課例分析《雞兔同籠》

1、課例分析雞兔同籠3.在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，并向?qū)W生滲透 轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想和方法。教學(xué)重點：嘗試用不同的方法解決 雞兔同籠 問題，體會用假設(shè)法和方程 法解決問題的優(yōu)越性。教學(xué)難點：理解用假設(shè)法解決 雞兔同籠 問題的算理教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，生成問題1、同學(xué)們，看老師手里是什么 （硬幣 ），有數(shù)字 1 的一面，我 們叫（正面 ）;沒有 1 的一面，我們叫 （反面 ）;老師拋硬幣想想它是哪面 朝上?我們來看看是哪面朝上，你們是怎么知道的呢 ?（我們是猜的 ）同 學(xué)們真會猜，這節(jié)課呢同學(xué)們就大膽的猜一猜請?？创笃聊?。2、課件出示（1）雞兔同籠，有 2個頭，共 6 條腿，幾只雞，幾

2、只兔 ?（驗證）（2）雞兔同籠，有 3個頭，共 8 條腿，幾只雞，幾只兔 ?（驗證）同學(xué)們真了不起，還愿意繼續(xù)猜嗎 ?3. 出示原題師：同學(xué)們，我們國家有著幾千年的悠久文化，在我國古代更 是產(chǎn)生了許多位數(shù)學(xué)家和許多部數(shù)學(xué)著作， 孫子算經(jīng)就是其中一 部，大約產(chǎn)生于一千五百年前， 書中記載著這樣一道有名的數(shù)學(xué)趣題 (課件出示孫子算經(jīng)中的原題 )：今有雉兔同籠，上有三十五頭， 下有九十四足，問雉兔各幾何 ?(1).理解題意師：同學(xué)們知道這道題的意思嗎 ?請試著說一說。生：這道題的意思是 現(xiàn)在，雞和兔在一個籠子里，從上面數(shù)有35 個頭，從下面數(shù)有 94 只腳，問雞和兔各有多少只 ?師：這道題的意思正如

3、同學(xué)們所想的一樣， 也就是：(課件出示 ) 籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)有 35 個頭，從下面數(shù)有 94 只腳， 雞和兔各有多少只 ?(2).揭示課題師：這就是著名的 雞兔同籠 問題，也正是這節(jié)課要研究的問 題。【設(shè)計意圖：師利用學(xué)生感興趣的拋硬幣的游戲引入，不僅調(diào) 動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性， 而且激發(fā)了探究的興趣和動機。 老師又利用 我國古代數(shù)學(xué)名著中的數(shù)學(xué)趣題的學(xué)習(xí)， 讓學(xué)生受到了數(shù)學(xué)文化的悠 久與魅力， 明確了本節(jié)課學(xué)習(xí)的目的與要求。 導(dǎo)入新課的方式多種多 樣，惟有適合學(xué)生學(xué)習(xí)所需的才是最佳。 】二、探究交流、解決問題1. 出示例 1師：為便于研究，我們可先從簡單問題入手，把題中的 35

4、個 頭 和 94 只腳 分別換成 8 個頭 和 26 只腳 ，就變成了例 1 ：籠子 里有若干只雞兔。從上面數(shù)，有 8 個頭，從下面數(shù)，有 26 只腳，雞 和兔各有幾只 ?2. 理解題意 .我們一起來看看被關(guān)在同一個籠子里的雞和兔給我們帶來了什 么信息?學(xué)生理解：雞和兔共 8 只。 雞和兔共有 26 條腿。 雞 有 2 條腿。兔有 4 條腿。 （課件出示 ）3. 探索策略（一）猜想驗證，1 、我們先來猜猜， 籠子中可能會有幾只雞幾只兔呢 ?學(xué)生猜測， 在猜測時要抓住哪個條件呢 ?（雞和兔一共是 8 只）那是不是抓住了這 個條件就一定能猜對呢 ?學(xué)生猜測，老師板書2 、怎樣才能確定同學(xué)們猜的對不

5、對 ?（把雞的腿和兔的腿加起來 看等不等于 26 。）3、和學(xué)生一起驗證，找出正確的答案。列表法：雞的只數(shù) 876543210兔的只數(shù) 012345678共有腿數(shù) 先假設(shè)有 8 只雞，0 只兔子，腿就有 16 條。腿太少，然后又假 設(shè)有 7 只雞，1 只兔子，腿還是太少了。這樣試下去就得到了有 3 只 雞， 5 只兔子。師：學(xué)生說出 7 只雞，1 只兔子 ，問 怎樣計算出的腿數(shù) ? 7 2+1 4=14+4=18問 3 只雞， 5 只兔子是 26 條腿嗎 ? 3 2+5 4=6+20=26師：誰和他的方法一樣 ?能再講講嗎 ?師：追問 有些同學(xué)在填表時寫出的腿數(shù)特別快， 讓我們采訪一 有什么秘

