因式分解方法總結(jié)

1、因式分解方法總結(jié)一、定義定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解(也叫作分解因式)因式分解與整式乘法為相反變形，同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟二、因式分解三原則1分解要徹底(是否有公因式，是否可用公式)2 最后結(jié)果只有小括號3最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正(例如：3x2 x x( 3x 1)三、基本方法(一) 提公因式法ma mb me m(a b c)如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成 兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法找公因式的一般步驟：(1) 若各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；(

2、2) 取相同的字母，字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；(3) 取相同的多項式，多項式的指數(shù)取次數(shù)最低的；(4) 所有這些因式的乘積即為公因式 (5) 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)，提出“-”號時，多項式的各項都要變號口訣：找準公因式，一次要提盡；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶例如：ambmcmm(a b e)a(xy)b(yx)a(x y) b(x y) (a b)(x y)注意：把2a -2變成2(a14)不叫提公因式例1、分解因式3 x2x2x (2003年淮安市中考題)解：32x 2xxx(x22x1)例2、99399能被100整除嗎

3、？還能被那些數(shù)整除 ？(二)公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式1、 平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)2、 完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)23、立方和公式：3 ab3(a b)(a2ab b2)4、立方差公式：3 ab3(a b)(a2ab b2)5、2 . 2 2a b c2ab2bc2ca (ab c)26、元全立方公式:3 a3a223b 3ab b3(a b)7、3. 33a b c3abc(ab c)(a22 2b c ab bc ca)例3、分解因式a24ab4b2(2003年南通市中考題)解

4、： a2 4ab 4b2 (a 2b)2例4、已知a, b, c是ABC的三邊，且a2 b2 c2 ab bc ca，則ABC的形狀是()A.直角三角形B.等腰三角形C .等邊三角形D.等腰直角三角形解: a2b2 c2 abbc2ca 2a2b22 c2 2ab2bc2ca(a b)2 (bc)2(c a)20ab c(三)分組分解法能分組分解的多項式一般有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式: 分法、三一分法 .1.分組后能直接提取公因式.例5、分解因式 am an bm bn 解： 原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n) 每組之間還有公因式！=(m n )(

5、a b)解法一：第一、二項為一組；第三、四項為一組。解法二.：第一、四項為一組； 第二、三項為一組。解：原式=(2ax 10ay) (5by bx)原式=(2axbx)(10ay 5by)=2a(x 5y) b(x 5y)=x(2ab)5y(2a b)=(x 5y)(2a b)=(2ab)(x5y)練習：分解因式(1) a2 ab acbc(2)xy x y 12.分組后能直接運用公式例7、分解因式：x2 y2 ax ay解：原式=(x2 y2) (ax ay) = (x y)(xy)a(xy) =(x y)(x例6、分解因式 2 ax 10ay 5by bx例8分解因式:2ab2 ay a)

6、b2c2解：原式=(a2 2ab b2) c2 = (a b)2 c2 = (a b c)(a b c) 練習：分解因式(1) x2 x 9y2 3y (2) x2 y2 z2 2yz(四)十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中1. 二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)進行分解特點：(1)二次項系數(shù)是1 ；(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和例9、分解因式：x2 5x 6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5.由于 6=2 X 3=(-2)X (-3)=1X 6=(-1)X (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只

7、有 2X3的分解適合,即 2+3=5.12解：x2 5x 6：2 =x(23)x23X13=(x2)(x3)1X 2+1X 3=5用此方法進行分解的關鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積,且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于次項的系數(shù)例10、分解因式：x2 7x 6解：原式=x2( 1)( 6)x(1)( 6)=(x 1)(x6)1-612練習、分解因式(1) x 14x24練習、分解因式(1) x2 x 2(2)2. 二次項系數(shù)不為1的二次三項式一一(-1 ) +(-6)=-72 a15a362x4x 52y2y15(3)2 x10x 24ax2bxc條件：(1) a a1a2(2) c c1c2C1C2(

8、3) b a1c2a2GaC2 a2G分解結(jié)果：ax2 bxc=(a1X cJ(a2X C2)例11、分解因式：3x2分析：1-23-511x10(-6)+( -5)= -11 解：3x211x 10 = (x 2)(3x 5)練習、分解因式(1)5x2 7x 6(3)10x2 17x 32(2)3x 7x 22(4)6y 11y 103.二次項系數(shù)為1的齊次多項式例12、分解因式：a2 8ab 128b2 分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關于1 8b1-16b"-a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。解：a28b+(-16b)= -8b8ab 128b2=a28b ( 16b)

9、a 8b ( 16b)(a8b)(a 16b)練習、分解因式(1) x2 3xy 2y2m2 6mn 8n2 (3) a2 ab 6b24.二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例 9、2x2 7xy 6y21-2y -.2-3y (-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x 3y) 練習、分解因式：(1) 15x2 思考：分解因式：abcx2(五)換元法7xy (a2b22 2例10、 x y 3xy 2把xy看作一個整體1-2 ：-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)( xy 2)2 2 24y(2) a x 6ax 82c )x abc有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相

