空間幾何體表面積與體積公式大全

1、空間幾何體的表面積與體積公式大全一、 全（表）面積（含側面積）1、 柱體 棱柱 圓柱2、 錐體 棱錐： 圓錐：3、 臺體 棱臺： 圓臺：4、 球體 球： 球冠：略 球缺：略二、 體積1、 柱體 棱柱 圓柱2、 錐體 棱錐 圓錐3、 臺體 棱臺 圓臺4、 球體 球： 球冠：略 球缺：略說明：棱錐、棱臺計算側面積時使用側面的斜高計算；而圓錐、圓臺的側面積計算時使用母線計算。三、 拓展提高1、 祖暅原理：（祖暅：祖沖之的兒子） 夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果它們在任意高度上的平行截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。 最早推導出球體體積的祖沖之父子便是運用這個原理實現(xiàn)的。2、 阿基米德原

2、理：（圓柱容球）圓柱容球原理：在一個高和底面直徑都是的圓柱形容器內裝一個最大的球體，則該球體的全面積等于圓柱的側面積，體積等于圓柱體積的。分析：圓柱體積： 圓柱側面積：因此：球體體積： 球體表面積：通過上述分析，我們可以得到一個很重要的關系（如圖） + =即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和3、 臺體體積公式公式： 證明：如圖過臺體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形。延長兩側棱相交于一點。設臺體上底面積為，下底面積為高為。易知：，設，則由相似三角形的性質得：即：(相似比等于面積比的算術平方根) 整理得：又因為臺體的體積=大錐體體積小錐體體積代入：得：即：4、

3、球體體積公式推導分析：將半球平行分成相同高度的若干層（），越大，每一層越近似于圓柱，時，每一層都可以看作是一個圓柱。這些圓柱的高為，則：每個圓柱的體積=半球的體積等于這些圓柱的體積之和。半球體積為：=當時，球體積為：5、 球體表面積公式推導分析：球體可以切割成若干（）近似棱錐，當時，這些棱錐的高為球體半徑，底面積為球面面積的，則每一個棱錐的體積，則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有：6、 正六面體（正方體）與正四面體（1） 體積關系如圖：正方體切下四個三棱錐后，剩下的部分為正四面體設正方體棱長為，則其體積為：四個角上切下的每一個三棱錐體積為：中間剩下的正四面體的體積為：這樣一個正方體可以分成

4、四個三棱錐與中間一個正四面體即：（2） 外接球正方體與其體內最大的正四面體有相同的外接球。（理由：過不共面的四點確定一個球。）正方體與其體內最大的正面體有四個公共頂點。所以它們共球?；仡櫍?兩點定線 三點定面 三點定圓 四點定球如圖： (a)正方體的體對角線=球直徑(b)正四面體的外接球半徑=高(c)正四面體的棱長=正方體棱長(d)正方體體積：正四面體體積=3：1(e)正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等（3） 正方體的內切球與正四面體的關系 （a） 正方體內切球直徑=正方體棱長（b） 正方體內切球與正四面體的四條棱相切。（c） 與正四面體四條棱相切的球半徑=正方體棱長的一半（d） 設正四

5、面體棱長為，則與其棱都相切的球半徑為有：7、 利用祖暅原理推導球體體積。構造一個幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據(jù)祖暅原理可得兩物體體積相等。證明：作如下構造：在底面半徑和高都是的圓柱內挖去一個與圓柱等底等高的圓錐。如圖：在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設圓柱和半球底面半徑均為，截面高度均為，倒圓錐的截面半徑為，半球截面半徑為，則：挖去圓錐后的組合體的截面為：半球截面面積為：倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得：在半球內，由勾股定理易得： 即：，也就是說：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：所以半球體積：即，球體體積：8、 正方體與球（

6、1） 正方體的內切球 正方體的棱長球體的直徑 （2） 正方體的外接球 正方體的體對角線球體的直徑 （3） 規(guī)律：正方體的內切球與外接球的球心為同一點；正方體的內切球與外接球的球心在體對角線上；正四面體的內切球與外接球的的半徑之比為：正四面體內切球與外接球體積之比為：1：3正四面體內切球與外接球表面積之比為：1：3正方體外接球半徑、正方體棱長、內切球半徑比為：:2：正四面體外接球、正四面體、內切球體積比為：正四面體外接球、正四面體、內切球表面積比為：9、 正四面體與球（1）正四面體的內切球 解題關鍵：利用體積關系思考 內切球的球心到各個面的距離相等，球心與各頂點的連線恰好把一個正四面體分成四個三

