劉鴻文材力第十三章能量方法機(jī)械

1、第十三章第十三章能量方法能量方法13.1 概概 述述幾何法：應(yīng) 力應(yīng) 變變 形外 力物理方程平衡方程幾何方程(變形協(xié)調(diào)方程)能量方法: 由能量的觀點(diǎn)出發(fā)建立荷載與變形間關(guān)系 彈性體承載時(shí)，加力點(diǎn)發(fā)生位移荷載做功W， 彈性體變形儲(chǔ)存變形能（應(yīng)變能） V， 略去在該過(guò)程中的微量能量損耗， V = W 變形能=外力功 13.2 桿件應(yīng)變能的計(jì)算桿件應(yīng)變能的計(jì)算1.1.軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮線彈性范圍內(nèi)，變形能為：12VWFl212NFLEA用外力功表示用“內(nèi)力”表示能密度能密度:231( /)22vJ mE能密度能密度2122vG2.2.純剪切純剪切線彈性范圍內(nèi)，變形能為：3.3.扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)線彈

2、性范圍內(nèi)，變形能為：12eVWM用外力功表示212PT lGI用“內(nèi)力”表示MeOMe1Mel同樣，對(duì)于一般情況，有：21( )2( )lPTx dxVGIx4.4.彎曲彎曲MOM（1）純彎曲MMl線彈性范圍內(nèi)，變形能為：12eVWM用外力功表示212eMlVWEI用“內(nèi)力”表示（2）橫力彎曲M(x)dx總變形能 = 剪切變形能 + 彎曲變形能2( )2Mx dxdVEI一般情況下剪切變形能很小，可以忽略不計(jì)：2( )2LMx dxVEI112233111222VWFFF 推廣到一般情況，得到用“外力功”表示的變形能的普遍表達(dá)式：注意：式中1、2、3為所有外力F1、F2、F3共同作用引起的位移

3、。13.3 13.3 應(yīng)變能的普遍表達(dá)形式應(yīng)變能的普遍表達(dá)形式 這就是用“外力功”表示的變形能的普遍表達(dá)式，即：克拉貝依隆原理。一般地，有：12VFF廣義力 廣義位移 廣義力 廣義位移集中力 力作用點(diǎn)沿力作用方向上的位移分量集中力偶 力偶作用截面在力偶作用平面內(nèi)的角位移一對(duì)等值反向集中力 一對(duì)力作用點(diǎn)沿力作用方向的相對(duì)線位移一對(duì)等值反向力偶 一對(duì)力偶作用截面在一對(duì)力偶作用平面內(nèi) 的相對(duì)角位移AAAAAxAyPAxAyMdxFNTMFNT111( )()( )( )222NdVFx dlMx dTx d軸向拉伸（壓縮）、扭轉(zhuǎn)、彎曲的組合變形，有：222( )( )( )222NPFxdxMxdx

4、TxdxdVEAEIGI線彈性范圍內(nèi)有：這就是用“內(nèi)力”表示的變形能的普遍表達(dá)式（即：克拉貝依隆原理）。注意：式中M、T、FN為所有外力P1、P2、P3共同作用引起的內(nèi)力。222222NlllPFdxMdxT dxVEIGIEA 這就是用“內(nèi)力”表示的變形能的普遍表達(dá)式，即：克拉貝依隆原理。（3）當(dāng)桿件發(fā)生兩種以上基本變形）當(dāng)桿件發(fā)生兩種以上基本變形,且且其中任一種載其中任一種載荷在另一種載荷產(chǎn)生的位移上不作功荷在另一種載荷產(chǎn)生的位移上不作功時(shí)時(shí),其總變形為其總變形為（2）當(dāng)某種基本變形的變形能由多個(gè)載荷共同引起）當(dāng)某種基本變形的變形能由多個(gè)載荷共同引起時(shí)，變形能不能疊加。時(shí)，變形能不能疊加。

5、但當(dāng)任一荷載在另一荷載產(chǎn)生但當(dāng)任一荷載在另一荷載產(chǎn)生的位移上不做功的位移上不做功，則這兩種荷載單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的變，則這兩種荷載單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的變形能之和等于共同作用時(shí)產(chǎn)生的變形能。形能之和等于共同作用時(shí)產(chǎn)生的變形能。（1）彈性變形能只與力或位移的終值有關(guān)，與加載）彈性變形能只與力或位移的終值有關(guān)，與加載過(guò)程和次序無(wú)關(guān)。過(guò)程和次序無(wú)關(guān)。變形能特點(diǎn)變形能特點(diǎn):222222NlllPFdxMdxT dxVEIGIEA2. 變形位能的計(jì)算不能用疊加原理變形位能的計(jì)算不能用疊加原理2221212222M dxM dxM M dxM dxVEIEIEIEI1212M M dxVVEI?1P1M21MMM1

