初中數(shù)學九年級上冊《一元二次方程》熱門應用題

1、一元二次方程的熱門應用題一、面積問題例1張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15米3的無蓋長方體運輸箱，且此長方體運輸箱底面的長比寬多2米現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？解：設這種運輸箱底部寬為x米，則長為（x+2）米依題意，得x（x+2）×1=15化簡，得x2+2x-15=0解之，得x1=3，x2=-5（不合題意，舍去）所以這種運輸箱底部長為5米，寬為3米由長方體展開圖知，購買的矩形鐵皮面積為（5+2）×（3+2）=35（米2）故購回這張矩形鐵皮要

2、花35×20700元錢點評：本題要深刻理解題意中的已知條件，弄清各數(shù)據(jù)的相互關系，布列方程，并正確決定一元二次方程根的取舍問題解決此類問題要善于運用轉(zhuǎn)化的思想方法，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題二、數(shù)字問題兩個數(shù)的和等于6,積等于8,求這兩個數(shù).三、銷售利潤問題例2某種新產(chǎn)品進價是120元，在試銷階段發(fā)現(xiàn)每件售價（元）與產(chǎn)品的日銷量（件）始終存在下表中的數(shù)量關系：（1）請你根據(jù)上表所給數(shù)據(jù)表述出每件售價提高的數(shù)量（元）與日銷量減少的數(shù)量（件）之間的關系（2）在不改變上述關系的情況下，請你幫助商場經(jīng)理策劃每件商品定價為多少元時，每日盈利可達到1 600元？解：（1）由表格中數(shù)量關系可知：該產(chǎn)

3、品每件售價上漲1元，其日銷量就減少1件（2）設每件產(chǎn)品漲價x元，則銷售價為（130+x）元，日銷量為（70-x）件由題意，得（130+x）-120（70-x）=1 600，解得x1=x2=30，130+30=160（元）答：每件商品定價為160元時，每日盈利達到1 600元點評：隨著市場經(jīng)濟的日益繁榮，市場競爭更是激烈因此，“銷售問題”還將是人們關注的焦點，還會被搬上中考試卷這不僅較好地鍛煉了學生分析問題、解決問題的能力，而且讓同學們真正體會到數(shù)學的寶貴價值值得說明的是，第（2）小題還可以用表格中其它兩組數(shù)據(jù)列出方程，結(jié)果相同，同學們不妨試一試四、旅游消費問題例3（南通市）據(jù)2005年5月8日

4、南通日報報道：今年“五一”黃金周期間，我市實現(xiàn)旅游收入再創(chuàng)歷史新高，旅游消費呈現(xiàn)多樣化，各項消費所占比例如下圖所示，其中住宿消費為3 438.24萬元（1）求我市今年“五一”黃金周期間旅游消費共多少億元？旅游消費中各項消費的中位數(shù)是多少萬元？（2）對于“五一”黃金周期間的旅游消費，如果我市2007年要達到3.42億元的目標，那么，2005年到2007年的平均增長率是多少？解：（1）由圖知，住宿消費為3 438.24萬元，占旅游消費的22.62，所以消費共3 438.24÷22.6215 200（萬元）=1.52（億元）所以交通消費為15 200×17.562 669.12（

5、萬元）所以我市今年“五一”黃金周期間旅游消費中各項消費的中位數(shù)是（3 438.242 669.12）÷23 053.68（萬元）（2）設2005年到2007年旅游消費的年均增長率為x，則1.52（1+x）2=3.42得x1=0.5=50，x2=-2.5（舍去）所以2005年到2007年旅游消費的平均增長率為50點評：本題考查通過統(tǒng)計圖獲取信息的能力及用方程的思想解決實際問題的能力第（2）小題求年平均增長率，因此屬增長率問題在解答這類題時應該掌握其基本關系式：結(jié)果量（增長率）n×基礎量；結(jié)果量（1-降低率）n×基礎量（其中n為增長或降低次數(shù)）五、節(jié)約與環(huán)保問題例4（

