互感和理想變壓器

1、第八章含耦合電感和理想變壓器的電路分析本章學(xué)習(xí)耦合電感元件和理想變壓器元件，它們屬于多端元件。實(shí)際電路中，如收音機(jī)、電視機(jī)中使用的中周、振蕩線圈，整流電路中使用的變壓器等都是耦合電感元件與變壓器元件。§8 1 耦合電感的伏安關(guān)系一、磁鏈和電感量當(dāng) L 通過(guò) i產(chǎn)生磁通，對(duì) N 匝線圈產(chǎn)生的磁鏈為：N，定義自電感：LN。ii關(guān)聯(lián)條件下，電感兩端的電壓：二、互感 ：見(jiàn) P.195 圖 81u N ddL didtdtdt1若線圈 1 中通以變化電流 i1 ：11 ：自感磁通；21 ：互感磁通 (耦合磁通 )一般地，1121 。當(dāng)1121 ，全耦合。自感磁鏈：互感磁鏈：11N1 11L11

2、1 自感量i121N2 21M 2121互感量i12若圈 2 中通以變化的電流 i2 ：22 ：自感磁通；12 ：互感磁通 (耦合磁通 )一般地，2212 。當(dāng)2212 ，全耦合。自感磁鏈：互感磁鏈：22N 222L222 自感量i 212N112M 1212 互感量i2通過(guò)電磁場(chǎng)理論可以證明：M 12M21M03互感電壓的產(chǎn)生當(dāng)線圈 1 通變化的電流 i1 ，在線圈 2 產(chǎn)生互感磁鏈21 ，從而產(chǎn)生感應(yīng)電壓，稱為互感電壓，記作：u21 。u21d 21Mdi1dt21 dtu21 與 21 之間符合右手螺旋法則。同理，當(dāng)線圈 2 通電流，在線圈1 產(chǎn)生互感磁鏈12 ，從而產(chǎn)生感1應(yīng)電壓，稱為

3、互感電壓，記作：u12 。d12di 2u12dtM 12 dtu12 與12 之間符合右手螺旋法則。注意： 1) u12 、u21 的實(shí)際方向與兩線圈的繞向有關(guān)；2) 若感應(yīng)線圈兩端接上負(fù)載，將有電流流過(guò)。三、耦合系數(shù)由于互感磁通只是總磁通的一部分，互感磁通與自感磁通的比值<1。兩線圈靠得越近， k 就越接近于 1。一般用21 和12的幾何平均1122值表征這一耦合程度，稱為耦合系數(shù)k。k2112M1122L1L2(推導(dǎo)見(jiàn) P.196)11L1i1 ， 21Mi1 ； 22L2i2 ， 12 Mi 2kM1L1L2當(dāng) k1 時(shí)，稱為全耦合；當(dāng) k 0時(shí)，稱為無(wú)耦合。一般地：傳輸功率或信

4、號(hào) (或變壓器 )，K 值越大越好； 儀表間的磁場(chǎng)干擾， K 值越小越好，必要時(shí)要加以屏蔽。四、互感電壓對(duì)于兩個(gè)相耦合的線圈，一個(gè)線圈的電流發(fā)生變化，將在另一線圈上產(chǎn)生感應(yīng)電壓，互感電壓的大小為：21di1，u12di 2uMMdtdt由于互感磁通與自感磁通有彼此加強(qiáng)或削弱兩種情況， 因此在同一線圈上的互感電壓與自感電壓可能彼此相加， 也可能彼此相減。 這與兩個(gè)線圈的相對(duì)繞向、位置和電流參考方向有關(guān)。當(dāng)兩個(gè)施感電流同時(shí)作用：u1u11u12u2u22 u211 u21與21“關(guān)聯(lián)方向”時(shí)： P.196 圖 82A有：u1 L1di1M di2dtdtu2L2di 2di1dtMdt22 u12

5、與 12 “非關(guān)聯(lián)方向”時(shí)：有：上式為u21M di1dtu12M di 2dtdi 1di 2u1L1 dtMdtdi 1di 2u2MdtL2 dt可見(jiàn)，列寫 VAR 時(shí)，需要考慮 M 前的正負(fù)號(hào)。為簡(jiǎn)化分析 (用原模型分析不方便，往往不知道線圈的繞向 )，需要引入“同名端”的概念。五、互感線圈的同名端若兩線圈分別加上變化的電流i 1 及i 2 ：P. 197 圖 82B1) 當(dāng)電流 i 1 和i2 分別從 1、2 端流入：圖 (a)線圈 1 的磁通11112線圈 2 的磁通221222) 當(dāng)電流 i 1 和i2 分別從 1、 2 端流入：圖 (c)線圈 1 的磁通11112線圈 2 的磁