6、P2P2P2M 結(jié)結(jié) 論論1. 變形位能是狀態(tài)函數(shù)（同最終的力和變形有關(guān)）變形位能是狀態(tài)函數(shù)（同最終的力和變形有關(guān)）* * 利用功能原理求位移利用功能原理求位移 根據(jù)外力功根據(jù)外力功 W 全部轉(zhuǎn)成變形能全部轉(zhuǎn)成變形能 V W = V 可以求出一個(gè)集中力下的位移?？梢郧蟪鲆粋€(gè)集中力下的位移。要點(diǎn)：要點(diǎn)： 1 1、求出截面內(nèi)力函數(shù)；、求出截面內(nèi)力函數(shù)； 2 2、積分求變形能、積分求變形能 V ； 3 3、W = V，求出位移。求出位移。例例: : 求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度 fC解：CPfW21)20( 2)(LxxPxM222200()22222LLPxMdxVEIEIEILP9632PEIL/2L

7、/2 WVEILPPfC9621 32EIPLfC48 3正號(hào)表示正號(hào)表示 fC 的方向與外力的方向與外力P的指向相同。的指向相同。例例: : 求圖示簡(jiǎn)支梁左端的轉(zhuǎn)角A解：EILxm12AWm220022LLmlxM dxlVdxEIEI26m LEI WV21 26Am LmEI3AmLEIVm( ) (0)mM xlxxLl 例例1 12396P LVEI例例2 2后面的偏微分關(guān)系是巧合，還是必然？后面的偏微分關(guān)系是巧合，還是必然？ 實(shí)際是實(shí)際是卡氏定理卡氏定理。AVmCVfP26m LVEI3 48CPLfEI3AmLEI以梁為例推導(dǎo)：記號(hào)：iFi：“力”的作用位置荷載：位移：iji：位

8、移發(fā)生的位置j：位移發(fā)生的原因， 點(diǎn)的“力”引起的j1F1211212F121222現(xiàn)在梁上1、2兩點(diǎn)加荷載 、 ，采用兩種不同方式加:1F2F第一種加載方案：1、2兩點(diǎn)同時(shí)加 、1F2F由疊加原理，1點(diǎn)總的位移為：1112 2122 2點(diǎn)總的位移為：11111122212211()()22VWFF 1112 1F122F2122 第二種加載方案：先加 ，然后再加1F2F221112221121122VWFFF先加 ， 做功為：11112F1F1F再加 ， 做功為：22212F 2F2F在加 的過(guò)程中 做功為： 112F2F1F111F122F2212線彈性結(jié)構(gòu)，應(yīng)變能只與力的終值有關(guān)，與加載

9、方式無(wú)關(guān)。12 VV即：11112221221112221121111()()2222FFFFF 221112 FF功的互等定理F2 在 F1 引起的位移上所做的功= F1 在 F2 引起的位移上所做的功當(dāng) F1 和 F2 在數(shù)值上相等時(shí)，由功的互等定理可得到：2112 位移互等定理第1點(diǎn)的荷載引起的第2點(diǎn)的位移在第2點(diǎn)作用同樣大小的荷載引起的第1點(diǎn)的位移 注意：（1）互等定理成立的條件：（2）ij廣義位移iF廣義力ij線位移iF集中力iF集中力偶ij角位移線彈性、小變形、疊加原理成立。ij j 處的廣義力引起 i 處的廣義位移ijji當(dāng)載荷為單位載荷F1 =F2 =1時(shí)，引起的位移有：1M1

10、221f212121fFM功互等當(dāng) M1 與 F2 數(shù)值上相等時(shí)：2112f位移互等（數(shù)值上相等）12122F212121MM功互等當(dāng) M1 與 M2 在數(shù)值上相等時(shí)：2112位移互等（數(shù)值上相等）1M122112122M1212P2第第 II 狀態(tài)狀態(tài)第第 I 狀態(tài)狀態(tài)212112 單位廣義力是量綱為單位廣義力是量綱為1的量的量；互等不僅是指數(shù)值相等，且量綱也相同。互等不僅是指數(shù)值相等，且量綱也相同。如圖示長(zhǎng)如圖示長(zhǎng) l ，EI 為常數(shù)的簡(jiǎn)支梁為常數(shù)的簡(jiǎn)支梁EIlB16221 EIlfc16212 第第 II 狀態(tài)狀態(tài)12PACBCf第第 I 狀態(tài)狀態(tài)B AC11PB跨中跨中*3. 反力互等

