第四章習(xí)題與復(fù)習(xí)題詳解(線性空間)----高等代數(shù)(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí)題5. 11 判斷全體n階實(shí)對稱矩陣按矩陣的加法與數(shù)乘是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間答 是因?yàn)槭峭ǔＲ饬x的矩陣加法與數(shù)乘, 所以只需檢驗(yàn)集合對加法與數(shù)乘運(yùn)算的封閉性.由n階實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)知，n階實(shí)對稱矩陣加n階實(shí)對稱矩陣仍然是n階實(shí)對稱矩陣，數(shù)乘n階實(shí)對稱矩陣仍然是n階實(shí)對稱矩陣, 所以集合對矩陣加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉, 構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間. 2全體正實(shí)數(shù)R+, 其加法與數(shù)乘定義為判斷R+按上面定義的加法與數(shù)乘是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.答 是. 設(shè).因?yàn)?所以對定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉.下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律(1) ; (2);(3) 中存在零元素1, , 有

2、;(4) 對中任一元素，存在負(fù)元素, 使;(5); (6);(7) ;所以R+對定義的加法與數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間. 3. 全體實(shí)n階矩陣，其加法定義為按上述加法與通常矩陣的數(shù)乘是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.答 否. .故定義的加法不滿足加法的交換律即運(yùn)算規(guī)則（）, 全體實(shí)n階矩陣按定義的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.4在中，答 否. , 也就是說集合對加法不封閉.習(xí)題5.21討論中的線性相關(guān)性.解 設(shè), 即 . 由系數(shù)行列式知, 2在中，求向量其中解 設(shè) 由得. 故向量為 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).解 設(shè)則有.由得.故向量為（-7，11，-21，30）.4已知的兩組基（）

3、： （）：（1） 求由基（）到基（）的過渡矩陣；（2） 已知向量；（3） 已知向量;（4） 求在兩組基下坐標(biāo)互為相反數(shù)的向量.解（1）設(shè)C是由基（）到基（）的過渡矩陣, 由 C即,知基（）到基（）的過渡矩陣為.（2）首先計(jì)算得, 于是 在基 下的坐標(biāo)為.（3） 在基 下的坐標(biāo)為. (4) 設(shè)在基 下的坐標(biāo)為, 據(jù)題意有, 解此方程組可得=. .5已知Px4的兩組基（）：（）：（1） 求由基（）到基（）的過渡矩陣；（2） 求在兩組基下有相同坐標(biāo)的多項(xiàng)式f(x).解 ( 1 ) 設(shè)C是由基（）到基（）的過渡矩陣, 由 C有.（2）設(shè)多項(xiàng)式f(x)在基（）下的坐標(biāo)為. 據(jù)題意有0 （*）因?yàn)樗苑匠?/p>

4、組（*）只有零解，則f(x)在基（）下的坐標(biāo)為 ，所以f(x) = 0 習(xí)題5.3證明線性方程組的解空間與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間同構(gòu).證明 設(shè)線性方程組為AX = 0, 對系數(shù)矩陣施以初等行變換.實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間的維數(shù)也是3, 所以此線性方程組的解空間與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間同構(gòu).習(xí)題5.41 求向量 的長度.解 .2 求向量之間的距離.解 .3求下列向量之間的夾角（1） （2） （3）解（1）.（2）, .（3）, , ,.3 設(shè)為n維歐氏空間中的向量，證明: . 證明 因?yàn)?所以, 從而.習(xí)題5.51 在中，求一個單位向量使它與向量組 正交.解 設(shè)向量, 則有 （*）.齊次線性方程組(*)的一個解為