10、同的部分換成另一個未知數(shù)，整體代入, 然后進行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法.注意：換元后勿忘還元例11、分解因式(x2x 1)(X2x 2) 12則原式 (y1)(y 2) 122y3y 10(y5)(y2)(x2x5)( x2 x2)(x2 x5)(x2)(x1)例12、分解因式(1)2005x2(200521)x2005(2)(x 1)(x2)(x3)(x6) x2解：(1 )設 2005= a ,則原式=ax:2 (a21)xaa)解：令y x2 x(2)型如 abcd 原式= (x2 設 x2 5x原式=(A =(A練習、分解因式(1)(2)(3)(ax 1)(x(20

11、05x 1)(x2005)e的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘7x 6)( x26 A，則 x2x)A x2x)2=(x2(x2(x2(a2xy3x1)25x 6) x22 7x 6 A =A2 2Ax x2 6x 6)2 y2)2 4xy(x22xy2)2)(4x2 8x 3)90(a25)24(a23)2，使原式適合.要注意，必須在與原多項式相等的原則例13、分解因式bc(bc)ca(ca)ab(ab)解：原式bc(caa b)ca(c a)ab(a b)bc(ca)bc(ab)ca(ca) ab(ab)bc(ca)ca(ca)bc(ab) ab(ab)(六)拆項、添項法這種方

12、法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項(或幾項) 于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解 下進行變形(bc ca)(c a) (bc ab)(a b) c(c a)(b a) b(c a)(a b)(c b)(c a)(b a)(七)配方法對于某些不能利用公式法的多項式， 可以將其配成一個完全平方式， 然后再利用平方差 公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法. 屬于拆項、添項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形 .例 14、 分解因式 x2 4x 3解：原式 x2 4x 4 4 3 (x 2)2 1 (x 2 1)(x 2 1) (x 3)(x 1)

13、(八)主元法 先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解例 15、分解因式2 a(b c)b2(ca)c2(a b)解：原式2 a(b c)a(b2c2)22(b2c c2b)(bc)a2a(bc)bc(bc)(ab)(ac)(九)特殊值法將2或10代入x，求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將 2或10還原成x，即得因式分解式32例 16、分解因式 x3 9x2 23x 15解：令 x 2 ，則 x3 9x2 23x 15 8 36 46 15 105將105分解成 3 個質(zhì)因數(shù)的積，即 105 3

14、 5 7注意到多項式中最高項的系數(shù)為 1,而3、5、7分別為x+1，x+3, x+5，在x=2時的值32則 x3 9x2 23x 15 (x 1)(x 3)(x 5)(十)待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式, 然后設出相應整式的字母系數(shù), 求出字母系數(shù), 從而把多 項式因式分解 .例 17、 分解因式 x4 x3 5x2 6x 4 解：由分析知,這個多項式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式于是設 x4 x3 5x2 6x 4 (x2 ax b)(x2 cx d)432x (a c)x (ac b d)x (ad bc)x bd所以廠ac 1acb d5Yadbc6-bd4解得a 1,b

15、1,c2 , d 4所以4x x3 c 25x6x4 (x2 x 1)(x2 2x 4)例18、分解因式2x x7 6y2x13y6分析：原式的前3項x2xy6y2可以分為(x 3y)(x2y)，則原多項式必定可分為(x 3y m)(x2yn)解：設x2 xy6y2x13y6 =(x 3ym)(x 2yn)/ (x 3y m)(x 2yn)=x2xy 6y2(m n)x (3n 2m)y mn x2 xy 6y2x13y6 =2 xxy 6y2(m n)x(3n2m) y mnm2m對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得13，解得n 13n2mmn例19、(1)當m為何值時，多項式2 x2y imx5y

16、6能分解因式，并分解此多項式(2)如果x32 axbx8有兩個因式為x1和x 2，求a b的值(1 )分析:前兩項可以分解為(xy)(:Xy)故此多項式分解的形式必(x y/a)(xyb)解:設2 x2y mx5y6 =(xy a)(xyb)則2 x2y mx5y6 =2 :x2y(ab)x (ba)y ababma2a 2比較對應的系數(shù)可得:ba5 ,解得:b 3或b3ab6m 1m1當m1時，原多項式可以分解；當m1時，原式=:(xy2)(xy3)；當m1時，原式=(xy2)(xy3)原式=(x3y 2)(x 2y為3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，因此第三個因 式必為形如x c的一次二項式。解：設 X3 ax2 bx 8=(x 1)(x 2)(x c)則 x3 ax2 bx 8=x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2ca3ca7b23c解得b14,2c8c4- a b=21（十一）雙十字相乘法用于分解形如ax bxy cy dx ey f的二次六項式具體方法：將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq np b， pk qj e， mk nj d，即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則ax2 bxy cy2 dx ey f （mx py j）（nx qy k）.要訣