模糊集與粗糙集的簡(jiǎn)單入門

1、模糊集與粗糙集的簡(jiǎn)單入門1.前言Zadeh在1965年創(chuàng)立了模糊集理論1,Pawlak在1982年又給出了粗糙集的概念2,模糊集理論和粗糙集理論都是研究信息系統(tǒng)中只是不完全,不確定問(wèn)題的兩種方法,是經(jīng)典集合論的推廣,它們各自具有優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn),并且分別在許多領(lǐng)域都有成功的應(yīng)用,如模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)、決策分析、決策支持、知識(shí)獲取、知識(shí)發(fā)現(xiàn)等.模糊理論是簡(jiǎn)歷集合的子集邊緣的病態(tài)定義模型,隸屬函數(shù)多數(shù)是憑經(jīng)驗(yàn)給出的,帶有明顯的主觀性;粗糙集理論基于集合中對(duì)象間的不可分辨行的思想,作為一種刻畫不完整想和不確定性的數(shù)學(xué)工具,它無(wú)需任何先驗(yàn)信息,能郵箱分析處理不精確、不完整等不完備信息,對(duì)不確定集合的分析方法

2、是客觀的.兩種理論之間有著密切的關(guān)系和很強(qiáng)的互補(bǔ)性,同事粗糙集理論和模糊集理論可以進(jìn)行結(jié)合,產(chǎn)生粗糙模糊集理論和模糊粗糙集理論,并且發(fā)揮著不同的優(yōu)勢(shì). 本文在已有的模糊集理論和粗糙集理論的基礎(chǔ)之上,分析和總結(jié)了模糊集和粗糙集理論,對(duì)二者進(jìn)行了全面的比較.2.基本概念這部分將集中介紹模糊集和粗糙集的基本概念及其性質(zhì).2.1模糊集模糊理論34是一種用以數(shù)學(xué)模型來(lái)描述語(yǔ)意式的模糊信息的方法.模糊概念也是沒(méi)有明確外延的概念.根據(jù)普通集合論的要求,一個(gè)對(duì)象對(duì)應(yīng)于一個(gè)集合,要么屬于,要么不屬于,二者必居其一;而模糊集則通常用隸屬函數(shù)表示模糊概念.模糊集合的基本定義定義1 設(shè)是有限非空集合,稱為論域,上的模

3、糊集用隸屬函數(shù)表示如下:其中表示元素隸屬于模糊集合的程度,記上的模糊集合全體為.模糊集合的數(shù)學(xué)表示方式為模糊集合的運(yùn)算 設(shè)為上的兩個(gè)模糊集,它們的并集,交集和余集都是模糊集,且其隸屬函數(shù)分別定義為 模糊集合的關(guān)系模糊集合之間關(guān)系的表示方式,是以集合所存在的隸屬函數(shù)作為集合之間的關(guān)系表示的.(1) 模糊集合之間的相等:(2) 模糊集合之間的包含: 截集與支集 定義2 對(duì)于和任意,定義分別為的截集和的強(qiáng)截集.特別的,當(dāng)時(shí),為的核;當(dāng)時(shí),為的支集.表示為如下: 則根據(jù)上面截集的概念,模糊子集通過(guò)截集就變成了普通集合.截集就是將模糊集合轉(zhuǎn)化為普通集合的方法,截集的概念是聯(lián)系模糊集合與普通集合之間的橋梁

4、.2.2 粗糙集粗糙集合的基本定義(1)粗糙集合提出的背景由于經(jīng)典邏輯只有真假二值之分,而在現(xiàn)實(shí)生活中存在許多含糊的現(xiàn)象,并不能簡(jiǎn)單的用真假值來(lái)表示.于是,在1904年,謂詞邏輯的創(chuàng)始人G.frege提出了含糊(vague)一詞,他把含糊現(xiàn)象歸結(jié)到邊界線上.1965年,L.A. Zadeh提出Fuzzy Sets 的概念,試圖通過(guò)這一理論解決G.frege的含糊概念.Zadeh 的FS方法是利用隸屬函數(shù)描述邊界上的不確定對(duì)象.1982年,波蘭華沙理工大學(xué) Z.Pawlak 教授針對(duì)G. frege的邊界線區(qū)域思想提出了Rough Sets理論.Pawlak 的RS方法:把無(wú)法確認(rèn)的個(gè)體都?xì)w屬于