6、訣 ?（因為雞和兔的只數(shù)是固定的，每增加一只兔子減少一只雞，腿的總只數(shù)就增加 2。反之依然，所以列表列得特別快。 ）4 、 像你們這樣，采用列表的方法，不重復(fù)、不遺漏的寫出所 有可能的答案。這種逐一列舉的方法在數(shù)學(xué)中也稱為 列舉法5、你們覺得用猜想列表法解決雞兔同籠問題怎么樣 ?（生：麻煩， 而且當(dāng)頭和腳的只數(shù)越多時，越不容易找出答案。 ）6、那我們還有研究新方法的必要?！驹O(shè)計意圖：既鼓勵學(xué)生大膽猜想，又能讓學(xué)生體會到猜想法 的局限性， 還能激發(fā)學(xué)生探索解決問題新策略的興趣， 這樣的教學(xué)正 是新課程所需要的高效教學(xué)。 】（二）嘗試假設(shè)法1、為了研究老師把所有的可能按順序列出來了，我們先看表 格

7、中左起的第一列， 8 和 0 是什么意思 ?（就是有 8 只雞和 0 只兔，也 就是假設(shè)籠子里全是雞， ）那籠子里是不是全是雞呢 ?（不是 ）那就是把 里面的兔也看成雞來計算了，那把一只 4 條腿的兔當(dāng)成一只 2 條腿 的雞來算會有什么結(jié)果呢 ?（就會少算兩條腿 ）（課件出示：把一只兔當(dāng) 成一只雞算，就少了兩條腿。 ）2、假設(shè)全是雞一共就有 16 條腿。實際有 26 條腿，這樣籠子 里就少了 10 條腿，為什么會少了 10 條腿呢?（把兔當(dāng)了雞在算。 一只 兔當(dāng)成一只雞算少兩條腿，那把幾只兔當(dāng)成了雞算就會少算 10 條腿 呢?即10 里面有幾個 2。就把幾兔當(dāng)成了雞算， 5 個 2，用五只兔當(dāng)

8、 成了雞算，這個五就表示應(yīng)該有 5 只兔 ）3、上面的過程能用算式表示出來嗎 ?請同學(xué)們試試看。（學(xué)生試著列算式，請一個學(xué)生到黑板上去板演。 ）4、假設(shè)全是雞： （板書 ）8 2=16（ 條）（如果把兔全當(dāng)成雞一共就有 8 2=16 條腿 ）26-16=10（ 條 ）（把兔看成雞來算， 4 條腿兔有當(dāng)成兩條腿的雞 算，每只兔就少了兩條腿， 10 條腿是少算了兔的腿 ）4-2=2（ 假設(shè)全是 雞，是把 4 條腿的兔有當(dāng)成兩條腿的雞。所以 4-2 表示是一只兔當(dāng) 成一只雞就要少算 2 條腿。 ）10 2=5（ 只）兔（那把多少只兔當(dāng)成雞算就會少 10 條腿呢 ?就看10 里面有幾個 2 就是把幾只

9、兔當(dāng)成了雞來算，所以 10 2=5 就是兔 的只數(shù)。）108-5=3（ 只 ）雞（用雞兔的總只數(shù)減去兔的只數(shù)就是雞的只數(shù)，8-5=3 只雞 ）5、算出來后，我們還要檢驗算的對不對，誰愿意口頭檢驗。生：3 2+5 4=26（ 只）， 5+3=8（ 只）。 師：看來做對了，最后寫上答語。6、假設(shè)全是兔7 、我們再回到表格中，看看右起第一列中的 8 和 0 是什么意 思?（籠子里全是兔 ）那是不是全都是兔呢 ?（不是 ）也就是11假設(shè)籠子里全是兔。那把兔當(dāng)了雞在算。那就是把里面的雞也 當(dāng)成兔來計算了，那把一只 2 條腿的雞當(dāng)成一只 4 條腿的兔來算會 有什么結(jié)果呢 ?（就會多算兩條腿 ）（課件出示：

