正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

第4章正弦穩(wěn)電路分析

4.3基本元件VAR相量形式和KCL、KVL相量形式4.4復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納4.2正弦量的相量表示法4.1正弦量的基本概念4.5正弦穩(wěn)態(tài)中的功率4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路中的中的最大功率傳輸返回1學(xué)習目標

正確理解正弦量的概念，牢記正弦量的三要素。正確區(qū)分瞬時值、最大值、有效值和平均值。深刻理解正弦量的相量表示法。深刻理解和掌握交流電路中電阻、電容、電感元件上的電壓、電流之間的相位關(guān)系，并能進行相關(guān)的計算。正確區(qū)分瞬時功率、平均功率、有功功率、無功功率和視在功率，并會進行計算。能進行對稱三相電路的計算。24.1正弦量的基本概念4.1.1正弦量的三要素若電壓、電流是時間t的正弦函數(shù)，稱為正弦交流電。

以電流為例，正弦量的一般解析式為：

波形如圖4-1所示圖4-1正弦量的波形3圖中Im

叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度叫正弦量的相位，當t=0時的相位叫初相位，簡稱初相；ω叫正弦量的角頻率。因為正弦量每經(jīng)歷一個周期的時間T，相位增加2π，則角頻率ω、周期T和頻率?之間關(guān)系為：

ω、T、?反映的都是正弦量變化的快慢，ω越大，即?越大或T越小，正弦量變化越快；ω越小，即?越小或T越大，正弦量變化越慢。

把振幅、角頻率和初相稱為正弦量的三要素。只有確定了三要素，正弦量才是確定的。4

用正弦函數(shù)表示正弦波形時，把波形圖上原點前后正負T/2內(nèi)曲線由負變正經(jīng)過零值的那一點作為正弦波的起點。初相角就是波形起點到坐標原點的角度，于是初相角不大于，且波形起點在原點左側(cè)；反之。如圖4-2所示，初相分別為0、由圖可見，初相為正值的正弦量，在t=0時的值為正，起點在坐標原點之左；初相為負值后正弦量，在t=0時的值為負，起點在坐標原點之右。5圖4-264.1.2、同頻率正弦量的相位差

設(shè)有兩個同頻率的正弦量為

叫做它們的相位差。正弦量的相位是隨時間變化的，但同頻率的正弦量的相位差不變，等于它們的初相之差。初相相等的兩個正弦量，它們的相位差為零，這樣的兩個正弦量叫做同相。同相的正弦量同時達到零值，同時達到最大值，步調(diào)一致。兩個正弦量的初相不等，相位差就不為零，不同時達到最大值，步調(diào)不一致，7

如果，則表示i1超前i2;如果，則表示i1滯后i2，如果，則兩個正弦量正交；如果，則兩個正弦量反相。同頻率正弦量的相位差，不隨時間變化，與計時起點的選擇無關(guān)。為了分析問題的方便，在一些有關(guān)的同頻率正弦量中，可以選擇其中的一個初相為零的正弦量為參考，其他正弦量的初相必須與這個參考正弦量的初相比較，即以其他正弦量的初相等于它們和參考正弦量之間的相位差。在n個正弦量中，只能選擇一個為參考正弦量。如圖4-3（a）、（b）、（c）、（d）分別表示兩個正弦量同相、超前、正交、反相。8圖4-3i1與i2同相、超前、正較、反相94.1.3

正弦電流、電壓的有效值

1、有效值周期量的有效值定義為：一個周期量和一個直流量，分別作用于同一電阻，如果經(jīng)過一個周期的時間產(chǎn)生相等的熱量，則這個周期量的有效值等于這個直流量的大小。電流、電壓有效值用大寫字母I、U表示。根據(jù)有效值的定義，則有

則周期電流的有效值為102、正弦量的有效值對于正弦電流，設(shè)同理114.2正弦量的相量表示法

4.2.1復(fù)數(shù)的運算規(guī)律

復(fù)數(shù)的加減運算規(guī)律。兩個復(fù)數(shù)相加（或相減）時，將實部與實部相加（或相減），虛部與虛部相加（或相減）。如：相加、減的結(jié)果為：A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2) 復(fù)數(shù)乘除運算規(guī)律：兩個復(fù)數(shù)相乘，將模相乘，輻角相加；兩個復(fù)數(shù)相除，將模相除，輻角相減。如：12因為通常規(guī)定：逆時針的輻角為正，順時針的輻角為負，則復(fù)數(shù)相乘相當于逆時針旋轉(zhuǎn)矢量；復(fù)數(shù)相除相當于順時針旋轉(zhuǎn)矢量。特別地，復(fù)數(shù)的模為1，輻角為

。把一個復(fù)數(shù)乘以就相當于把此復(fù)數(shù)對應(yīng)的矢量反時針方向旋轉(zhuǎn)角。134.2.2正弦量的相量表示設(shè)有一復(fù)數(shù)它和一般的復(fù)數(shù)不同，它不僅是復(fù)數(shù)，而且輻角還是時間的函數(shù)，稱為復(fù)指數(shù)函數(shù)。因為由于

可見A(t)的虛部為正弦函數(shù)。這樣就建立了正弦量和復(fù)數(shù)之間的關(guān)系。為用復(fù)數(shù)表示正弦信號找到了途徑。14式中同理把這個復(fù)數(shù)分別稱為正弦量的有效值相量和振幅相量。特別應(yīng)該注意，相量與正弦量之間只具有對應(yīng)關(guān)系，而不是相等的關(guān)系。

例已知u1=141sin(ωt+60o)V，u

2=70.7sin(ωt-45o)V。求：⑴求相量；(2)求兩電壓之和的瞬時值u(t)（3）畫出相量圖解（1）15（2）（3）相量圖如圖4-4所示圖4-4164.3基本元件VAR相量形式和KCL、KVL相量形式4.3.1基本元件VAR的相量形式

