行列式畢業(yè)論文

1、目 錄中文摘要、關(guān)鍵詞11 緒論22 行列式計算技巧32.1 行列式的定義與性質(zhì)32.1.1 行列式的定義32.1.2 行列式的性質(zhì)32.2 行列式的求解技巧42.2.1 定義法52.2.2 化三角法62.2.3 按行（列）展開72.2.4 遞推法92.2.5 加邊法112.2.6 拆項法132.2.7 數(shù)學(xué)歸納法152.2.8 范德蒙行列式172.2.9 拉普拉斯法183 行列式的簡單應(yīng)用193.1 行列式在線性方程組中的應(yīng)用193.2 行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用223.2.1 用行列式分解因式22結(jié)論22參考文獻(xiàn)23英文摘要、關(guān)鍵詞24行列式的計算技巧摘要：行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的

2、內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，懂得如何計算行列式顯得尤為重要. 為了更快的算出行列式，本文主要針對行列式的特點，應(yīng)用行列式的性質(zhì)，提供了9種計算行列式的常用方法，但這幾種方法之間不是相互獨立，而是相互聯(lián)系的，一個行列式可能有幾種解法，這就要求我們在掌握了行列式的解法之后，靈活運(yùn)用，找到一種最簡便的方法，使復(fù)雜問題簡單化，有時幾種方法結(jié)合著用效果更好. 在介紹了行列式的計算方法與技巧的同時，又介紹了行列式的簡單應(yīng)用. 通過這一系列的方法加上應(yīng)用進(jìn)一步提高我們對行列式的認(rèn)識，對我們以后的學(xué)習(xí)帶來十分有益的幫助. 關(guān)鍵詞：行列式 矩陣 遞推法 加邊法 1 緒 論行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)

3、學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做解伏題之法的著作，標(biāo)題的意思是“解行列式問題的方法”，同時，也提出行列式的概念與算法. 1693年4月，萊布尼茨在寫給洛比達(dá)的一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件. 1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆(G.Cramer，17041752)在其著作線性代數(shù)分析導(dǎo)引中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則. 稍后，數(shù)學(xué)家貝祖(E.Bezout,17301783)將確定行列式每一項符號的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解. 在行列式

4、的發(fā)展史上法國數(shù)學(xué)家范德蒙(A-T.Vandermonde，17351796)他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則. 1772年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法. 繼范德蒙之后，1815年，柯西他第一個把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法，引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語，給出了相似行列式概念，改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明等. 繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國數(shù)學(xué)家雅可比(Jacobi，18041851)，他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)

5、數(shù)公式. 對行列式理論研究始終不渝的作者之一還有詹姆士西爾維斯特(J.Sylvester，18141894). 他改進(jìn)了從一個n次和一個m次的多項式中消去x的方法，他稱之為配析法，并給出形成的行列式為零時這兩個多項式方程有公共根充分必要條件這一結(jié)果，但沒有給出證明. 行列式的世界豐富多彩，各式各樣. 行列式是研究數(shù)學(xué)的重要工具之一，它適于各個領(lǐng)域的使用. 例如：線性方程組、多元一次方程組的解、三維空間中多個平面組或多個點組的相關(guān)位置、初等代數(shù)、解析幾何、n維空間的投影變換、線性微分方程組等, 用行列式來進(jìn)行計算都是很便利的. 2 行列式的計算技巧行列式在高等代數(shù)課程中的重要性以及在考研中的重要

6、地位使我們有必要對行列式進(jìn)行較深入的認(rèn)識，本文對行列式的解題技巧進(jìn)行總結(jié)歸納. 作為行列式本身而言，我們可以發(fā)現(xiàn)它的兩個基本特征：當(dāng)行列式是一個三角形行列式時，計算將變得十分簡單，于是將一個行列式化為三角形行列式便是行列式計算的一個基本思想；行列式的另一特征便是它的遞歸性，即一個行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，于是對行列式降階從而揭示其內(nèi)部規(guī)律也是我們的一個基本想法，即遞推法. 這兩種方法也經(jīng)常一起使用，而其它方法如：加邊法、降階法、數(shù)學(xué)歸納法、拆項法等可以看成是它們衍生出的具體方法. 2.1 行列式的定義與性質(zhì)2.1.1行列式的定義n階行列式的“排列逆序”定義這里表示對所有n級排列求