5、邊界區(qū)域,把邊界區(qū)域定義為上近似集和下近似集的差集.(2)粗糙集合的定義 粗糙集理論特點(diǎn)是不需要預(yù)先給定默寫特征或?qū)傩缘臄?shù)量描述,直接從給定的問(wèn)題的描述集合出發(fā),通過(guò)不可分辨關(guān)系和不可分辨類確定給定問(wèn)題的近似域,找出問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律.定義2 設(shè)是一個(gè)知識(shí)庫(kù),其中是一個(gè)非空集合,稱為論域.是屬性的非空有限集合,為的決策屬性,是屬性的值域,是一個(gè)信息函數(shù),它為每個(gè)對(duì)象賦予一個(gè)信息值.定義3 設(shè)是一個(gè)有限的非空論域,為上的等價(jià)關(guān)系,等價(jià)關(guān)系把集合劃分為多個(gè)互不相交的子集,每個(gè)子集稱為一個(gè)等價(jià)類,用來(lái)表示,其中,稱為關(guān)于的等價(jià)關(guān)系或者不可分辨關(guān)系.論域上的所有等價(jià)類的集合用來(lái)表示. 上、下近似集,粗糙度

6、(1)上下近似集的定義定義4 對(duì)于任意的,的上、下近似集分別定義為集合稱為集合的正域,;集合稱為集合的負(fù)域;集合稱為的邊界域.集合的不確定性是由于邊界域的存在,集合的邊界域越大,精確性越低,粗糙度越大.當(dāng)時(shí),稱為的精確集;當(dāng)時(shí),稱為的粗糙集,粗糙集可以近似使用精確集的兩個(gè)上下近似集來(lái)描述. (2) 粗糙度粗糙度是表示知識(shí)的不完全程度,由等價(jià)關(guān)系定義的集合的粗糙度為:其中,表示集合的基數(shù).3 研究對(duì)象、應(yīng)用領(lǐng)域及研究方法3.1模糊集的研究對(duì)象、應(yīng)用領(lǐng)域及研究方法 (1) 模糊集的研究對(duì)象模糊集研究不確定性問(wèn)題,主要著眼于知識(shí)的模糊性,強(qiáng)調(diào)的是集合邊界的不分明性. (2) 模糊集的應(yīng)用領(lǐng)域模糊集理

7、論5廣泛應(yīng)用與現(xiàn)代社會(huì)與生活中,主要有以下幾個(gè)方面:消費(fèi)電子產(chǎn)品、工業(yè)控制器、語(yǔ)音辨識(shí)、影像處理、機(jī)器人、決策分析、數(shù)據(jù)探勘、數(shù)學(xué)規(guī)劃以及軟件工程等等. (3)研究方法 模糊集理論的計(jì)算方法是知識(shí)的表達(dá)和簡(jiǎn)化.從知識(shí)的“粒度”的描述上來(lái)看,模糊集是通過(guò)計(jì)算對(duì)象關(guān)于集合的隸屬程度來(lái)近似描述不確定性;從集合的關(guān)系來(lái)看,模糊集強(qiáng)調(diào)的是集合邊界上的病態(tài)定義,也即集合邊界的不分明性;從研究的對(duì)象來(lái)看,模糊集研究屬于同一類的不同對(duì)象間的隸屬關(guān)系,強(qiáng)調(diào)隸屬程度;從隸屬函數(shù)來(lái)看,模糊集的隸屬函數(shù)反映了概念的模糊性,而且模糊集的隸屬函數(shù)大多是專家憑經(jīng)驗(yàn)給出的,帶有強(qiáng)烈的主觀意志.3.2粗糙集的研究對(duì)象、應(yīng)用領(lǐng)域

8、及研究方法 (1)粗糙集的研究對(duì)象6 粗糙集理論研究不確定性問(wèn)題,基于集合中對(duì)象間的不可分辨性思想,建立集合的子集邊緣的病態(tài)定義模型. (2)粗糙集的應(yīng)用領(lǐng)域 粗糙集理論在近些年得到飛速發(fā)展,在數(shù)據(jù)挖掘,模式識(shí)別,粗糙邏輯方面取得較大進(jìn)展.與粗糙集理論相關(guān)的學(xué)科主要有以下幾方面:人工智能,離散數(shù)學(xué),概率論,模糊集理論,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),計(jì)算機(jī)控制,專家系統(tǒng)等等7.(3)粗糙集的研究方法 粗糙集理論的研究方法就是對(duì)知識(shí)的含糊度的一個(gè)刻畫,其計(jì)算方法主要是連續(xù)特征函數(shù)的產(chǎn)生.粗糙集理論研究認(rèn)知能力產(chǎn)生的集合對(duì)象之間的不可分辨性,通過(guò)引入一對(duì)上下近似集合,用它們的差集來(lái)描述不確定的對(duì)象.從集合的關(guān)系來(lái)看,粗