7、棱錐，每個三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內切球的半徑。利用體積關系得：所以：，其中為正四面體的高。由相關計算得：即：（2）正四面體的外接球 外接球的半徑= （3）規(guī)律：正四面體的內切球與外接球的球心為同一點；正四面體的內切球與外接球的球心在高線上；正四面體的內切球與外接球的的半徑之和等于高；正四面體的內切球與外接球的半徑之比等于1：3正四面體內切球與外接球體積之比為：1：27正四面體內切球與外接球表面積之比為：1：9正四面體外接球半徑、正四面體棱長、內切球半徑比為：:12：正四面體外接球、正四面體、內切球體積比為：正四面體外接球、正四面體、內切球表面積比為：10、 圓柱與球（1）圓柱容球

8、（阿基米德圓柱容球模型） 圓柱高=底面直徑=球的直徑 球體體積=圓柱體積 球面面積=圓柱側面積（2）球容圓柱 球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構成直角三角形。 設球體半徑為，圓柱高為，底面半徑為則有： 即：四、 方法總結下面舉例說明立體幾何的學習方法例：已知正四面體的棱長為，求它的內切球和外接球的半徑 EFOCDBA思路：先分析球心的位置。因為正四面體是特殊的四面體，顯然內切球與外接球的球心是重合的。且是正四面體的高線交點。再分析球心與一些特殊的點、線、面的位置、數(shù)量關系。在內切球這種情況下，球心垂直于每一個面，且到每一個面的距離相等；在外接球這種情況下，球心到每個頂點的距離相等。方法1：展平

9、分析：（最重要的方法）如圖：取立體圖形中的關鍵平面圖形進行分析！連接DO并延長交平面ABC于點G，連接GBACDEGO連接D并延長交BC于點E，則A、G、E 三點共線。在平面AED中，由相似知識可得： 且 GODOA 即： 方法2：體積分析：（最靈活的方法）如圖：設正四面體ABCD的內切球球心為，連接AO、BO、CO、DO，則正四面體被分成四個完全一樣的三棱錐。設內切球半徑為，正四面體的棱長為則正面四體的高為：ABBOODC則：4個完全一樣的三棱錐體積=正四面體體積有： 方法3：方程分析：（最常見的做法）如圖：BACDO顯然AO、DO是外接球半徑，O是內切球半徑。在RtDO中，由勾股寫得可得以

10、下方程：其中：代入方程解得：、方法4：補形分析（最巧妙的思考）把正四面體補成正方體進行分析。如圖：此時，正四面體與正方體有共同的外接球。正四面體的棱長為，則正方體棱長為：正方體的外接球直徑為其體對角線 正四面體的外接球半徑為：內切球半徑為：方法5：坐標分析（最意外的解法）建立如圖所示的空間直角坐標系：則A（0，0，），B（0， ，0），C（，0），D（，0），設球心位置為O（，）由得：即：=解得：， ，即：，主要方法：一、 統(tǒng)一思想1、 公式的統(tǒng)一對于每個幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個萬能公式全部適用于所有形體，但是這只是一個理想狀況，實際上不可能，最多只可能適用于一部分而已。即使

11、是這樣，也只減小我們對公式的記憶難度，增強學習的靈活性。（1） 梯形的面積公式：，同樣適用于三角形、平行四邊形、長方形、正方形、扇形的面積計算。只是在使用時作微調而已。在分析三角形時，上底變?yōu)?；分析長方形、正方形、平行四邊形時，上下底變成一樣；在分析扇形時，上底變?yōu)?，下底變成弧長，高為半徑。（2） 臺體的側面積公式：，同樣適用于圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、球的側面積計算。只是在使用時作微調而已。在分析圓柱、棱柱時，上下底周長變成一樣；在分析棱錐時，上底周長變?yōu)?；在分析圓錐時，上底周長變?yōu)?，斜高變成母線；在分析球體的面積時，上下底都取最大圓的周長，高取直徑，即：（3） 臺體的體積公式：，同樣

12、適用于圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、球的體積計算。只是在使用時作微調而已。在分析圓柱、棱柱時，上下底面積變成一樣；在分析棱錐時，上底面積變?yōu)?；在分析圓錐時，上底面積變?yōu)?；在分析球體的體積時，上底面積取0，下底取最大圓面積的2倍，高取直徑，即：2、 字母的統(tǒng)一在進行分析時，一般要把字母統(tǒng)一，這樣便于進行比較！3、 關系的統(tǒng)一注意相似的關系：面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。球體、正方體、正多面體相似！二、 轉換思想1、 平面與立體的轉換這是立體幾何的一種重要思想，即把立體的問題交給平面來解決。但是要在特殊的面中進行，有時還要把面與面的關系交給線與線來分析。如二面角的大小研究，通常會作垂直于兩面的交線的直線來分析。異面直線的有關系也要平移到同一面中研究。在立體與平面的轉換中平移是一種很實用的手段。通過平移不在同一平面內的可轉換為同一平面內，不垂直的可轉換為垂直來分析！2、 位置的轉換3、 形體的轉換三、 特殊思想1、 特殊點（1） 中點：特殊的線的