7、和，故n級行列式等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和，每一項的符號取決于組成該項的n個元素的列下標(biāo)排列的逆序數(shù)（行下標(biāo)按自然順序排列），即當(dāng)是偶排列時取正號，當(dāng)是奇排列時取負(fù)號. 2.1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換.行列式不變，即=性質(zhì)2 一數(shù)乘行列式的一行（或列）等于用這個數(shù)乘該行列式，即推 論 若行列式中一行（或列）為零，則行列式為零. 性質(zhì)3 如果行列式中某一行（或列）的所有元素均為兩項之和，則該行列式等于兩個行列式的和，這兩個行列式的此行（或列）的元素分別為此行（或列）的兩個加數(shù)之一，其余各行（或列）的元素與原行列式相同. 性質(zhì)4 如果行列式中有兩行（或列）相同，那么行

8、列式為零. 性質(zhì)5 如果行列式中有兩行（或列）成比例，那么行列式為零. 性質(zhì)6 把一行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列），那么行列式不變. 性質(zhì)7 互換行列式中兩行（或列）的位置，行列式反號. 性質(zhì)8 行列式按某一行（或列）展開等于該行（或列）的所有元素分別與它們所對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和. 性質(zhì)9 行列式的任何一行（或列）的元素與另一行（或列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和必為零，即（ij）（kl）的乘積之和，即=2.2 行列式的解題技巧高等代數(shù)是理工科大學(xué)學(xué)生的一門必修基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程. 行列式的計算是高等代數(shù)中的難點、重點，特別是n階行列式的計算，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，普遍存在很多困難，難于掌握

9、. 計算n階行列式的方法很多，但具體到一個題，要針對其特征，選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼? 本章就針對行列式的特點給出多種計算行列式的方法. 2.2.1 定義法用定義計算行列式是最基本的方法. 例1 計算n級行列式 解：按定義，表示行指標(biāo)，表示列指標(biāo)，易見此行列式中零元素較多，元素行指標(biāo)為一個自然排列，列指標(biāo)，也是自然排列，而元素行指標(biāo)，不是自然排列，列指標(biāo)是一個自然排列，所以得. 例2 計算行列式D =解：按定義，表示行指標(biāo)，表示列指標(biāo)，為求D的值，只需求出D中所有非零項. D中第一行的非零元素只有，因而 =2004，同理 =2003， =2002，.， =1， =2005. 于是在可能取的數(shù)據(jù)中，只

10、能組成一個2005個元素的排列：2004， 2003， 2002，3， 2 ，1 ，2005，而此排列的逆序數(shù)為為偶數(shù)，故D=由以上例子可以看出，若計算階數(shù)較低(不超過三階)的行列式及上三角(下三角)行列式運(yùn)用定義法較為簡單，但若是高階非上(下)三角型的行列式按定義法計算比較繁瑣. 因此，我們必須尋求其它的，讓計算變得簡潔的計算方法. 2.2.2 化三角法運(yùn)用行列式的性質(zhì)是計算行列式的一個重要途徑,大多數(shù)行列式的計算都依賴行列式的性質(zhì),將行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根據(jù)行列式的定義來計算行列式，我總結(jié)了以下利用行列式的性質(zhì)計算行列式的步驟. 其計算步驟可歸納如下：(1)看行列式

11、的行和列,如果行和列相等,則均加到某一列(行)直觀上加到第一列(行). (2)有公因子的提出公因子. (3)進(jìn)行初等行變換(列變換)化成上三角(下三角或反三角)的行列式. (4)由行列式的定義進(jìn)行計算. 由以上四步,計算一般行列式都簡潔多了. 例3 計算下列行列式的值 分析：觀察此行列式，主對角線上元素相等，然后其他位置元素也相同，顯然若直接用定義計算很是繁瑣，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)，將其化為三角形. 先把各行都加到第一行上，然后提出公因式，再讓行列式第一行的-a倍加到其他各行，進(jìn)而將其化為三角形陣，計算簡單. 解：法1：各行加到第一行上得：提取公因式得：第一行的-a倍加到其他各行得：