11、定理反力互等定理:由功的互等定理有：由功的互等定理有：111221rr1221rr反力互等定理反力互等定理請(qǐng)自行驗(yàn)證：數(shù)值、量綱都相同。請(qǐng)自行驗(yàn)證：數(shù)值、量綱都相同。*4. 反力位移互等定理反力位移互等定理:2112 r1P = 122112r11 2121 注意：注意： 與與 P 力方向相反。力方向相反。2121 以簡(jiǎn)支梁梁中受豎向單位集中力為例，說(shuō)明以簡(jiǎn)支梁梁中受豎向單位集中力為例，說(shuō)明反力位移互等定理。反力位移互等定理。13.5 卡氏定理卡氏定理1.1.卡氏第一定理（應(yīng)變能法）卡氏第一定理（應(yīng)變能法）12(,)nVV1212nnVVVdVddd 當(dāng)僅 發(fā)生微小增量 ，其余位移無(wú)增量時(shí)：i

12、id iiVdVd另一方面，當(dāng)僅 發(fā)生增量 時(shí)， 將做功，從而導(dǎo)致應(yīng)變能發(fā)生增量：iid iFiidVP d（常力做功） iiiiVP dd iiVP與 位置相同。iPi卡氏第一定理：彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)某一位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于與此位移相應(yīng)的外力。（1）卡氏第一定理既適用于線性彈性，也適用于非線性彈性。（2）“相應(yīng)”的意義：為集中力，則 為與之同方向的線位移。iPi為集中力偶，則 為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。iPi2.2.卡氏第二定理卡氏第二定理12(,)nVVFFF1212nnVVVdVdFdFdFFFFiiVdVdFF當(dāng)僅有 有增量 ，其余荷載不發(fā)生變化(即每個(gè)荷載是獨(dú)立變化的)時(shí)：iFidFiiV

13、VdVVdFF結(jié)構(gòu)的變形能為：另一方面，先加 ，再加其它載荷。對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)而言，結(jié)構(gòu)的變形能為：idF12iiiidF dVdF 略去高階小量得：iiVF卡氏第二定理卡氏第二定理：對(duì)于線彈性體，應(yīng)變能對(duì)某一外力的偏導(dǎo)數(shù)，等于與此外力相應(yīng)的位移。意大利工程師意大利工程師 阿爾伯托阿爾伯托卡卡斯提格里安諾斯提格里安諾(Alberto Castigliano， 18471884) iiVVdFF（與加載次序無(wú)關(guān)）（1）卡氏第二定理只能用于線彈性結(jié)構(gòu)。（2）“相應(yīng)”的意義：為集中力，則 為與之同方向的線位移。iFi為集中力偶，則 為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。iFi與 位置相同。iFi（3）應(yīng)變能應(yīng)寫成外力的

14、函數(shù)。（4）求位移時(shí),應(yīng)考慮到彈性系統(tǒng)的全部變形能。（5）各載荷相對(duì)獨(dú)立,不能互相依賴和影響。若要求位移處對(duì)應(yīng)外力與結(jié)構(gòu)中其它力有倍數(shù)關(guān)系則求導(dǎo)前將其用不同符號(hào)區(qū)別,求導(dǎo)后代值計(jì)算.（6）求位移時(shí)可先求導(dǎo),后積分,視方便而定。（7）當(dāng)所求位移處無(wú)相應(yīng)廣義力時(shí),應(yīng)附加一 個(gè)廣義力,求導(dǎo)后可立即令其為零。（8）計(jì)算變形能時(shí),可任取坐標(biāo)系,只需在同一內(nèi)力方程中內(nèi)力符號(hào)采用相同規(guī)則。卡氏第二定理的具體應(yīng)用：卡氏第二定理的具體應(yīng)用：（1）梁2( )2lMx dxVEI22( )( )()22( )( )illiiiliVMx dxMxdxFFEIFEIM x M xdxFEI （2）桁架212nNjjj

15、jFlUEA（ n根桿）1nNjNjjijiijFFlVFFEA（3）軸2( )2lPTx dxVGI( )( )iliiPVTxTxdxFFGI（4）一般地222( )( )( )222NlllPFx dxMx dxTx dxVEIEAGIiiNNllliiiPVFFFMMTTdxdxdxFEIFEAF GI例例: : 圖示簡(jiǎn)支梁，求中點(diǎn)C的撓度。解：)20( 2)(lxxPxM2xPMPEIl/2l/20/ 20/ 2330 22 2 2348lCllMMwdxPEIxPxdxEIPxPlEIEI正號(hào)表示正號(hào)表示wC 的方向與的方向與P的指向一致。的指向一致。例例: : 求求A 點(diǎn)的撓度點(diǎn)