6、宜昌課改實驗區(qū)）我國人均用紙為28公斤，每個初中畢業(yè)生離校時大約有10公斤廢紙；用1噸廢紙造出來的再生好紙，所能節(jié)約的造紙木材相當于18棵大樹，而平均每畝森林只有50至80棵這樣的大樹（1）若我市2005年初中畢業(yè)生中環(huán)保意識較強的5萬人，能把自己離校時的全部廢紙送到回收站使之制造為再生好紙，那么最少可使多少畝森林免遭砍伐？（2）宜昌市從2001年初開始實施天然林保護工程，到2003年初成效顯著，森林面積大約由1 374.094萬畝增加到1 500.545萬畝假設該地區(qū)年用紙量的15%可以作為廢紙回收利用，并且森林面積年均增長率保持不變，請你按宜昌市總?cè)丝跒?15萬人計算：在從2005年初到2

7、006年初這一年度內(nèi)，我市新增加的森林面積與因廢紙回收利用所能保護的森林面積之和最多可能達到多少畝（精確到1畝）？解：（1）5萬名初中畢業(yè)生廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)為5×104×10÷1 000×18÷80=112.5（畝）（2）設2001年到2003年初我市森林面積年均增長率為x，則1 374.094（1+x）2=1 500.45故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045（舍去）所以2005年初到2006年初全年新增森林面積：1500.545×104×（1+4.5）2×4.5737 385（畝）又全

8、市回收廢紙所能保護的森林面積最多為415×104×28×5÷1 000×18÷506 275（畝）新增森林面積和保護森林面積之和為：737 385+6 275=743 660（畝）A北東B點評：此例不僅考查了同學們解答實際應用問題的能力，還對同學們發(fā)揚節(jié)約精神、增強環(huán)保意識起到潛移默化的作用六、航海問題某軍艦以20節(jié)的速度由西向東航行,一艘電子偵察船以30節(jié)的速度由南向北航行,它能偵察出周圍50海里(包括50海里)范圍內(nèi)的目標.如圖,當該軍艦行至A處時,電子偵察船正位于A處的正南方向的B處,瓶AB=90海里.如果軍艦和偵察船仍按原來速

9、度沿原方向繼續(xù)航行,那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦 ?如果能,最早何時能偵察到?如果不能,請說明理由.七、圖表信息應用問題 單一圖象信息的應用問題：例1美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設的一項重要內(nèi)容，某市城區(qū)近幾年來通過拆舊房，植草、栽樹，修建公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加，如圖1，（1）根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：2005年底的綠地面積為 公頃；比2004年底增加了 公頃；在2003年、2004年、2005年這三年中綠地面各增加最多的一年是 。（2）為了滿足城市發(fā)展的需要，計劃在2007年底使綠地面積達到72.6公頃，試求2006年、2007年兩年綠地面積的年平均增

10、長率。解析：環(huán)境保護是當今社會的一個熱點點問題。本題主要考查在閱讀、理解、讀圖的基礎上用一元二次方程解決實際問題的能力。認真觀察圖象從中獲取有用的信息是解題的關鍵。解：（1）60，4，2004；（2）設平均增長率為，由題意得，即。（不合題意舍去）。答：略。多個圖象信息的應用問題：例2某開發(fā)區(qū)為改善居民的住房條件，第年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加（人均住房面積=），該開發(fā)區(qū)2003年至2005年，每年年底人口總數(shù)和人均住房面積統(tǒng)計結(jié)果如圖2（1），（2）請根據(jù)上面兩圖所提供的信息解答下面問題：（1）該區(qū)2004和2005兩年中哪一年比上年增加的住房面積多？多增加了多少？（2）由于經(jīng)濟發(fā)展

11、的需要，預計2007年底，該區(qū)居民將增加2萬人，住房面積要達到13平方米/人，試求2006和2007這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長率應達到百分之幾？解析：由于此題是兩個圖象的組合，所以應把兩個圖形結(jié)合起來獲取獲取信息。解：（1）2005年比2004年增加住房面積20×10-18×9.6=27.2；2004年比2005增加住房面積18×9.6-17×9=19.8；多增加了：27.2-19.8=7.4（萬平方米）。（2）設住房總面積的年平均增長率應達到x,由題意得：，即，解得：，（不合題意舍去）。所以2006和2007這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長率應達

12、到。一元二次方程應用新題型一、條件探求型例1要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，雞場的一邊靠著原有的一面墻，墻長為am，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m（1）求雞場的長與寬各是多少？（2）題中，墻的長度a對題目的解起著怎樣的作用？分析：第（2）小題著眼于作為條件出現(xiàn)的常數(shù)a，探索這一條件對題目的解有何影響，需根據(jù)第（1）小題的結(jié)果進行研究 解：（1）設平行于墻的一邊長為xm，則另一邊的長為，根據(jù)題意，得，解得x1=15，x2=20當x=15時，；當x=20時，答：略（2）由題意可知：當a<15時，此題無解；當15a<20時，此題只有一個解；當a20時，此題