在交流電路中，電壓和電流是變動的，是時間的函數(shù)。電路元件不僅有耗能元件的電阻，而且有儲能元件電感和電容。下面分別討論它們的伏安關(guān)系式（即VAR）的相量形式。1、電阻元件根據(jù)歐姆定律得到上式表明電阻兩端的正弦電壓和流過的正弦電流是同相的，相量、波形圖如圖4-5所示。17其相量關(guān)系為：圖4-5電阻元件的電壓、電流相量及波形圖182、電容元件電容元件上電壓、電流之間的相量關(guān)系式為：

將上式改寫為：通常把XC=定義為電容的容抗。電容元件上，電流振幅為電壓振幅的ωC倍。19頻率越大容抗越小。隔直、通交。于負載并聯(lián)可以起到濾波作用20圖4-6電容元件的波形、相量圖以上表明電容電流超前電容電壓90°，可以用相量圖或波形圖清楚地說明。如圖4-6所示。213、電感元件電感元件上電壓、電流之間的相量關(guān)系式為：由上式可得U=ωLI=XLI

上式表明電感上電流滯后電壓為90°。通常把XL=ωL定義為電感元件的感抗，它是電壓有效值與電流有效值的比值即XL=ωL。對于一定的電感L，當頻率越高時，其所呈現(xiàn)的抗感越大，反之越小。在直流情況下，頻率為零，XL=0，電感相當于短路。(通低頻、阻高頻。于負載串聯(lián)，起濾波作用）22圖4-7電感元件的波形、相量圖電感元件的波形、相量圖如圖4-7所示?？梢钥闯觯姼猩想娏鳒箅妷簽?0°。234.4復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納4.4.1復(fù)阻抗

設(shè)由R、L、C串聯(lián)組成無源二端電路。如圖4-8所示，流過各元件的電流都為I，各元件上電壓分別為uR(t)、uL(t)、uC(t)，端口電壓為u(t)。

圖4-824因為

u(t)=uR(t)+u

L(t)+uC(t)即所以25上式是正弦穩(wěn)態(tài)電路相量形式的歐姆定律。Z為該無源二端電路的復(fù)阻抗（或阻抗），它等于端口電壓相量與端口電流相量之比，當頻率一定時，阻抗Z是一個復(fù)常數(shù)，可表示為指數(shù)型或代數(shù)型，即：式中∣Z∣稱為阻抗的模，其中X=XL-XC稱為電抗，電抗和阻抗的單位都是歐姆。稱為阻抗角，它等于電壓超前電流的相位角，即

264.5正弦穩(wěn)態(tài)中的功率4.5.1

R、L、C元件的功率和能量1.電阻元件的功率設(shè)正弦穩(wěn)態(tài)電路中，在關(guān)聯(lián)參考方向下，瞬時功率為pR(t)=u(t)I(t)設(shè)流過電阻元件的電流為

IR(t)=Im

sinωtA其電阻兩端電壓為

uR(t)=Im

Rsinωt=UmsinωtV則瞬時功率為27pR(t)=u(t)i(t)=2URIRsin2ωt=URIR（1-cos2ωt）W由于cos2ωt≤1,故此

pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0其瞬時功率的波形圖如4-10所示。由圖可見，電阻元件的瞬時功率是以兩倍于電壓的頻率變化的，而且pR（t）≥0，說明電阻元件是耗能元件。圖4-10電阻元件的瞬時功率28電阻的平均功率可見對于電阻元件，平均功率的計算公式與直流電路相似。2.電感元件的功率在關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過電感元件的電流為

則電感電壓為：29其瞬時功率為

上式表明，電感元件的瞬時功率也是以兩倍于電壓的頻率變化的；且pL(t)的值可正可負，其波形圖如圖4-11所示。

圖4-11電感元件的瞬時功率30

從圖上看出，當uL(t)、iL(t)都為正值時或都為負值時，pL(t)為正，說明此時電感吸收電能并轉(zhuǎn)化為磁場能量儲存起來；反之，當pL(t)為負時，電感元件向外釋放能量。pL(t)的值正負交替，說明電感元件與外電路不斷地進行著能量的交換。電感消耗的平均功率為：

電感消耗的平均功率為零，說明電感元件不消耗功率，只是與外界交換能量。

313．電容元件的功率在電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過電容元件的電流為:

則電容電壓為：

其瞬時功率為：32uc

(t)、Ic(t)、pc(t)的波形如圖4-12所示。圖4-12電容元件的瞬時功率33從圖上看出，pc(t)、與pL(t)波形圖相似，電容元件只與外界交換能量而不消耗能量。電容的平均功率也為零，即：電感元件以磁場能量與外界進行能量交換，電容元件是以電場能量與外界進行能量交換。34

4.5.2二端電路的功率1.瞬時功率在圖4-13所示二端電路中，設(shè)電流i(t)及端口電壓u(t)在關(guān)聯(lián)參考方向下，分別為：則二端電路的瞬時功率為：

圖4-1335上式表明，二端電路的瞬時功率由兩部分組成，第一項為常量，第二項是兩倍于電壓角頻率而變化的正弦量。瞬時功率如圖4-14所示。

圖4-14二端RLC電路的瞬時功率36從圖上看出，u(t)或i(t)為零時，p(t)為零；當二者同號時，p(t)為正，電路吸收功率；二者異號時，p(t)為負，電路放出功率，圖上陰影面積說明，一個周期內(nèi)電路吸收的能量比釋放的能量多，說明電路有能量的消耗。2.有功功率（也叫平均功率）和功率因素

37式中稱為二端電路的功率因素，功率因素的值取決于電壓與電流之間的相