10、把一只雞當(dāng)成一只兔算， 就多了兩條腿 ）8 、先用假設(shè)全是雞的辦法解決了這個問題， 現(xiàn)在假設(shè)全是兔又 應(yīng)該怎么分析和解決這個問題呢 ?同學(xué)們能自己解決嗎 ?如果有困難 可以同桌或小組討論。（學(xué)生討論寫算式，然后指名板演。 ）8 4=32（ 條）（如果把雞全看成兔一共就有 8*4=32 條腿 ）32-26=6（ 條）（把雞當(dāng)成兔來算，兩條腿的雞當(dāng)成 4 條腿兔算， 每只雞就多了兩條腿， 6 條腿是多算了雞的腿 ）4-2=2（ 假設(shè)全是兔，是把兩條腿的雞當(dāng)成有 4 條腿的兔。所以124-2 表示是一只雞當(dāng)成一只兔多算了 2 條腿。 ）6 2=3（ 只）雞（那要把多少只雞當(dāng)成兔來算就會多算 6 條腿

11、呢 ?就 看 6 里面有幾個 2 就是把幾只雞當(dāng)成了兔算，所以 6 2=3 就是現(xiàn)在 雞的只數(shù)。 ）8-3=5（ 只 ）兔小結(jié)：剛才我們假設(shè)都是雞或都是兔，所以把這種方法叫做假 設(shè)法。這是解答雞兔同籠問題的一種基本方法。 （板書：假設(shè)法 ）【設(shè)計意圖：讓學(xué)生認(rèn)識、理解、運用假設(shè)法是本節(jié)課的教學(xué) 重點，也是教學(xué)難點。 為此，教師以表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律為探究基礎(chǔ)， 以小組合作、師生互動為探究方式， 以課件動態(tài)演示為探究輔助手段， 巧妙地將認(rèn)知經(jīng)驗和思維過程轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)語言， 即數(shù)學(xué)算式， 從而 形成了解決問題的全新的一般策略， 發(fā)展了學(xué)生的思維水平和推理能 力。】13（三）畫圖法給每只動物先安上 2

12、 條腿 （也就是都看成雞 ），這樣一共用 16 條 腿，還剩下 10 條腿。一次增加 2 條腿，一只雞就變成了一只兔，要 把 10 條安完，要把 5 只雞變成兔。問：誰聽懂他的方法了 ?能再說說嗎 ?你覺得這樣做怎么樣 ?（結(jié) 合課件演示 ）師：畫圖的方法非常便于觀察、非常容易理解，但如果雞兔只 數(shù)很多時，就會不太適合。（四）列方程解在解決雞兔同籠問題時，除了假設(shè)法外，還有別的方法嗎?（方程的方法 ）14要用列方程的方法就必須找到等量關(guān)系式。通過得到到信息能寫出哪些等量關(guān)系式呢 ?(兔的只數(shù) + 雞的只數(shù) =8; 兔的腿 +雞的腿 =26 條腿)(課件出示 ) 這里我們需要求兔的只數(shù)和雞的只數(shù)

13、，共有兩個未知數(shù)。那我 們可以設(shè)一個未知數(shù)為 X，再把另一個表示出來。這道題我們可以設(shè) 兔的知數(shù)為 X 只，根據(jù)兔和雞共有 8 只。那雞的只數(shù)就可以表示成： (8-X) 只)，因為一只雞有 2 條腿，所以 X 只雞就共有 2X 條腿。一只 兔有 4 只腳， (8-X) 只兔就有 4(8-X) 只腳。又因為雞和兔共有 26 只 腳，所以 2X+4(8-X)=261、解：設(shè)雞有 X 只，兔有 (8-X) 只。152X+4(8-X)=26在解的時候可以根據(jù)等式的性質(zhì)將減變成加， 分別加上 4X ，再 來解。2、解：設(shè)有兔 X 只，雞有 (8-X) 只。4X+2(8-X)=26同樣抽生說出自己想法。那

14、種方程好解一點， (設(shè)兔的只數(shù)為 X 好解點 )所以我們可以設(shè)腳數(shù)多的兔為 X，在解的時候容易一點。列方程的重點是找出等量關(guān)系：設(shè)頭數(shù)，以腳數(shù)相等來列出方 程;設(shè)計意圖：代數(shù)法是學(xué)生在五年級已學(xué)的舊方法，但運用到解16 決雞兔同籠問題之中又是新策略。 教師以舊知識和舊方法為基礎(chǔ)， 手讓學(xué)生大膽嘗試、自主探究，并抓住其中的疑難點設(shè)問，幫助學(xué)生 真正理解過程、掌握方法、提升技能。 3. 小結(jié)方法(1)請同學(xué)們回憶一下，在解決雞兔同籠問題時，用到了哪些方法 ?(猜想法，列表法，假設(shè)法和代數(shù)法。 )(2)要你們解決孫子算經(jīng) 中原題，你現(xiàn)在會選用哪種方法呢(有的選擇假設(shè)法，有的選擇代數(shù)法。 )17師：下