12、法2：化成兩邊加一對角線行列式把第一行的-1倍加到各行得： 再將各列加到一列得：2.2.3 按行（列）展開行（列）展開，亦稱“降階法”，就是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，有的行列式中零元素較多，我們可以按照某一列或某一行展開進(jìn)行計算（如例1）. 而有的行列式比較復(fù)雜，為了使這種運(yùn)算更加簡便，往往可以根據(jù)行列式的特點，先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開（如例2）. 例4 計算行列式 .解： 按第1行展開： . 例5 計算20階行列式分析：這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進(jìn)行次加減法和乘法運(yùn)算

13、，這人根本是無法完成的. 但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果. 注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計算，其中，表示列，表示行. 2.2.4 遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式. 根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法. 例6 計算5階行列式： 解：把2，3，4，5行都加到第一行，得 再按第一行展開，得遞推公式故：注意:用此方法一定要看行列

14、式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法. 例7證明：將Dn按第1列展開得：由此得遞推公式：，利用此遞推公式可得例8 證明如下行列式等式：分析此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式，從行列式的左上方往右下方看，即知與具有相同的結(jié)構(gòu). 因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算. 證明：按第1列展開，再將展開后的第二項中階行列式按第一行展開有：這是由和表示的遞推關(guān)系式. 若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式. 因此，可考慮將其變

15、形為： 或 現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有：因此當(dāng)時,由（1）（2）式可解得：2.2.5 加邊法有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法. 當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算，要根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列. 加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個元素的倍數(shù)的情況. 加邊法的一般做法是：特殊情況取 或當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了. 那么加法在何時才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子. 如下題：例9 計算n 階行列式 解： 在不改變行列式的

16、值的情況下，將行列式加一行和一列. 得： 2.2.6 拆項法由行列式拆項性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法. 若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時較容易求得行列式的值. 例10 計算行列式解：當(dāng)n=2時 當(dāng)n2時根據(jù)行列式的特點可拆成兩個行列式的計算 例11 計算n級行列式解： 將上式第一個行列式的最后一列提取公因子a,第二個行列式按最后一列展開得：將上式右邊第一個行

17、列式從第二行開始每一行的-1倍加到前一行得：將上式又邊第一個行列式按最后一列展開得： （1）同理將第行的元素拆成兩數(shù)和按上述做法又得： （2）當(dāng)時 聯(lián)立（1）（2）得： 當(dāng)a=b時容易算出 .2.2.7 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明（計算）行列式常用方法，首先建立遞推關(guān)系，當(dāng)遞推關(guān)系僅涉及相鄰兩階行列式時采用第一歸納法；當(dāng)遞推關(guān)系涉及相鄰三階行列式時采用第二歸納法. 第一歸納法原理如下：設(shè)由一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，若當(dāng) n=1時，命題成立；當(dāng)nk時成立，證明當(dāng)n=k時，命題是否成立，若成立，那么命題對一切自然數(shù)n都成立. 反之，不成立. 第二歸納法原理如下：設(shè)有一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，若（1

18、）當(dāng)n=1時命題成立；（2）假設(shè)對的一切自然數(shù)都成立，則n=k+1時命題成立；那么命題對一切自然數(shù)n都成立. 例12 證明其中.證明： 用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=1，2時，由于故對n=1，2結(jié)論正確.假設(shè)當(dāng)nk時結(jié)論也正確，則當(dāng)n=k時，把按其第k列展開，有.所以對任意正整數(shù)，有.例13解：用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)n = 2時:.假設(shè)n = k時，有.則當(dāng)n = k+1時，把Dk+1按第一列展開，得由此，對任意的正整數(shù)n，有.2.2.8 范德蒙行列式在行列式的計算中,我們經(jīng)常會碰到這樣一種行列式.像這樣的行列式稱為范德蒙行列式例14解:觀察發(fā)現(xiàn):此行列式類似于范德蒙行列式為了得到一個范德蒙行列式,現(xiàn)添加為