6、通22221顯然：當(dāng)電流從 1與 2 端(或1 與 2 )流入時(shí)，產(chǎn)生的磁通相互增強(qiáng)；而當(dāng)電流從 1 與 2端(或 1 與 2)同時(shí)流入，產(chǎn)生的磁通相互削弱。為此，我們將 1與 2或1 與2稱為同名端，用 “”、“·”、“”或“”表示，而將 1 與 2、 1 與 2 稱為異名端。同名端的判定：方法一：“直流法”。當(dāng) S 合上瞬間，電壓表V1) 上正下負(fù) (正偏轉(zhuǎn) )1 與 2 為同名端2) 上負(fù)下正 (反偏轉(zhuǎn) )1 與 2 為同名端3方法二：“交流法”。當(dāng)有效值當(dāng)有效值U 3U 1U 2U 3U 1U 2U 3U 1U 21與2為同名端1與2 為同名端 耦合電感 (互感 )的電路符號(hào)

7、 互感電壓前的“”、“”號(hào)的問(wèn)題當(dāng)u1與 i1 ，u2 與i 2 取關(guān)聯(lián)方向，且兩施感電流對(duì)同名端方向一致時(shí)， M 前取“”號(hào)，反之取“”號(hào)。如：u1L1di 1Mdi 2dtdtu2L2di 2Mdi 1dtdt又如：4u1L1di 1Mdi 2dtdtu2L2di 2Mdi1dtdt若i 1 ， i2 均為正弦量， i1I 1 ， i 2I 2則u1U 1j L1 I 1j M I 2u2U 2j L2 I 2j M I 1這里在 U 和 I 參考方向關(guān)聯(lián)下，“”，反之取“”。( M六、互感線圈的串并聯(lián)1串聯(lián)1) 順接I 1 ， I 2 同流入 (出)同名端時(shí)， M 前取 X M ，稱為互

8、感抗 )u1L1di 1Mdi 2dtdtu2L2di 2Mdi 1dtdtu u1u2( L1L2 2M ) diL順 didtdt等效電感 L順L1L22M在正弦電路中U 1j ( XU 2j ( XL1XM)Ij ( L1M ) IL 2XM )Ij ( L2M ) I5UU 1U 2j( L1L22M ) Ij ( X L1X L 22 X M ) I2) 反接u1L1di 1Mdi 2dtdtu2L2di 2Mdi1dtdtu u1 u2( L1L22M ) diL反 didtdt等效電感 L反L1L22M2并聯(lián)1) 同側(cè) (同名端相聯(lián) )UjL1 I1jM I 2UjL2I 2jM

9、 I 1II 1I 2UL1 L2M 2ZjL1L22MIL1 L2M 2等效電感LL1L22M2) 異側(cè) (異名端相聯(lián) )6UjL1 I1j M I 2UjL2 I2jM I 1II 1I 2ZUL1L2M 2jL22MIL1M 2 等效電感L1L2LL2 2ML1L1 L2M2總之，當(dāng)兩互感線圈并聯(lián)時(shí)， 等效電感： L(同側(cè)取“”，L1 L22M異側(cè)取“” )。作業(yè)： P. 217817§ 82含耦合電感元件電路的計(jì)算方法對(duì)于耦合電感上的電壓計(jì)算，不但要考慮自感電壓，還應(yīng)考慮互感電壓，所以含耦合電感電路的分析有它一定的特殊性。一、含耦合電感電路的基本計(jì)算方法圖示電路中， L1與

10、L2 間有互感 M ，求： I1 、 I 2 。MjL1j L 2I 1I 2I 2R2R3U sI 1I 2I 2UI 1L1 上的互感電壓大小為： U M 1j M I 2同理U M 2 j M I 1對(duì)回路 1和 2列 KVL 方程：R1 I1j L1 I 1 j M I 2 R2 ( I 1I 2 ) U sR2(I2I 1 )j L2 I 2j M I 1R3 I20整理得：( R1R2j L1 ) I 1( R2j M ) I 2U s( R2j M ) I 1 ( R2 R3j L2 ) I 20可以解出I1和 I 2。缺點(diǎn)：按上法容易漏jM 一項(xiàng)，或搞錯(cuò)前面的“”、“”號(hào)。二、