16、的撓度變形變形求彎矩求彎矩解：解：PxxM)(33AAVPLwPEI 求變形能求變形能222( ) 26LMxP LVdxEIEI思考：如何求思考：如何求 A A 點(diǎn)轉(zhuǎn)角點(diǎn)轉(zhuǎn)角ALPEIxO 例例: : 圖示懸臂梁，求B截面的轉(zhuǎn)角 。BlPEI在 B 截面加一與 “相應(yīng)”的假想外力MaB解：因?yàn)樵?B 截面沒(méi)有與 相應(yīng)的外力，所以要進(jìn)行處理。BxPEIMa1aMM( )()aMxP lxM 000020() 1() 2aalBaMlaMlMMdxMEIP lxMdxEIP lxPldxEIEI (順時(shí)針)（1）負(fù)號(hào)表示 的轉(zhuǎn)向與 Ma的轉(zhuǎn)向相反。B（2）要求某點(diǎn)的“位移”，則必須在該點(diǎn)有與之相

17、應(yīng)的“力”，若沒(méi)有，則必須在該處加上假想的附加“力”，求導(dǎo)后再令其為零。注意：注意：例例: : 圖示懸臂梁，求C截面的撓度f(wàn)C 。212()() 02( )2() 2lP lxPxxlM xP lxlxl解：P=P2EIl/2l/2P=P1BACxy2() 02() 2lxxlMlxlxlP1202,20232()()()2 ()7 16lCPPPlllMMfdxPEIllxP lxPxdxEIP lxPldxEIEI（向下）212()() 02( )2() 2lP lxPxxlM xP lxlxl例例: : 圖示結(jié)構(gòu)，求 A、B 兩點(diǎn)的相對(duì)位移。PEI2aaPDCBAx1x2x3111223

18、33( ) 0( ) 02( ) 0MxPxxaMxPaxaMxPxxa解：11xPMaPM233xPMEIPadxEIPxdxEIPadxEIPxdxEIMPMdxEIMPMdxEIMPMaaaaaaAB38 3032320220121033320222011111122333( ) 0( ) 02( ) 0MxPxxaMxPaxaMxPxxa AAAAAxAyPAxAyAAAPAxAyt 1.1.虛位移虛位移虛位移虛位移約束所允許的微小位移。0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F（1）與結(jié)構(gòu)上的荷載完全無(wú)關(guān)的原因?qū)е碌奈灰疲ㄈ鐒e的荷載、溫度變化、純假想原因）。（2）微小，并且符合約束條

19、件。注意：注意：2 2、實(shí)功和虛功、實(shí)功和虛功力力力作用點(diǎn)沿力方向上的位之總和力作用點(diǎn)沿力方向上的位之總和力在力在自身所產(chǎn)生的位移自身所產(chǎn)生的位移上所作的功上所作的功PPW21力在力在非自身所產(chǎn)生的位移非自身所產(chǎn)生的位移(虛位移虛位移)上所作的功上所作的功tPWPCtt1P11122P21221P2P12位移狀態(tài)位移狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（1）屬）屬同一同一體系；體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移）均為可能狀態(tài)。即位移 應(yīng)滿足應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件； 力狀態(tài)應(yīng)滿足力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件平衡條件。 （3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無(wú)關(guān)完全無(wú)關(guān)。P PWMW MABMMMM

20、MMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(P1 P2 廣義力和廣義位移廣義力和廣義位移xyAAFPDC CDDCFP 3.3.虛功原理虛功原理 對(duì)于處于平衡狀態(tài)的彈性體，從平衡位置令其有一微小的虛位移，則作用在彈性體上的外力在虛位移上所作的功，等于彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所做的功。前者稱為外力虛功 ，后者稱為內(nèi)力虛功 。extWintW即： intextWW 彈性體平衡彈性體平衡 另一方面，如果彈性體上的外力和內(nèi)力在各自的虛位移上所作的功相等，則彈性體處于平衡狀態(tài)，即：intextWW 彈性體平衡彈性體平衡綜合上述兩方面，即為彈性體的虛功原理虛功原理： 彈性體平衡的充分必要條件是，外力