13、有兩解二、方案設計型例2 某中學有一塊長為am，寬為bm的矩形場地，計劃在該場地上修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形小場地建成草坪（1）如圖1，請分別寫出每條道路的面積（用含a或含b的代數(shù)式表示）；（2）已知ab=21，并且四塊草坪的面積之和為312m2，試求原來矩形場地的長與寬各為多少米？（3）在（2）的條件下，為進一步美化校園，根據(jù)實際情況，學校決定對整個矩形場地作如下設計（要求同時符合下述兩個條件）：條件：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃（花圃各邊必須分別與所在草坪的對角線平行），并且其中有兩個花圃的面積之差為13m2；條件：整個矩形場地（包括道路、草坪、花圃

14、）為軸對稱圖形請你畫出符合上述設計方案的一種草圖（不必說明畫法與根據(jù)），并求出每個菱形花圃的面積解：（1）這兩條道路的面積分別為2am2與2bm2（2）設b=xm，則a=2xm，依題意，得x·2x-（2x+4x-4）312整理，得x2-3x-154=0，解得x1=14，x2=-11（舍去）所以b=14，a=2x=28即矩形的長為28m，寬為14m（3）符合設計方案的一種草圖如圖2所示，其中四個菱形花圃中，第1個與第2個，第3個與第4個花圃的面積分別相等設AEx，則FB=14-2-x=12-x（m），（m）依題意，得解得x=7（m）所以大菱形花圃的面積為（m2），小菱形花圃的面積為（m

15、2）（注：其他符合設計方案的三種花圃見圖3，圖4，圖5，同上法仍可求得大、小花圃的面積分別為45.5m2與32.5m2）三、創(chuàng)意自編型例3 編一道關于增長率的一元二次方程應用題，并解答編題要求：（1）題目完整，題意清楚；（2）題意與方程的解都要符合實際；分析：題目只給出大致的編題要求，可視為一種情境，除此以外的內(nèi)容，諸如條件、解法、結(jié)果等均未確定，需要自行設置，屬于綜合開放題的范疇 因為是編題，我們可以先根據(jù)要求列出方程，為了使應用題好編并且便于計算，盡量使題目中的已知數(shù)據(jù)和結(jié)果都是整數(shù)，比如預定方程為：100（1+x）2=144據(jù)此編一道應用題為：某鋼廠7月份產(chǎn)值為100萬元，計劃9月份產(chǎn)值

16、可達144萬元 那么，這兩個月的產(chǎn)值平均每月的增長率是多少？一元二次方程解法的綜合應用一、與不等式知識的綜合應用例1證明關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0不論m為何值時，都是一元二次方程分析：方程含二次項系數(shù)，要證明“不論m為何值時，方程都是一元二次方程”，只需證明二次項系數(shù)m2-8m+17的值不等于0證明：因為二次項系數(shù)m2-8m+17m2-8m+16+1=（m-4）2+1，又因為（m-4）20，所以（m-4）210，即m2-8m+170所以不論m為何值時，原方程都是一元二次方程二、與題目中隱含條件的綜合應用例2若關于x的一元二次方程（m-1）x2+3m2x+（m+3）（m

17、-1）=0有一個根是0，則m的值為（）-3或13或-1-31分析：由題意知，0是方程的根，故由根的定義知：x=0滿足方程，所以把x=0代入原方程，得（m+3）（m-1）=0，故m=-3或m=1，但題設明確指出是關于x的一元二次方程，因此隱含了條件m-10，即m1，故正確答案為C三、與三角形三邊關系定理的綜合應用例3請根據(jù)下面的解題過程回答問題一個三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，第三邊長是整數(shù)acm，且a滿足a2-10a+21=0，求三角形的周長解：由已知可得4a10，即a為5，6，7，8，9，（第一步）當a=5時，代入a2-10a+21=52-10×5+210，故a=5不是方程的根，同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根，a=7是方程的根（第二步），所以ABC的周長為3+7+7=17（cm）上述過程中，第一步是根據(jù)_，第二步應用了_的數(shù)學思想，確定a的大小是根據(jù)_答案：依次為：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；分類討論；方程根的定義說明：上述解題過程中使用