11、把互感電壓作為受控源的計(jì)算方法在正弦穩(wěn)態(tài)分析時(shí)，可以把各互感電壓作為受控源看待， 并在正確標(biāo)定其極性后 ，用正弦穩(wěn)態(tài)分析方法進(jìn)行分析?？偨Y(jié)： P.201 中的劃線。8+ j M I 2 -+ j M I1 -I 1j L1j L 2I 2R 1R 2R3U sI 2I 1I1 I2(R1 R2j L1 ) I 1R2 I2U s j M I 2R1 I1(R2 R3j L2 ) I 2j M I 1即：(R1 R2j L1 ) I 1 (R2j M ) I 2U s(R2j M ) I 1 ( R2 R3j L2 ) I 20這與前面方法的結(jié)果完全一樣。三、耦合電感的去耦等效電路(互感消去法

12、)M+LaLc+i1i 2+ i 1i 2+u1L1L2u2i1 i2u1Lbu2-(A)(B)當(dāng)兩耦合電感有一對(duì)公共端時(shí) (圖 A)，可以用三個(gè)無(wú)耦合的電感組成的 T 形網(wǎng)絡(luò)來(lái)做等效替換，如圖 B。對(duì) A圖：u1L1di1Mdi 2dtdt(1)di1di 2u2ML2dtdt而在圖 B 中：di 1di 2di 1di 2u1La dtLb dt( LaLb ) dtLb dt(2)di 1di 2u2Lb dt( LbLc )dt根據(jù)等效電路的概念可知 ,應(yīng)使 (1)式與 (2)式兩式前面的系數(shù)分別相等，即：9L1LaLbLaL1MMLbLbML2LbLcLcL2M上圖 A 為公共點(diǎn)為同

13、名端的耦合電感。如果公共端為異名端，如下圖 C 所示，其去耦等效電路如圖 D。M+LaLc+i1i 2+ i1i 2+u1L1L2u2i1 i 2u1Lbu2-(C)(D)LaL1MLbMLcL2M舉例：例： u 50002 cos104 tV，求各支路電流。iL120mHiC+R 50uM25mH25mHC 1 F-L2解：去耦等效電路如下圖：j ( L1 M )jMI 1R1I CI 2j( L2M )1Uj CI 1I C10 R1j ( L1 M )j ( L2M ) I 1 j ( L2M ) I cUj ( L2 M ) I 1 j ( L21) I c0M ) j ( MC得：

14、I c0I 111.0483.6 A或用戴維南定理求 (略)。例：求圖 a 電路的輸入阻抗。利用互感消去法，可得圖b 所示去耦等效電路。這樣，可根據(jù)一般混聯(lián)的電路計(jì)算方法求得該電路的輸入阻抗為： R1j ( L1M ) R2j ( L2 M )Zi j MR1 R2j ( L1 L22M )ML1L2L1ML2MR1R2R1R2(a)(b)耦合線圈 (即耦合電感 )一般用 L1、L2 和 M 來(lái)表征。分析含耦合電感元件電路時(shí)， 必須考慮互感電壓， 故使用網(wǎng)孔電流法比較方便。 對(duì)于有公共端鈕的耦合電感常用去耦等效電路， 把一個(gè)有互感的電路轉(zhuǎn)化為一般無(wú)互感的電路來(lái)分析。例：圖示電路， U s1 1

15、20V ， U s210 53.1 V ， R14 ，R25 ，X c3 ， X L1 6， XL26， X M22的電流 I 2。求流經(jīng) RjX L1jX MjX L 2a*c*jX CI 2R1+R2U s1U s2-(a)b11jX L 1jX MjX L 2a*c*R1+jX C+I 1+U s1-U s 2-( b)b解：用戴維南定理，先求a、b 處的開(kāi)路電壓，如圖 b。I 1U s1U s 21201053.1R1jX L1jX c4j 6j312(6j8)290A4j 3j 2U oc jX MI 1jX c I 1Us2j 2290 j 3 2 90 10 53.14j88.9

16、4 63.43V再求 ab 端口的入端阻抗。 如果兩互感線圈無(wú)公共節(jié)點(diǎn)， 則必須用“加電壓求電流” (端口激勵(lì)響應(yīng) )的方法，本例兩互感線圈有公共節(jié)點(diǎn)，采用互感消去法要簡(jiǎn)捷得多，去耦電路如下：j ( X L1X M )j ( X L 2 X M )ajX MR1ZijX Cba(c)Zi j ( X L2X M ) R1j (X L1X M )( jX MjX c )Z iI 2R1j ( X L 1X M ) jX MjX c+(4j 4)(j )R2j 4j 2.88Uoc4 j30.16-戴維南等效電路如圖 d( d)bU oc8.94 64.431.51 34.25AI 2R20.16