9、糙集強(qiáng)調(diào)的是對(duì)象間的不可分辨性,與集合上的等價(jià)關(guān)系相聯(lián)系;從研究的對(duì)象來(lái)看,粗糙集研究的是不同類對(duì)象組成的集合關(guān)系,強(qiáng)調(diào)分類;從隸屬函數(shù)來(lái)看,粗糙集的粗糙隸屬函數(shù)的計(jì)算是從被分析的數(shù)據(jù)中直接獲得,是客觀的8.4.基本研究?jī)?nèi)容4.1 模糊集理論研究的主要內(nèi)容模糊集理論研究的內(nèi)容很廣泛,主要包括以下幾方面:模糊控制,模糊聚類分析,模糊模式識(shí)別,模糊綜合評(píng)判,模糊集的擴(kuò)展. 模糊控制自從Zadeh發(fā)展出模糊集理論之后,對(duì)于不明確系統(tǒng)的控制有極大的貢獻(xiàn),自七十年代以后,便有一些實(shí)用的模糊控制器相繼的完成,使得我們?cè)诳刂祁I(lǐng)域中又向前邁進(jìn)了一大步,在此將對(duì)模糊控制理論做一番淺介6.模糊控制利用模糊集理論的

10、基本思想和理論的控制方法.在傳統(tǒng)的控制領(lǐng)域里,控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模式的精確與否是影響控制優(yōu)劣的最主要關(guān)鍵,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的信息越詳細(xì),則越能達(dá)到精確控制的目的.然而,對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng),由于變量太多,往往難以正確的描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài),于是工程師便利用各種方法來(lái)簡(jiǎn)化系統(tǒng)動(dòng)態(tài),以達(dá)成控制的目的,但卻不盡理想.換言之,傳統(tǒng)的控制理論對(duì)于明確系統(tǒng)有強(qiáng)而有力的控制能力,但對(duì)于過(guò)于復(fù)雜或難以精確描述的系統(tǒng),則顯得無(wú)能為力了.所以,模糊集理論便被用來(lái)處理這些控制問(wèn)題.模糊聚類分析模糊聚類分析的研究是基于模糊等價(jià)關(guān)系和以及模糊分類上的4.主要有以下的定理以及定義.定理1 令是一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系,并且,則對(duì)有.定義5 設(shè)數(shù)據(jù)集,且是

11、其一個(gè)分類,若該分類滿足以下條件:(1) 對(duì),存在使得;(2) 對(duì)所以均有;則稱該分類是的一個(gè)模糊劃分.基于上面的理論,我們可以用一個(gè)劃分矩陣來(lái)刻畫數(shù)據(jù)集的分類,其中定義6 對(duì)于上面的矩陣,若其滿足以下三個(gè)條件:(1);(2);(3);則稱是上的一個(gè)精確的-劃分矩陣.定義7 設(shè)和時(shí)兩個(gè)給定的正整數(shù)若模糊矩陣滿足以下三個(gè)條件:(1) ;(2) ;(3) ;則稱為上的一個(gè)模糊的-劃分矩陣.定義8 設(shè),是上的一個(gè)模糊的-劃分矩陣,則()稱為模糊劃分上的一個(gè)聚類準(zhǔn)則函數(shù),這里定義9 如果對(duì)于任意的,存在以及模糊的-劃分矩陣使得對(duì)所有的以及模糊的-劃分矩陣都成立,則稱為最優(yōu)模糊-劃分矩陣,為一個(gè)模糊聚類

12、中心.模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別是利用模糊集理論對(duì)行為的識(shí)別.根據(jù)識(shí)別模式的性質(zhì),可以將模式識(shí)別分為兩類:具體事物的識(shí)別,如對(duì)文字,音樂(lè),語(yǔ)言等周圍事物的識(shí)別;抽象事物的識(shí)別,如對(duì)已知的一個(gè)論點(diǎn)或者一個(gè)問(wèn)題的理解等.下面介紹一些基本的定理及定義.定義10 清晰度增強(qiáng)因子:令是上的一個(gè)模糊集,定義另外一個(gè)模糊集,其中稱為清晰度增強(qiáng)因子.模糊綜合評(píng)判模糊綜合評(píng)判是利用模糊集理論對(duì)一個(gè)事物進(jìn)行評(píng)價(jià).具體的過(guò)程為:將評(píng)價(jià)目標(biāo)看成是由多種因素組成的模糊集合,再設(shè)定這些因素所能選取的評(píng)審等級(jí),組成評(píng)語(yǔ)的模糊集合(稱為評(píng)判集),分別求出各單一因素對(duì)各個(gè)評(píng)審等級(jí)的歸屬程度(稱為模糊矩陣),然后根據(jù)各個(gè)因素在評(píng)價(jià)

