金陵科技學(xué)院微積分B2知識(shí)點(diǎn)

1、微積分B2復(fù)習(xí)要點(diǎn)一 題型 1.填空題( 37=21分)； 2.單項(xiàng)選擇題(36=18分)； 3.計(jì)算題(51分)； 4.解答題(10分)二 知識(shí)點(diǎn)第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何空間曲面的方程(平面、球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面)例 求球心為點(diǎn)，半徑為R的球面方程例 平面直角坐標(biāo)系中 的圖形是 圓 ，空間直角坐標(biāo)系中 的圖形是 圓柱面 。例 XOZ面上繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后的旋轉(zhuǎn)體方程為 。第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 1.二元函數(shù)的定義域；例1 求函數(shù)的定義域. 解 要使有意義, 應(yīng)有, 即.故 例2 求的定義域. 解 要使有意義, 應(yīng)有,故 .例3 求函數(shù)的定義域。解 要使有意義, 應(yīng)有, 即 ,故 2.二元

2、函數(shù)的極限的計(jì)算； 定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱(chēng)當(dāng)趨于時(shí)，函數(shù)以A為極限。記作 或 例 求 解 當(dāng)時(shí)，由于無(wú)窮小量與有界量的乘積仍為無(wú)窮小量，所以3.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算；（1）一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；（2）全微分的計(jì)算；概念：函數(shù)的全微分為例求函數(shù)的全微分解因?yàn)?，所以?）多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；概念：設(shè)，若在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，而在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可微，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且 例已知，求解由鏈?zhǔn)椒▌t有用同樣的方法，可得（4）隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；例：設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，試求（5）抽象函數(shù)求導(dǎo)例 求復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和。解 令，則變?yōu)?，?fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。練習(xí)

3、：設(shè)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求6.可微、偏導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系; 7.多元函數(shù)極值的計(jì)算。概念：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn),有(或),則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)極大值(或極小值).例；求函數(shù)的極值。 解：解，得。 而 對(duì)，知 為極小值點(diǎn)。且極小值為-2。第九章 二重積分 1.二重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo),極坐標(biāo))；例（1），其中由所圍成（2）求是由直線(xiàn)與曲線(xiàn)所圍成（3）計(jì)算，其中由曲線(xiàn)及所圍成解 畫(huà)出積分區(qū)域的圖形 積分區(qū)域的不等式組表示為 ，所以（4）(5) 2. 交換積分次序；例 交換二重積分的積分次序。解：由二次積分的上、下限知積分D的圖形是與在之間的部分，則 若先對(duì)后對(duì)積分，此時(shí)積分

4、區(qū)域可表示為 因此，我們可以交換積分次序= 例（1） (2) +3.二重積分的性質(zhì)與應(yīng)用。例 設(shè)D由所圍成，求平面圖形D的面積。第十章 微分方程與差分方程1.微分方程的相關(guān)概念；2.一階線(xiàn)性微分方程的通解和特解的計(jì)算；方程 (1)稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程(注意其特點(diǎn)為它對(duì)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次方程)當(dāng)時(shí)，方程(1)為齊次的，當(dāng)不恒等于零時(shí)，方程(1)為非齊次的 (2)稱(chēng)為方程(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程，它是可分離變量型 . 例 求方程的通解分析 (常數(shù)變易法)這是的一階非齊次線(xiàn)性方程它有兩種解法：常數(shù)變易法與公式法解法一 (常數(shù)變易法)先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,用常數(shù)變易法，把換成，即令,代入所給非齊次

5、方程，有,于是,解法二 (公式法)直接由給出，其中2.二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的通解和特解的計(jì)算。二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程求通解,特解概念：若 中為常數(shù)，稱(chēng)之為二階常系數(shù)齊次微分方程。解題步驟：（1）寫(xiě)出微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程，并求解出特征根（2）根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情形，按照下列表格寫(xiě)出微分方程的通解：特征方程的兩個(gè)根微分方程的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根（3）將初始條件代入（2）中的通解中求解出通解中的（4）將代入到通解里去，得到題目要求的特解。例題：求微分方程滿(mǎn)足初始條件，的特解。解： 所給微分方程的特征方程為其根是兩個(gè)不相等的實(shí)根，因此所求通解為 （1）從而

6、 （2）將初始條件，代入（1）、（2）得：，從而所以，原微分方程的特解為例題：求方程滿(mǎn)足初始條件：的特解解 對(duì)于求滿(mǎn)足初始條件的特解的這類(lèi)方程，應(yīng)先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程對(duì)應(yīng)的特征方程為：即為重根(1) 再對(duì)(1)的兩邊關(guān)于t求導(dǎo):(2)把代入(1)的把代入(2)得，為所求例題： 求微分方程：通解解 所給方程的特征方程為：為一對(duì)共軛復(fù)根(這里)3. 可降階的二階微分方程的通解與特解的計(jì)算類(lèi)型1：令 則 ，于是可將其化成一階微分方程。特點(diǎn) 含有，不含。例 求微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解。解 所給方程是型的。設(shè)，代入方程并分離變量后，有。兩端積分，得，即 。又由條件，得，于是所求得特解為 。類(lèi)型2：令 則 ，于是可將其化為一階微分方程。特點(diǎn) 不顯含。例 解微分方程滿(mǎn)足初始條件，的特解。解 令，將代入原方程中得 分離變量并積分得 由初始條件，得，所以 則 ，即 分離變量并積分得 再由初始條件，得，所以方程滿(mǎn)足初始條件的特解為 .第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 1. 級(jí)數(shù)的性質(zhì)；2. 會(huì)判斷級(jí)數(shù)(正項(xiàng)級(jí)數(shù)；交錯(cuò)級(jí)數(shù)；任意項(xiàng)級(jí)數(shù))的斂散性3. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的計(jì)算；4