17、j 2.885Zi應(yīng)當(dāng)指出，在應(yīng)用戴維南定理求解含互感的電路時(shí)， 不可將有互感的兩線圈分開(kāi)，如本例中不能將 (a)圖中的 cb 處將網(wǎng)絡(luò)分割開(kāi)來(lái)。12例： P. 21886例：已知：R13，R25，L17.5，L212.5，M6，U 50 0 V 。求 K 打開(kāi)和閉合時(shí)的 I 。+I+jL1 U1j MR1-U+I1I 2jL2U 1KR2-解： 1)K 打開(kāi)時(shí)，兩個(gè)線圈順接，故有：IU5001.5275.96 AR2j(L1 L22M )35j (7.512.5R16)2)K 閉合時(shí)：U( R1j L1 ) I j M I 1j M I ( R2j L2 ) I 1 0IU7.7951.50

18、A( j M )2(R1j L1 )R2jL2I 13.47150.30A本題也可用互感消去法 (課后練習(xí) )。作業(yè)： P. 21888、思考 89。13§ 83 空芯變壓器電路的分析一、空心變壓器的結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)1. 結(jié)構(gòu)：空心變壓器是由兩個(gè)繞在非鐵磁材料制成的芯子上并具有互感的線圈組成。 它沒(méi)有鐵心變壓器產(chǎn)生的各種損耗， 常用于高頻電路。2. 特點(diǎn)：其耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。二、分析方法1支路法、網(wǎng)孔法。2 當(dāng)兩線圈“完全隔離時(shí)”，可加一根電流為“ 0”的線，再用互感消去法。如 P.208 例 87(2)。3反映阻抗法。三、空心變壓器電路的分析空心變壓器的電路如圖：I1I 2I 2

19、I 2I 2I 2+UU2+UI 2jX L 中的下標(biāo)-這里： Z L URL1L 表示負(fù)載阻抗， 并不表示副線圈的UI 2I 2U感抗。初級(jí)接電源，稱為原線圈（原邊）；次級(jí)接負(fù)載，稱為副線圈（副邊）。UUU工作原理：經(jīng)初、次級(jí)線圈間的耦合，能量由電源傳遞給負(fù)載，負(fù)載不直接與電源相連。原邊回路阻抗： Z11R1jL1副邊回路阻抗： Z22R22jX 22R2j L2 Z L (R2RL )j( L2X L )互感阻抗： ZM jMjX M列回路方程：Z11 I1Z MI 2U1Z MI 1Z22 I20聯(lián)立求解得：jMI 1Z22U1U 1I 1jL 2I 2Z11Z22 ( M ) 2Z11

20、( M)2+j L 1+Z22U1U 2Z L = RL +j X L-R1R2-Z MU 1ZM U1I 2Z11Z11Z22 ( M )2( M)2Z22Z1114于是有等效電路：I1Z11Z22I 2+Z 22'Z11+U 1U sZ 2 2-其中： Z11( M)2， Z22(M ) 2，U sZM U1Z22Z11Z11副邊原邊結(jié)論：1次級(jí)回路接負(fù)載后對(duì)初級(jí)回路的影響相當(dāng)于在初級(jí)回路中串聯(lián)阻抗2 M 2。令Z11( M)2，稱為次級(jí)回路阻抗在初級(jí)回路中的Z 22Z22反映阻抗。2222222Z11( M )M2 (R22jX 22 )M2 R22jM2 X 22R11 j X

21、11R22jX 22Z22Z 22Z22其中： R112 M 2R22 ，X 112 M 2X 22 分別為次級(jí)回路阻抗在初級(jí)22Z22Z22回路中的反映電阻和反映電抗。 次級(jí)回路的電阻反映到初級(jí)回路仍為電阻， R11 必為正；次級(jí)回路的電抗反映到初級(jí)回路仍為電抗，但符號(hào)相反，即：如果次級(jí)回路為感抗，反映到初級(jí)回路為容抗；如果次級(jí)回路為容抗，反映到初級(jí)回路為感抗 (容感互變 )。P. 206ZMU12 在圖示參考方向下，由于次級(jí)回路為Z11，所I 22( M )Z22Z11以在計(jì)算次級(jí)電流 I 2 時(shí)，初級(jí)電流產(chǎn)生的互感電壓可以用一個(gè)等效電壓源來(lái)替代。如圖 817(c)，其等效電源電壓為：U