21、虛功等于內(nèi)力虛功，即：intextWW 彈性體平衡彈性體平衡必要條件的簡(jiǎn)單證明，即證：intextWW 彈性體平衡彈性體平衡（1）設(shè)圖所示梁發(fā)生虛位移 ，可得：)(*xv)(*22*11lextdxxqvvFvFW0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F)(xq證明一：以梁為例（2）設(shè)想：將處于平衡狀態(tài)的梁分成無(wú)數(shù)個(gè)長(zhǎng)度為dx的微段，考察其中任一微段，如圖所示：)(*xv（剛體虛位移）MdxCq(x)FNFNM變形前C變形后*()dl*d*d（虛 變 形）*d小微段上的虛位移可分解為：剛體虛位移（形心位移）和虛變形。質(zhì)點(diǎn)虛功原理：處于平衡狀態(tài)下的力系在剛體 虛位移上的虛功之和等于0。小微段上

22、的虛功僅為力系在虛變形上做的功。*()NsdWF dlM dF dTd所有微段上的虛功之和即為總的虛功。*()NsllllWF dlMdF dTdintextWWW證明二證明二: xq1.1.利用變形連續(xù)性條件計(jì)算利用變形連續(xù)性條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力分微段外力分為兩部分：為兩部分：體系外力體系外力q q截面上內(nèi)力截面上內(nèi)力微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe截面內(nèi)力功截面內(nèi)力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dW

23、n =d dWe =We2.2.利用平衡條件條件計(jì)算利用平衡條件條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分為兩部分：為兩部分：剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi 成立。成立。abab b外力總虛功外力總虛功=各微段外力在變形虛位移上總虛功之和各微段外力在變形虛位移上

24、總虛功之和* *虛功原理虛功原理對(duì)于剛體：對(duì)于剛體： 平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所 作的虛功之和為零。作的虛功之和為零。對(duì)于變形體：對(duì)于變形體： 平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所平衡的條件是所有外力在任意虛位移上所 作的虛功恒等于內(nèi)力在虛變形上的虛功作的虛功恒等于內(nèi)力在虛變形上的虛功 （虛變形位能）。（虛變形位能）。* * 虛功的計(jì)算虛功的計(jì)算外外 力：力： P1, P2, 內(nèi)力：內(nèi)力：FN, M,外力虛功：外力虛功： We=P11+P22+.虛位移：虛位移：1, 2,., 虛變形：虛變形：() l,內(nèi)力虛功：內(nèi)力虛功：().iNWF dlMd由

25、由 We= Wi().iiNPF dlMd 虛功原理是最一般的功能原理。虛功原理是最一般的功能原理。 原理的證明表明原理的證明表明:原理適用于原理適用于任何任何 (線性和非線性線性和非線性)的變形體的變形體，適用于，適用于任何結(jié)構(gòu)任何結(jié)構(gòu)。 1M x d 對(duì)于梁，施加單位力對(duì)于梁，施加單位力P =1, 力力P產(chǎn)生的內(nèi)力產(chǎn)生的內(nèi)力 M x則有：則有：dxEIxMd)( ( )M x M xdxEI 莫爾定理莫爾定理().iiNPF dlMd （1）建立單位力系統(tǒng)：欲求結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)沿某方向的位移，就）建立單位力系統(tǒng)：欲求結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)沿某方向的位移，就在該點(diǎn)沿該方向加相應(yīng)的單位力，作為單位力系統(tǒng)。在該點(diǎn)

26、沿該方向加相應(yīng)的單位力，作為單位力系統(tǒng)?！跋鄳?yīng)相應(yīng)”：線位移：線位移集中力；集中力； 角位移角位移集中力偶。集中力偶。對(duì)應(yīng)的單位力系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的單位力系統(tǒng)ABaa1求圖示結(jié)構(gòu)求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)沿點(diǎn)沿a-a方向的線位移方向的線位移ABaa13.7 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分（2）將原荷載系統(tǒng)的位移（變形）作為單位力）將原荷載系統(tǒng)的位移（變形）作為單位力系統(tǒng)的虛位移。顯然滿足：系統(tǒng)的虛位移。顯然滿足： 原荷載系統(tǒng)的變形與單位力系統(tǒng)的力完全無(wú)關(guān)。原荷載系統(tǒng)的變形與單位力系統(tǒng)的力完全無(wú)關(guān)。 微小且符合約束條件。微小且符合約束條件。（3）運(yùn)用虛功原理：）運(yùn)用虛功原理：1eiWW ：即kiP1P例：求

27、例：求k點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.外力總虛功外力總虛功=各微段外力在變形虛位移上總虛功之和各微段外力在變形虛位移上總虛功之和BextW 1ABaaABaa1*()intNsllllWF dlM dF dTd* ()BNsllllF dlMdF dTd( )( )( )( )NsFxFxMxTx，其中為單位力系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的內(nèi)力。注意：上式既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。對(duì)于線性結(jié)構(gòu)：*( )()NFx dxdlEA*( )skFx dxdGA*( )Mx dxdEI*( )PTx dxdGI( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )NssBlllPlNFx Fx dxEAMx Mx dx

