轉(zhuǎn)換的位數(shù)、信號(hào)的信噪比和采集點(diǎn)數(shù)有關(guān)。 2.4.2 快速離散傅里葉變換法 現(xiàn)代信號(hào)分析采用數(shù)字化方式實(shí)現(xiàn),其核心是離散傅立葉變換,它完成了從時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換,不僅可以實(shí)現(xiàn)線性譜分析,而且還是均方譜分析的關(guān)鍵。離散傅立葉變換(DFT)實(shí)現(xiàn)了信號(hào)首次在頻域表示的離散化,使得頻域也能夠用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理,但由于用于實(shí)際時(shí)計(jì)算量太大而使應(yīng)用受到限制。直到1965 年由 Cooly 和 Tukey 建立了一種

24、快速傅立葉變換FFT 時(shí),DFT 的應(yīng)用才成為現(xiàn)實(shí)1、FFT 獲取正弦波幅值和相位的原理 設(shè)采集正弦信號(hào)得到的離散序列為 x(n),n=1,2,KN。則該序列的離散傅里葉變換為: (2-24) 則其初始相位為: 其中:是信號(hào)的采樣頻率,N 是采樣長(zhǎng)度。 在對(duì)時(shí)域離散序列進(jìn)行傅立葉變換之后,可以得到其離散的幅度譜和相位譜,在幅度譜和相位譜中找到對(duì)應(yīng)時(shí)域波形的頻率的譜線就可以得到時(shí)域的正弦波形的幅值和相位信息。圖 2-10 所示的是采用快速離散傅里葉變換法對(duì)采集到的數(shù)據(jù)處理的結(jié)果。 (a) (b) 圖 2-10 快速離散傅里葉變換法處理結(jié)果 2、FFT 的特點(diǎn)及誤差分析 通過(guò)傅里葉變換可以只提取基

25、波參數(shù),因此諧波的存在并不影響基波成分,所以諧波的存在對(duì)應(yīng)用這種方法測(cè)量相位差幾乎沒(méi)有影響;對(duì)于噪聲干擾,只有當(dāng)高斯白噪聲接近基波的頻率分量時(shí)才會(huì)影響到基波的相位,所以應(yīng)用 FFT 法測(cè)量相位差也能有效地抑制高斯白噪聲干擾。但是,實(shí)際上信號(hào)是連續(xù)的無(wú)限長(zhǎng)的序列,用 FFT 對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí),必須截短形成有限長(zhǎng)序列,再進(jìn)行周期延拓,這樣就不可避免的造成信號(hào)頻譜的泄漏,由此便產(chǎn)生了相位差測(cè)量誤差。誤差現(xiàn)象主要是:混疊現(xiàn)象、柵欄效應(yīng)和截?cái)嘈?yīng)。要想減小相位差測(cè)量誤差,就必須提高譜分辨率。實(shí)際中可通過(guò)提高采樣頻率或者增加采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度來(lái)提高譜分辨率,進(jìn)而達(dá)到減小相位差測(cè)量誤差的目的。2.4.3 正弦曲線

26、參數(shù)擬合法 設(shè)被測(cè)的正弦信號(hào)為: (2-25)其中: f 表示信號(hào)頻率,表示被測(cè)信號(hào)幅值,表示被測(cè)信號(hào)的初始相位角,D表示被測(cè)信號(hào)的直流分量。由于被測(cè)信號(hào)的頻率為已知的,故只需對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行三參數(shù)的正弦曲線擬合,即可得到被測(cè)信號(hào)的幅值和相位信息。為此,進(jìn)一步將上式展開(kāi)可得: (2-26)其中:從而將被測(cè)信號(hào)的幅值和初始相角轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù) A、B 的求取。 其基本思想就是尋找合適的 A、B 和 D 的值,使得其測(cè)量殘差的平方和取得最小。設(shè)每個(gè)頻率下測(cè)量的時(shí)間序列為,n 為測(cè)量數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),為采樣頻率,為每個(gè)點(diǎn)的測(cè)量值。則測(cè)量殘差的表達(dá)式為: (2-27)要使得上式取得最小值,可對(duì)其參數(shù)求偏導(dǎo),并令

27、其為零。即: (2-28)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到: (2-29)對(duì)于式(2-29),構(gòu)造如下三個(gè)矩陣:式(2-29)可寫(xiě)成如下矩陣形式:上式中 X 的解為: (2-30)則被測(cè)信號(hào)幅值的計(jì)算公式為: (2-31)初始相角的計(jì)算公式為: (2-32)至此,得到了被測(cè)信號(hào)的幅值和相位信息。采用同樣的方法對(duì)第二路信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,即可得到第二路信號(hào)的幅值和相位信息,從而求出兩路信號(hào)的幅值比和相位差,進(jìn)一步便可得到每個(gè)頻率下?lián)Q能器的電導(dǎo)和電納值。圖 2-11為參數(shù)擬合法的處理結(jié)果。 圖 2-11 正弦曲線參數(shù)擬合法處理結(jié)果 2.5 導(dǎo)納圓的帶約束最小二乘曲線擬合 通過(guò)以上章節(jié)的介紹,我們已經(jīng)得到了各個(gè)測(cè)試頻率下壓電換能器的電導(dǎo)和電納值,繪制出了導(dǎo)納圓圖,但這還是不夠的。由壓電換能器等效電路的各個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式可以看出,我們還需要得到導(dǎo)納圓的圓心和半徑的值。為此,就需要對(duì)所得到的離散點(diǎn)進(jìn)行圓曲線擬合。 擬合圓的方法有很多種,常用的有平均值法、加權(quán)平均法和最小二乘法。平均值法的思想是分別計(jì)算各個(gè)離散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的平均值,作為圓心的橫、縱坐標(biāo),將圓心到各個(gè)離散點(diǎn)的距離的平均值作為半徑。這種方法計(jì)算簡(jiǎn)單,適用于離散點(diǎn)分布較均勻的情況,但對(duì)于分布不均的情況,所計(jì)算的圓心位置會(huì)偏向離散點(diǎn)分布較密集的一側(cè),半徑的計(jì)算值也會(huì)偏小,誤差較大。加權(quán)平均法是對(duì)平均值法的改進(jìn),它在計(jì)算圓

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