5、.取.2 將 的一組基化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.解 (1 )正交化, 取 , (2 ) 將單位化則,為R3的一組基標(biāo)準(zhǔn)正交基.3求齊次線性方程組的解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.分析 因齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系就是其解空間的一組基，所以只需求出一個基礎(chǔ)解系再將其標(biāo)準(zhǔn)正交化即可.解 對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行最簡階梯形矩陣可得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.由施密特正交化方法, 取,將單位化得單位正交向量組 因?yàn)辇R次線性方程組的解向量的線性組合仍然是齊次線性方程組的解，所以,是解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.3 設(shè), , , 是n維實(shí)列向量空間 中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, A是n階正交矩陣,證明: , ,

6、 , 也是 中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基證明因?yàn)槭莕維實(shí)列向量空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 所以 .又因?yàn)锳是n階正交矩陣, 所以.則 故也是中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.5設(shè)是3維歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 證明也是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.證明 由題知 , 構(gòu)成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.習(xí)題五(A)一、填空題1當(dāng)k滿足 時(shí)，.解 三個三維向量為的一組基的充要條件是, 即.2由向量所生成的子空間的維數(shù)為 .解 向量所生成的子空間的維數(shù)為向量組的秩, 故答案為1.3 .解 根據(jù)定義, 求解方程組就可得答案. 設(shè)所求坐標(biāo)為, 據(jù)題意有.為了便于計(jì)算, 取下列增廣矩陣進(jìn)行運(yùn)算，所以= (33,-82,154).4. .解 因?yàn)?

7、所以過渡矩陣為.5. 正交矩陣A的行列式為 .解 .6已知5元線性方程組AX = 0的系數(shù)矩陣的秩為3, 則該方程組的解空間的維數(shù)為 .解 5元線性方程組AX = 0的解集合的極大無關(guān)組（基礎(chǔ)解系）含5 3 =2 個向量, 故解空間的維數(shù)為2.滿足 .解 四個四維向量不是的一組基的充要條件是, 則或1. 故答案為.二、單項(xiàng)選擇題1下列向量集合按向量的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間的是( ).（A） （B） （C） (D) 解 (C ) 選項(xiàng)的集合對向量的加法不封閉, 故選（C）.2.生成的子空間的維數(shù)為（ ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 向量組A=生成的子空間的維數(shù)是

8、向量組A的秩, 故選（A）.解 因 ( B )選項(xiàng), 又因 所以線性無關(guān).故選（B）.解 因, 所以( C )選項(xiàng)中向量組線性相關(guān), 故選（C）.5n元齊次線性方程組AX = 0的系數(shù)矩陣的秩為r, 該方程組的解空間的維數(shù)為s, 則( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r選（B）6. 已知A, B為同階正交矩陣, 則下列( )是正交矩陣.(A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k為數(shù)）解 A, B為同階正交矩陣 故選（C）.7. 線性空間中，兩組基之間的過渡矩陣（ ）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆

9、(D) 是正交矩陣選（B） (B)1已知的兩組基（）： （）：( 1 )求由基（）到（）的過渡矩陣；( 2 )求在兩組基下有相同坐標(biāo)的向量.解 （）設(shè)C是由基（）到基（）的過渡矩陣, 已知, 所以由基（）到基（）的過渡矩陣為.（2）設(shè)在兩組基下有相同坐標(biāo)的向量為, 又設(shè)在基（）和基（）下的坐標(biāo)均為, 由坐標(biāo)變換公式可得 , 即 0 （*）齊次線性方程（*）的一個基礎(chǔ)解系為, 通解為故在基（）和基（）下有相同坐標(biāo)的全體向量為.解 ( 1 ) 由題有 因 ，所以.故是3個線性無關(guān)向量，構(gòu)成.(2 ) 因?yàn)樗詮臑?3) 所以解 (1) 因?yàn)镃 = , 所以 所以 . (2 ) , .證明 設(shè),則有 即所以方程組（*）只有零解. 故線性無關(guān), 構(gòu)成.設(shè) 則有所以為（1, 2, 3）.5當(dāng)a 、b 、c 為何值時(shí)，矩陣A = 是正交陣.解要使