13、目標(biāo)中的權(quán)重分配,通過(guò)計(jì)算(稱為模糊矩陣合成),求出評(píng)價(jià)的定量解值.定義11 設(shè)滿足以下幾個(gè)條件:(1);(2),;(3)對(duì)每個(gè)變量都是連續(xù)的;則稱為-維綜合函數(shù). 常用的-維綜合函數(shù)主要有加權(quán)平均函數(shù),幾何平均函數(shù),單因素決策函數(shù),顯著因素準(zhǔn)則函數(shù)等等.4.2粗糙集理論研究的主要內(nèi)容粗糙集理論作為一種數(shù)據(jù)分析處理理論,無(wú)論是在理論方面還是在應(yīng)用實(shí)踐方面都取得了很大的進(jìn)展,展示了它光明的前景,因而其研究?jī)?nèi)容以及領(lǐng)域也是非常廣泛的,主要包括以下幾方面:變精度粗糙集,集值信息系統(tǒng),粗糙集理論的應(yīng)用,支持向量基等.變精度粗糙集變精度粗糙集模型9是Pawlak粗糙集模型的擴(kuò)充,它是在基本粗糙集模型的基

14、礎(chǔ)上引入了(),即允許一定的錯(cuò)誤分類率存在,這一方面完善了近似空間的概率,另一方面也有利于用粗糙集理論從認(rèn)為不相關(guān)的數(shù)據(jù)集中發(fā)現(xiàn)相關(guān)的數(shù)據(jù).當(dāng)然,變精度粗糙集模型的主要任務(wù)是解決屬性間無(wú)函數(shù)或不確定關(guān)系的數(shù)據(jù)分類問(wèn)題.當(dāng)時(shí),Pawlak粗糙集模型是變精度粗糙集模型的一個(gè)特例.集值信息系統(tǒng)集值信息系統(tǒng)5是信息系統(tǒng)的一般化模型,在實(shí)際應(yīng)用中信息系統(tǒng)隨著對(duì)象的變化而不斷地動(dòng)態(tài)變化.是信息系統(tǒng),其中是對(duì)象的非空有限集合,是屬性的非空有限集合,對(duì)于每個(gè)有,其中稱為的值域.每個(gè)屬性子集決定了一個(gè)不可區(qū)分關(guān)系:.關(guān)系()構(gòu)成了的劃分,用來(lái)表示.對(duì)于一個(gè)對(duì)象,一些屬性值可能是缺省的.為了表明這種情況,通常給定

15、一個(gè)區(qū)分值(即空值)給出這些屬性定義12 如果至少有一個(gè)屬性使得含有空值,則稱是一個(gè)不完備信息系統(tǒng)5,否則稱它是完備的,我們用*表示空值.設(shè)是一個(gè)不完備信息系統(tǒng),使得含有空值*時(shí),并且該空值*的取值為一個(gè)集合,該集合的元素是這個(gè)屬性中其他所有可能值的集合,則就是集值信息系統(tǒng).下面是一個(gè)不完備信息系統(tǒng)的例子:CarPriceMileageSizeMax-Speed1HighHighFullLow2Low*FullLow3*CompactHigh4High*FullHigh5*FullHigh6LowHighFull* 支持向量基 支持向量機(jī)(Support Vector Machine,SVM)

16、1011是Corinna Cortes和Vapnik8等于1995年首先提出的.SVM起初是廣泛應(yīng)用在神經(jīng)信息處理系統(tǒng)(Neural Information Processing Systems,NIPS), 但是,現(xiàn)今,SVM 已經(jīng)在所有的機(jī)器學(xué)習(xí)研究領(lǐng)域中起著重要作用. SVM是一種學(xué)習(xí)系統(tǒng),他利用高維空間中的線性分類器,在這個(gè)空間中建立一個(gè)最大的間隔超平面,這里的最大是基于最優(yōu)化理論的. 廣義的SVM起源于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論12.5.模糊集與粗糙集的結(jié)合 由上面的討論可知,模糊集理論與粗糙集理論各具特點(diǎn),兩種理論有著很強(qiáng)的聯(lián)系與互補(bǔ)性,因此將兩者的特點(diǎn)結(jié)合起來(lái)形成研究不完全數(shù)據(jù)集的有效方法.此