28、Tx Tx dxEIFx kFx dxGAGI莫爾積分法MMP桁架( )( )NNlFx Fx dxEA 軸( )( )lPTx Tx dxGI 梁以彎曲變形為主，可略去軸力、剪力、扭矩的影響( )( )lMx Mx dxEI NsFFMT、上式中為實(shí)際荷載引起的內(nèi)力；k是個(gè)大于1的系數(shù)，是剪應(yīng)力實(shí)際上不均勻并與截面形狀有關(guān)的修正系數(shù)。MMP*單位荷載法計(jì)算荷載引起的位移單位荷載法計(jì)算荷載引起的位移 xqabababab bMMdMNFNNFdFsFssFdFqdx微段剪切微段剪切dx微段拉伸微段拉伸dxdx微段彎曲微段彎曲iW ()iNsNsWF dlF dMdFdxFdxMdx其中其中單位

29、力狀態(tài)中由單位力引起的截面軸力，剪力，彎矩單位力狀態(tài)中由單位力引起的截面軸力，剪力，彎矩虛位移狀態(tài)中由荷載引起的線應(yīng)變，切應(yīng)變，曲率虛位移狀態(tài)中由荷載引起的線應(yīng)變，切應(yīng)變，曲率， ，NsFFM， 此式適于此式適于各種桿件各種桿件系統(tǒng)（線系統(tǒng)（線性，非線性，非線性）。性）。對(duì)于線性結(jié)構(gòu)，對(duì)于線性結(jié)構(gòu)，有材料力學(xué)變形計(jì)算公式：有材料力學(xué)變形計(jì)算公式：()NF dxdlEAskF dxdGAMdxdEI QQPNNPPlllkF FdxF FdxM MdxEAGAEI ,NsFkFMEAGAEI：即虛位移狀態(tài)中由荷載引起的截面軸力，剪力，彎矩虛位移狀態(tài)中由荷載引起的截面軸力，剪力，彎矩NsFFM，(

30、)iNsNsWF dlF dMdFdxFdxMdxE 拉壓彈性模量拉壓彈性模量G 剪切彈性模量剪切彈性模量I 截面軸慣性矩截面軸慣性矩A 截面面積截面面積k 切應(yīng)變截面形狀系數(shù)（反映應(yīng)力不均勻的與截面形狀切應(yīng)變截面形狀系數(shù)（反映應(yīng)力不均勻的與截面形狀 有關(guān)的修正系數(shù)，矩形有關(guān)的修正系數(shù)，矩形k=6/5；圓形；圓形k=10/9）例例: : 求等截面直梁求等截面直梁C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角2( )2qxMxqax)2( )2(2)0( 2)(0axaxaxaxxxM解：解：畫單位載荷圖畫單位載荷圖求內(nèi)力求內(nèi)力BAaaCP =1BAaaCqx20( )( )( )( )dd aaCaM x M

31、 xM x M xwxxEIEI對(duì)稱性對(duì)稱性EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402求變形求變形BAaaCqxP =1BAaaC2)(2qxaqxxM (0)2( )(2) (2 )2xxaM xxaxaxa0( )( )2daM x M xxEI求轉(zhuǎn)角，重建坐標(biāo)系（如圖）求轉(zhuǎn)角，重建坐標(biāo)系（如圖）aaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :211qxqaxxMAC1 ( )2xM xa 0 2)( :222qxqaxxMBC2( )2xM xaqBAaaCx2x1BAaaCM=1 0()0()( )( )( )( )acA

32、BaBCM x M xdxEIM x M xdxEI例例 : 用卡氏定理求用卡氏定理求B點(diǎn)點(diǎn)的撓度的撓度解：解：B B點(diǎn)加一個(gè)力點(diǎn)加一個(gè)力Q Q , ,最后令最后令Q Q = =0 0 求彎矩求彎矩( )( )PAMxPMxPALaBCfxOx1( )( )QBMxQMx求變形能求變形能2() 2PQLMMVdxEI變形變形00( )( )( )( )( )( )( )ABBQBLQpBABLLPMxQMxMx dxVQEIMx Mx dxPMx Mx dxEIEI實(shí)際引向了實(shí)際引向了Mohr定理定理)(22323LaaaLaEIP)()(xLPxMP() (0)( ) 0 ()BaxxaMx