15、面同學(xué)們就用自己喜歡的方法解決這個問題。課件出示孫子算經(jīng)中原題學(xué)生解答并集體講評 請同學(xué)們想一想，在日常生活中還有哪些情況類似于雞兔同籠 問題?學(xué)生舉出實例：如買了一些蘋果和梨子，告訴蘋果和梨子的單價和總數(shù)量，還 有總的價錢，求和梨分別買了多少千克。自行車和汽車一共有幾輛，一共有多少個輪子，求汽車18自行車分別有幾輛師：可見生活中類似于雞兔同籠的問題有很多，這些問題都可 用不同的數(shù)學(xué)方法來解決，課后可用我們喜歡的方法解決這些問題?！驹O(shè)計意圖：在計算教學(xué)中，需要算法多樣化，更需要算法的 優(yōu)化;同樣，在解決問題教學(xué)中，需要策略多樣化，更需要策略的優(yōu) 化。發(fā)散思維與收斂思維應(yīng)該兼顧并進。但優(yōu)化并不等

16、于強加，優(yōu)化 也強調(diào)自主和需要過程。在這里，教師對此都恰倒好處地予以了關(guān) 照?！咳?、鞏固應(yīng)用，內(nèi)化提高1.課件出示 做一做 119雞兔同籠問題傳到日本時就變成了 龜鶴問題 ，你認(rèn)為 龜鶴問 題 與 雞兔同籠 有什么相似之處 ?課件出示 （ 龜相當(dāng)于兔，鶴相當(dāng)于 雞）展示學(xué)生作業(yè)，并抽生說說思路。2.看來雞兔問題這類問題我們不只局限算雞和兔的只數(shù)問題 上，只要能用 雞兔同籠 問題來解答的問題都可以統(tǒng)一叫做 雞兔同 籠 問題。下面我們就用剛才學(xué)到的 雞兔同籠 方法，來幫我們解決 生活中遇到的一些實際問題。3 、課件出示 做一做 第二題。問這道題與 雞兔同籠 問題有相 似的地方嗎 ?有哪些地方相似

17、?（大船相當(dāng)于 兔 ，小船相當(dāng)于 雞 ）學(xué) 生獨立完成，集體講評。4. 一輛汽車參加車賽， 9 天共行了 5000 公里。已知它晴天每天 行 688 公里，雨天平均每天行 390 公里。在比賽期間，有幾個晴天 ? 有幾個雨天。205、自行車和三輪車共 10 輛，總共有 26 個輪子。自行車和三 輪車各有多少輛 ?6. 一百個和尚吃一百個饅頭，大和尚一人吃三個，小和尚三人 吃一個。大和尚有多少個 ?小和尚有多少個 ?【設(shè)計意圖：孫子算經(jīng)中原題的解決，讓學(xué)生進一步感受到 了我國古代數(shù)學(xué)的魅力 ;放手讓學(xué)生對生活中類似于雞兔同籠問題的 列舉，讓學(xué)生體會到了此類問題在現(xiàn)實中的廣泛存在， 進而凸顯了本

18、節(jié)課的學(xué)習(xí)價值， 從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想， 從一般驗 證到表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，從列表法很快自然聯(lián)想到假設(shè)法、 代數(shù)法，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到 創(chuàng)新、從膚淺到深刻等方面的巨大變化， 學(xué)生的思維能力也隨之得到 了極大的提升?！克?、回顧整理，反思提升本節(jié)課你有什么收獲 ?那你知道早在一千五百年前的古人又是21怎么解決雞兔同籠問題的 ?【設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生進行回顧與反思，有利于學(xué)生對知識的 鞏固。而對于五年級的學(xué)生來說，不但要養(yǎng)成反思的意識，更要學(xué)會 如何去進行反思， 這樣一種能力是需要在老師一定的問題引領(lǐng)下， 在 反思與交流中培養(yǎng)出來的。 】板書設(shè)計：雞兔同籠1，列表法 2，畫圖法3，假設(shè)算術(shù)法 4、列方程教學(xué)反思：22雞兔同籠 問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在 孫子算經(jīng) 中。本節(jié)課主要是借助我國古代趣題 雞兔同籠 這個題 材，培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考，運用列表法和假設(shè)法解決問題的能力。 因此本節(jié)課重在研究解決 雞兔同籠 問題的方法和策略上。在實際的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)了以下幾個問題：1 、我感覺多媒體課件雖然幫助學(xué)生非常直觀的理解了假設(shè)法的這種思維過程， 讓復(fù)雜問題簡單化了。 但我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維過程只 是停留在直觀、 表象這一層面， 只有少數(shù)同學(xué)將這一思考過程內(nèi)化成 成為了自己的