17、外,通過(guò)模糊聚類和粗糙集兩種方法進(jìn)行屬性的對(duì)象約簡(jiǎn)和屬性約簡(jiǎn),可以使數(shù)據(jù)得到橫向和縱向兩個(gè)方向上的約簡(jiǎn),對(duì)象約簡(jiǎn)是引入了相似性的概念進(jìn)行模糊聚類的過(guò)程,對(duì)象約簡(jiǎn)改變了標(biāo)準(zhǔn)粗糙集模型的不可分辨關(guān)系的確定條件;由于粗糙集所處理的都是離散數(shù)據(jù),所以在數(shù)據(jù)分析中需要應(yīng)用模糊聚類或隸屬函數(shù)離散化,進(jìn)而應(yīng)用粗糙集理論屬性約簡(jiǎn)、提取規(guī)則.所以結(jié)合模糊集、粗糙集理論能夠有效地分析數(shù)據(jù),提高生成規(guī)則的可信性和和合理性,倒出可信的規(guī)則集.5.1模糊粗糙集及粗糙模糊集結(jié)合模糊集和粗糙集兩種理論可以得到模糊粗糙集及粗糙模糊集模型,當(dāng)知識(shí)庫(kù)中的知識(shí)模塊是清晰的概念,而被描述的概念是一個(gè)模糊的概念,人們建立粗糙模糊集模型

18、來(lái)解決此類問(wèn)題的近似推理;當(dāng)知識(shí)庫(kù)中的知識(shí)模塊是模糊知識(shí),而被近似的概念是模糊概念時(shí),則需要建立模糊粗糙集模型,也有人將普通關(guān)系推廣稱模糊關(guān)系或者模糊劃分而獲得模糊粗糙集模型.定義13 設(shè)是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,模糊集、以及的上下近似分別為:可以驗(yàn)證,當(dāng)是上的經(jīng)典集合時(shí),上面所介紹的上下近似就是Pawlak意義下的上下近似.定義14 設(shè)是上的等價(jià)關(guān)系,是的一個(gè)模糊集合,則關(guān)于的上下近似分別定義如下: 可以看出,模糊集關(guān)于等價(jià)關(guān)系的上下近似仍為模糊集合,若,則稱是可定義的,否則稱是粗糙集,稱是關(guān)于近似空間的正域,稱是關(guān)于的負(fù)域,稱為的邊界.可以理解為對(duì)象肯定屬于模糊集的隸屬程度;理解為對(duì)象可能屬于模

19、糊集的隸屬程度,同樣可以驗(yàn)證,當(dāng)時(shí)上的經(jīng)典集合時(shí),就是Pawlak意義下的上下近似.在標(biāo)準(zhǔn)粗糙集模型中引入變精度,提高了相對(duì)近似精度,而在粗糙模糊集引入變精度,得到新定義:這樣下近似集合中元素隸屬度降低,而上近似的隸屬度提高,提高了相對(duì)精度.5.2粗糙隸屬函數(shù)粗糙隸屬函數(shù)式借助模糊理論來(lái)研究粗糙集理論的方法,通過(guò)粗糙隸屬度函數(shù)可以將粗糙集理論與模糊集理論聯(lián)系起來(lái),建立一種粗糙集理論與模糊集理論的關(guān)系,并得到一些性質(zhì).定義15 設(shè)是論域上的一個(gè)相似關(guān)系,若是上的一個(gè)模糊集合,則關(guān)于的一個(gè)下近似和上近似分別定義為上的一個(gè)模糊集合,稱為粗糙隸屬度函數(shù)5,定義為粗糙隸屬函數(shù)表示的是一個(gè)模糊概念,一般不

20、是Zadeh意義下的隸屬函數(shù).粗糙隸屬函數(shù)表示的是的等價(jià)類隸屬于的程度.由定義14和定義15可以得到:模糊集的下近似且關(guān)于等價(jià)關(guān)系的等價(jià)類隸屬于的程度為1;模糊集的上近似且關(guān)于等價(jià)關(guān)系的等價(jià)類隸屬于的程度為大于0小于1,因此有:性質(zhì)1 性質(zhì)2 6 總結(jié)本文系統(tǒng)的介紹了模糊集理論與粗糙集理論,二者研究的主要內(nèi)容,以及二者的結(jié)合的相關(guān)理論.是對(duì)本學(xué)期所學(xué)的模糊計(jì)算和粗糙計(jì)算的一個(gè)簡(jiǎn)單的小結(jié),也是我本人對(duì)該學(xué)科的一個(gè)簡(jiǎn)單的入門.參考文獻(xiàn)1 L.A.Zadeh, Fuzzy setsJ, Information and Control, 1965,8:338-353.2Pawlak Z, Rough setsJ, International Journal of Computer and Information science, 1982,1(11):341-356