33、axL0( )( )()()apBBLMx Mx dxP Lx axdxEIEI 原載荷和虛載荷各自對(duì)應(yīng)的變形能不必計(jì)原載荷和虛載荷各自對(duì)應(yīng)的變形能不必計(jì)算算只需計(jì)算只需計(jì)算二者交互的變形能二者交互的變形能 。PALaBCfxOx1lAEI2qlqBxABx1解解：（1）建立單位力系統(tǒng)和坐標(biāo)系：例例: : 求圖示結(jié)構(gòu) A 截面的轉(zhuǎn)角 。A無(wú)論實(shí)際結(jié)構(gòu)中A點(diǎn)有無(wú)與 相應(yīng)的外力，都必須建立單位力系統(tǒng)。A（2）求內(nèi)力：22( )1( )2M xqxM xql （3）求 ：A0220333( )( )2 7 66lAlM x M x dxEIqxqldxEIqlqlqlEIEIEI 前的負(fù)號(hào)表示 的轉(zhuǎn)

34、向與單位力 的轉(zhuǎn)向相反。AA1M lAEI2qlqBxABx1例例: : 求圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)的豎直位移。x3x2x111112qax3x2qa2qax1q（1）建立單位力系統(tǒng)如圖。解解：（2）建立坐標(biāo)系如圖。荷載系統(tǒng)與單位力系統(tǒng)坐標(biāo)系要一致。aqEIaABCDEAaEI（3）求內(nèi)力。荷載系統(tǒng)：荷載系統(tǒng)：211()2qxMx 22()2qaMxx3()2NqaFxx3x2qa2qax12qaqx3x2x11111單位力系統(tǒng)：?jiǎn)挝涣ο到y(tǒng)：3()1NFx11()Mxx 22()Mxx單位力系統(tǒng)與荷載系統(tǒng)的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定必須一致。（4）利用單位力法求C點(diǎn)的豎直位移。123111222333311024222

35、300()()()()()() 217 22242CllaNNlaaMxMxdxMxMxdxwEIEIFxFxdxqxdxEAEIqaxqaqaqadxdxEIEAEIEA符號(hào)為正表明 的指向與單位力 的指向相同。CwCw1F 211()2qxMx 22()2qaMxx3()2NqaFx3()1NFx11()Mxx 22()Mxx例例: 1)求求A點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移 所加單位廣義力與所求廣義位移所加單位廣義力與所求廣義位移相對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng),該單位該單位廣義力在所求廣義位移上做功。廣義力在所求廣義位移上做功。*單位力狀態(tài)的建立單位力狀態(tài)的建立PAB2)求求A截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角3)求求AB兩點(diǎn)相對(duì)水平

36、位移兩點(diǎn)相對(duì)水平位移4)求求AB兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角P=1P=11P1PBA?AB(b)試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。A?A(a)P=1P=1P=1AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義

37、力。例例 2：求曲梁：求曲梁B點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移(EI、EA、GA已知已知) P43例例ROBAP解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示sin ,sincos ,cossin ,sinSSNNMPRMRFPFFPFdsRd P=1RPRMNFSFNsNsBF FkF FM MdsEAG AEI )(4443EIPRGAkPREAPR242/ 4,/64,10/9,/1/10,/2.5()/16AdIdkdRE GI Ad鋼3:,444MQNPRkPRPREIGAEA 設(shè)11600NM1576QM 小曲率桿可利用直桿公式近小曲率桿可利用直桿公式近似計(jì)算似計(jì)算;軸向變形軸向變形

38、,剪切變形對(duì)位剪切變形對(duì)位移的影響可略去不計(jì)移的影響可略去不計(jì)在桿件數(shù)量多的情況下，不方便。在桿件數(shù)量多的情況下，不方便。 ( )( )dM x M xxEI 剛架與梁的位移計(jì)算公式為：剛架與梁的位移計(jì)算公式為：圖乘法圖乘法：將積分：將積分圖形相乘。出發(fā)點(diǎn)：直桿在圖形相乘。出發(fā)點(diǎn)：直桿在單位力單位力作用下的內(nèi)力作用下的內(nèi)力圖必定是圖必定是直線段直線段或者或者折線段折線段。( )( )Mx Mx dx的計(jì)算轉(zhuǎn)化為的計(jì)算轉(zhuǎn)化為1、圖乘法PMMdxEIxMxEIPdtan1 xxMEIPdtan 1cctan=A x =MEIEI xMMEIPd1)tan( xM 圖乘法求位移公式為圖乘法求位移公式