19、的余子式.即的系數(shù)的相反數(shù). 由范德蒙行列式知：所以, 的系數(shù)為:.故原行列式等于.例15 計算行列式 解：把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便德范德蒙行列式.2.2.9 拉普拉斯法在利用行列式的一行(列)展開式時,我們可以發(fā)現(xiàn)計算行列式可以按某一行(列)展開,進(jìn)行計算行列式.試想,我們可以根據(jù)行列式的某一個K級字式展開嗎? 拉普拉斯經(jīng)過對行列式的研究.終于發(fā)現(xiàn)此種方法可行,并給出了嚴(yán)密的證明,為了使行列式的計算更為簡潔,現(xiàn)引入拉普拉斯定理. 拉普拉斯定理:設(shè)在行列式D中任意取定了個行,由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代

20、數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.拉普拉斯定理的四種特殊情形:(1) (2) (3) (4) 例16 計算n階行列式：解：3 行列式的簡單應(yīng)用行列式是研究數(shù)學(xué)的重要工具之一. 例如線性方程組、多元一次方程組的解、三維空間中多個平面組或多個點組的相關(guān)位置、初等代數(shù)、解析幾何、維空間的投影變換、線性微分方程組等，用行列式來進(jìn)行計算是很便利的. 本文進(jìn)一步研究探討了行列式在線性方程組、初等代數(shù)二個方面的應(yīng)用. 3.1 行列式在線性方程組中的應(yīng)用行列式在線性方程中的應(yīng)用用到了一個法則-克萊姆法則，本文介紹了有關(guān)其定理. 我們先介紹有關(guān)n元線性方程組的概念，再看克萊默法則與線性方程的聯(lián)系應(yīng)用. 含有n個未

21、知數(shù)的線性方程組 （1）稱為n元線性方程組，當(dāng)其右端的常數(shù)不全為零時，線性方程組(1)稱為非齊次線性方程組,當(dāng)全為零時，線性方程組(1)稱為齊次線性方程組，即 （2）線性方程組(1)的系數(shù)構(gòu)成的行列式稱為該方程組的系數(shù)行列式D，即 .定理1 (克萊姆法則) 若線性方程組(1)的系數(shù)行列式, 則線性方程組(1)有唯一解,其解為 （3）其中是把中第列元素對應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項，而其余各列保持不變所得到的行列式.定理2 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式,則(1)一定有解,且解是唯一的. 在解題或證明中，常用到定理2的逆否定理:定理 如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解, 則它的系數(shù)行列式必為零. 對齊

22、次線性方程組(2), 易見一定該方程組的解, 稱其為齊次線性方程組(2)的零解. 把定理2應(yīng)用于齊次線性方程組(2)，可得到下列結(jié)論. 定理3 如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式,則齊次線性方程組(2)只有零解. 定理 如果齊次方程組(2)有非零解,則它的系數(shù)行列式D=0.注 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D=0則齊次線性方程組(2)有非零解. 克萊姆法則在一定條件下給出了線性方程組解的存在性、唯一性，與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值. 例17 解線性方程組：解： 因此方程組有唯一的解. 又： ， ， ，因此由克萊姆法則得： .3.2 行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用3.2.

23、1用行列式分解因式利用行列式分解因式的關(guān)鍵， 是把所給的多項式寫成行列式的形式， 并注意行列式的排列規(guī)則. 例18 分解因式: 解： .結(jié) 論計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算行列式的常見的九種方法，計算行列式時，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法. 我認(rèn)為只要理解和掌握以上9種方法，不管哪種行列式計算，都可以迎刃而解. 以上計算行列式的基本方法奠定了高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，同時也為數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的廣泛運(yùn)用提供了理論依據(jù). 學(xué)習(xí)中我們要多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好的掌握行列式的計算. 參考文獻(xiàn)1 張禾瑞，郝炳新高等代數(shù)高等教育出版社，1988.2 王萼芳高等代數(shù)教程清

24、華大學(xué)出版社，1997. 3 姚慕生高等代數(shù)復(fù)旦大學(xué)出版社，2002. 4 戴華矩陣論科學(xué)出版社，2001. 5 王作中行列式的計算方法與技巧J民營科技，2010年08期. 6 韓寶燕行列式的計算方法與應(yīng)用J科技信息，2010年03期. 7 陳會平淺談N階行列式計算方法的研究J黑龍江科技信息，2010年03期. 8 李師正高等代數(shù)復(fù)習(xí)解題方法.The determinantcalculationskillsAbstract：The determinant is one of the basic and important content of higher Algebra course, has a wide range of applications in mathematics, knows how to compute the determinant is particularly important. To f