高等數(shù)學(xué)函數(shù)與極限試題

1、高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題一. 選擇題1.設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有（A） F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).（C） F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). （D） F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù) 2設(shè)函數(shù)則（A） x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點.（B） x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點（C） x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點.（D） x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點.3設(shè)(x)=，x0,1,則= ( )A） 1x

2、 B） C） D） x4下列各式正確的是 ( )A） =1 B） =e C） =-e D） =e5已知，則( )。A.1； B.； C.； D.。6極限：( )A.1； B.； C.； D.7極限：=（ ） A.1； B.； C.0； D.28極限：=（ ）A.0； B.； C ； D.29.極限：=（ ）A.0； B.； C.2； D. 10極限: =（ ）A.0； B.； C. ； D.16二. 填空題11極限= .12. =_.13. 若在點連續(xù)，則=_；14. _； 15. _；16. 若函數(shù)，則它的間斷點是_17. 絕對值函數(shù) 其定義域是 ,值域是 18. 符號函數(shù) 其定義域是 ，值

3、域是三個點的集合 19. 無窮小量是 20. 函數(shù)在點x0 連續(xù)，要求函數(shù)y = f (x) 滿足的三個條件是 三. 計算題21.求22.設(shè)f(e)=3x-2,求f(x)(其中x0);23.求(3x);24.求();25.求26. 已知，求的值；27. 計算極限28.求它的定義域。29. 判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：f(x)sin2xcos2x g(x)1 yax2 sat230. 已知函數(shù) f(x)x2-1， 求f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)31. 求 32. 求 33. 求 34. 求 35. 判斷下列函數(shù)在指定點的是否存在極限 36. 37. 38. 39. 求當(dāng)x時，下

4、列函數(shù)的極限40. 求當(dāng)x時，下列函數(shù)的極限41.41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 研究函數(shù)在指定點的連續(xù)性 x0049. 指出下列函數(shù)在指定點是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點。 ,x150. 指出下列函數(shù)在指定點是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點。 ，x51. 指出下列函數(shù)在指定點是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點。 ，x52. 證明f(x)x2是連續(xù)函數(shù)53. 54. 55. 試證方程2x33x22x30在區(qū)間1,2至少有一根56. 57. 試證正弦函數(shù) y = sin x 在 (-, +) 內(nèi)連續(xù)。58. 函數(shù)f (x) = x = 在點x = 0處

5、是否連續(xù)？59. 函數(shù)= 是否在點連續(xù)？60. 求極限 .答案：一.選擇題1.A 【分析】 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時，有，于是，即 ，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項. 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 則取F(x)=, 排除(D); 故應(yīng)選(A).【評注】 函數(shù)f(x)與其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已多次考查過. 請讀者思考f(x)與其原函數(shù)F(x)的有界性之間

6、有何關(guān)系? 2. D【分析】 顯然x=0,x=1為間斷點，其分類主要考慮左右極限.【詳解】 由于函數(shù)f(x)在x=0,x=1點處無定義，因此是間斷點.且 ，所以x=0為第二類間斷點； ，所以x=1為第一類間斷點，故應(yīng)選(D).【評注】 應(yīng)特別注意：， 從而，3 C4 A5 C6 7 A8 x時，分母極限為令，不能直接用商的極限法則。先恒等變形，將函數(shù)“有理化”：原式 = . （有理化法） 9 D10 解 原式. 錯誤！注 等價無窮小替換僅適用于求乘積或商的極限，不能在代數(shù)和的情形中使用。如上例中若對分子的每項作等價替換，則原式.二.填空題11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 15

7、. 16. 17 . 18. 19 . 在某一極限過程中，以0為極限的變量，稱為該極限過程中的無窮小量 20 . 函數(shù)y = f (x) 在點x0有定義； xx0 時極限存在； 極限值與函數(shù)值相等，即 三. 計算題21 . 【分析】 型未定式，一般先通分，再用羅必塔法則.【詳解】 = =22. (x)=3lnx+1 x023.24.25.26. ;27. 328. 解：由x2解得x-2由x解得x由5x解得x2.5函數(shù)的定義域為x2.5x-2且x1或表示為（2.5,1）（1,-2）29. 、是同一函數(shù)，因為定義域和對應(yīng)法則都相同，表示變量的字母可以不同。不是同一函數(shù)，因為它們的定義域不相同。不是

8、同一函數(shù)，因為它們對應(yīng)的函數(shù)值不相同，即對應(yīng)法則不同。 30. 解：f(x+1)(x+1)2-1x2+2x，f(f(x)f(x2-1)(x2-1)2-1x4-2x2f(f(3)+2)f(32-1+2)f(10)9931 . 解：32. 解：33 . 解： 34 . 解：35 . 解： 因為 ， 所以 函數(shù)在指定點的極限不存在。 因為， 所以 函數(shù)在指定點的極限36 . 37 . 38 . 39 . 40. 41. 42. 43. =44. 45. 46. 47. 49. 間斷，函數(shù)在x1處無定義且左右極限不存在，第二類間斷點50. 間斷，函數(shù)在x0處左右極限不存在，第二類間斷點51. 間斷，但

9、f(0)1，兩者不相等，第一類間斷點52. 證明：x0(,)因為 ，f(x0)=x02所以 因此，函數(shù)f(x)x2是連續(xù)函數(shù)。53. 54. 55 . 證明：設(shè)f(x)2x33x22x3，則f(x)在1,2上連續(xù)，f(1)20根據(jù)零點定理，必存在一點(1,2)使f()0，則x就是方程的根。56. 原式57. 證 x (-, +)，任給x一個增量x，對應(yīng)的有函數(shù)y的增量y = sin(+x)-sin x = . ，由夾逼準(zhǔn)則知，y 0（x0），再由x的任意性知正弦函數(shù)y = sin x 在其定義域 (-, +)上處處連續(xù)，即它是連續(xù)函數(shù)。 58. 解 注意f (x)是分段函數(shù)，且點兩側(cè)f表達(dá)式不一致。解法1 f (0 - 0) =， f (0 + 0) =， . 又f (0 ) = 0， 函數(shù)f (x) = x在點x = 0處連續(xù)（圖119）。 解法2