39、為:cMEI d圖乘法求位移公式圖乘法求位移公式:cMEI PM 圖 的 面 積CPMMM圖上對(duì)應(yīng)圖形心得豎標(biāo)值例例: : 求圖示懸臂梁在自由端的撓度。BA1BlAEIF解解：（1）建立單位力系統(tǒng)：（2）作荷載系統(tǒng)和單位力系統(tǒng)的彎矩圖：l3lCxFlMMlCM（3）計(jì)算 、 、 ：CMCxlFl 213lxC23CMl 23112()()233ACfMEIFllEIFlEI“正號(hào)”表明 的指向與單位力 的指向相同。Af1F l3lCxFlMMlCM 圖乘法的應(yīng)用條件：等截面直桿，EI為常數(shù)；兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；為折線時(shí)應(yīng)分段 圖乘求和。 應(yīng)取自直線圖中。當(dāng) 為折線，而 圖為 無(wú)折線直線時(shí)

40、， 取自 圖。cMcMPMPMM盡量將MP圖繪成面積及其形心已知的圖 形，如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形。若 與 在桿件的同側(cè)， 取正值；反之，取負(fù)值。cMMPM對(duì)拉壓、扭，同類圖乘；對(duì)雙向彎曲，同平面互乘。圖乘法注意要點(diǎn)：圖乘法注意要點(diǎn)：例例1: 1: 求圖示簡(jiǎn)支梁 C 點(diǎn)的豎向位移和 A 點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。FEIl/2l/2ABC1（2）作 、 圖：( )PMx( )M x解解：（1）建立求 的單位力系統(tǒng)：AACPMFl41M1CMl/2l/2（3）求 ：A2212481216CCAF lF lAlMMF lE IE I ACPMFl41M1CMl/2l/2比較彎曲變形表結(jié)果比較彎曲變形表結(jié)果1F

41、EIl/2l/2ABC（4）建立求 的單位力系統(tǒng)并作相應(yīng)的 圖：CM1A1CPMFl41Ml411Cyl/2l/22Cy2C2Al/3l/3l/3112231()21()2 24648CCCCMMMEIEIl FllFlEIEI 圖為折線，以轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界分段進(jìn)行圖乘，然后求和。M比較彎曲變形表結(jié)果比較彎曲變形表結(jié)果例例. 試求圖示結(jié)構(gòu)試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.解解:cByMEI)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1PlMPlPEIBEIllM2、幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心位置的確定方法、幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心位置的確定方法二次拋物線二次拋物線12例例: : 求圖示外伸梁

42、 A 截面的轉(zhuǎn)角。P58例解解：（1）建立單位力系統(tǒng)：1（2）作 、 圖：( )PMx( )M xFAEIBCal1l31l211231C2C3CFaPMM2CM3CM1CM281ql（3）圖乘求 ：A1122332321()1211(1382212 )231()2423CACCCMEIMMMEIqllFa aEIFa lqlFalEIEIa 與 引起的彎矩圖分開(kāi)畫，易于確定各圖形的面積和形心位置。Fq 與 在基線同一側(cè)時(shí)， 為正，在基線異側(cè)時(shí)， 為負(fù)。PMMCMCM1l31l211A2A3A1C2C3CFaPMM2Cy3Cy1Cy281ql3、圖形分解、圖形分解B例：求1ABmkN 20mk

43、N 40m10EIABmkN 20ABmkN 404020MP40203/23/ 1112(10 40231150010 20)()233CBMEIEIEI M解一：解一：B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI2/1112(10 2023150010 20)()23CBMEIEIEI 1110 1 (202250020)()33CBMEIEIEI 當(dāng)兩個(gè)圖形均當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)為直線圖形時(shí),取哪取哪個(gè)圖形的面積均可個(gè)圖形的面積均可.3/24020MPM解二：解二：解三：解三：例例: : 求圖示懸臂梁 C 點(diǎn)的撓度。1解解：（1）建立單位力系統(tǒng)：（2）作 、 圖：PMM將 圖分成易

44、于確定面積和形心位置的三個(gè)面積。PM2Fl23Fl2312C1C3C3CM2CM1CMl61l21l41l61lPMMl/2FEIFl/2ABC21122223312 2 28132 243413()2 222456CCCl FlFlMll FlFlMllFlFlFlMl將三個(gè)面積分別與 圖乘，然后相加：M2Fl23Fl2312C1C3C3CM2CM1CMl61l21l41l61lPMMcMEI 21122223311 2 2 2833 2 244135() 2 22246CCCl FlFlMll FlFlMllFlFlFlMl11223322231()135 ()8344467 16CCCCCMMMME IE IF llF llF llE IF lE I 解：作荷載彎矩