22、sZM U1j M U 1Z11Z112在次級(jí)回路增加了一個(gè)阻抗Z 22( M )，稱為初級(jí)回路阻抗在次Z11級(jí)回路內(nèi)的反映阻抗，它相當(dāng)于等效電源內(nèi)阻抗。 建立了反映阻抗的概念， 空心變壓器的計(jì)算可對(duì)初級(jí)、 次級(jí)回路分別計(jì)算，而不必建立方程聯(lián)立求解。例：R1j MR2I1I 2+jX 1jX 2U 11副邊開(kāi)路 (即 ZLZ L = RL +j X L-) ； 2副邊短路 ( 即在下列情況下：15Z L0 )；3副邊接電容C。求原邊線圈的輸入阻抗Zi 。解：原、副邊等效電路如下：圖中： Z11Z 22Z111當(dāng) ZLZ iZ11I1Z11Z22I 2+Z11+Z2 2U 1U s-R1jX 1

23、R2jX 2ZL (R1RL) j ( X2X L )2 M 2原邊副邊Z 22，則 Z22。 Z112 M2Z220R1jX 1 ，即副邊開(kāi)路對(duì)原邊阻抗大小無(wú)影響。2當(dāng) ZL0，則 Z22R2jX 2 。Z112 M 22 M 22 R2j2 M 22 X 2Z22R2XR2X Zi Z11Z11 R12M 2R2j X 12M 2X2R2X 2R 2X 23當(dāng) ZLj 1 ， Z22R2jX 2j 1R2j ( X 21 )CCC2M 2R2X 212 M 2Zi R1j X1CR2X 2X 22R1R21CX 1'顯然：R10 。它吸收的功率即副邊吸收的有功功率；X 21異號(hào)，即

24、 X22為感性阻抗時(shí)， X 1為容性阻抗；X 22C性阻抗時(shí)， X 1 為感性阻抗。這里若取C 使 1X2，則 X1C就將副邊的容抗反映到原邊成了感抗。例： P. 206 例 86 (反映阻抗法 )例： P. 208 例 87(互感消去法，劃線 )例： P. 218 習(xí)題 810X 1 與X22 為容0 ，那么作業(yè)： P. 21889，811。16§ 8 4 理想變壓器一、理想變壓器的伏安關(guān)系1電路符號(hào)理想變壓器是一種理想化的互感耦合元件，電路符號(hào)為：i 1i 2+n: 1+u1u2N1唯一的參數(shù)是變比n(常數(shù) ) ，即兩線圈的匝數(shù)比， n，N1 、N2-N2分別為原邊線圈和副邊線圈

25、的匝數(shù)。2理想化條件1) 變壓器本身無(wú)損耗；2) 耦合系數(shù) kM(全耦合 )；1L1 L23) L1 、 L2 、 M 均無(wú)限大，且有3理想變壓器的伏安特性L1 / L2n 2 。在圖示電壓電流參考方向及同名端下，總滿足如下約束關(guān)系：i 1i 2+n ： 1+u1u 2u1nu2或U 1nU 2-i11 i2或I 11 I2nn下面利用理想化條件推導(dǎo)這組約束關(guān)系。由理想化條件(1)可知，原、副邊均無(wú)電阻；由理想化條件 (2)知： 12 22 ， 21 11 ，從而原邊線圈、副邊線圈的中磁通鏈分別為：11112N1 (1112)N1( 1122 )N122221N 2 (2221 )N 2 (2

26、211)N2式中：1122 是線圈的總磁通，也稱為主磁通。u1d 1N 1d ， u2d 2N 2ddtdtdtdtu1N1nu2N 2即：u1nu 2或U 1nU 2由 u1di 1di 2，得：u1di1Mdi 2(* )L1ML1dtL1dtdtdt在全耦合時(shí)，有：17N1 11N12N 221N12 M 21L1i1i1L2N2 22N22N112N22M 12i2i 2M 21M 12L1N12n 2或L1nL2N 22L2全耦合時(shí)， kM1； ML1L21 L1L1L2nM1L1n代入 (* )式，得：u1di11di 2L1dtn dt兩邊積分：1tu1 ()di 1di11i2di2i11 i2L1nn當(dāng) L1時(shí), 有：i11i 20ni11 i 2或I 11 I 2nn4理想變壓器功率平衡方程u1 (t)i1 (t )u2 (t )i 2 (t )0（見(jiàn) P. 210例 89 上面的文字）例： P. 210 例 89二、理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)理想變壓器除了可以用來(lái)變換電壓和電流，還可以用來(lái)變換阻抗。如圖所示，當(dāng)副邊接負(fù)載Z L 時(shí)，從原邊看進(jìn)去的輸入阻抗將是：I 1n： 1I 2