圓錐曲線(xiàn)幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換

1、幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換一、基礎(chǔ)知識(shí)：在圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化，合理的進(jìn)行幾何條件的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算的復(fù)雜程度，在本節(jié)中，將列 舉常見(jiàn)的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。1在幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化中，向量是一個(gè)重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線(xiàn)段變?yōu)橛邢蚓€(xiàn) 段后可以承載向量；另一方面，向量在坐標(biāo)系中能夠坐標(biāo)化，從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為 坐標(biāo)的運(yùn)算，與方程和變量找到聯(lián)系2、常見(jiàn)幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：（1）角度問(wèn)題： 若與直線(xiàn)傾斜角有關(guān)，則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率k 若需要判斷角是銳角還是鈍角，則可將此角作為向量的夾角，從而利用向量數(shù)量積的符 號(hào)進(jìn)行判定（2）點(diǎn)與圓的位置

2、關(guān)系 可以利用圓的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些 題目中計(jì)算量較大 若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線(xiàn)的夾角進(jìn)行判定：若點(diǎn)在圓內(nèi)，T TT TACB為鈍角（再轉(zhuǎn)為向量：CA CB ： 0 ；若點(diǎn)在圓上，貝,ACB為直角（CA CB = 0）； 若點(diǎn)在圓外，貝U ACB為銳角（CA CB 0）（3）三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題 通過(guò)斜率：任取兩點(diǎn)求出斜率，若斜率相等，則三點(diǎn)共線(xiàn) 通過(guò)向量：任取兩點(diǎn)確定向量，若向量共線(xiàn)，則三點(diǎn)共線(xiàn)（4）直線(xiàn)的平行垂直關(guān)系：可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量的平行與垂直問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算：a =Xi, yi,b =X2, y2，貝Ua,b共線(xiàn) 二Xi

3、 y?二x?yi ；a b 二XiX?y$2 = 0（5）平行（共線(xiàn)）線(xiàn)段的比例問(wèn)題：可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系（6）平行（共線(xiàn)）線(xiàn)段的乘積問(wèn)題：可將線(xiàn)段變?yōu)橄蛄?，從而轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題（注 意向量的方向是同向還是反向）3、常見(jiàn)幾何圖形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化(1)三角形的“重心”：設(shè)不共線(xiàn)的三點(diǎn)A Xi,% ,B X2,y2 ,C 乂3小，則L ABC 的重X2 X3 yiy2 y3(2)三角形的“垂心”：伴隨著垂直關(guān)系,即頂點(diǎn)與垂心的連線(xiàn)與底邊垂直，從而可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零(3)三角形的“內(nèi)心”：伴隨著角平分線(xiàn),圖)：IP 丄 AC,IQ 丄 AQI在N BAC的角平分線(xiàn)上 n AP = AQ n T

4、= TAB由角平分線(xiàn)性質(zhì)可知(如AI AC AI ABAC(4)P是以DA,DB為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)=DP 二 DA DB(5) P是以DA,DB為鄰邊的菱形的頂點(diǎn)： P在AB垂直平分線(xiàn)上(6)共線(xiàn)線(xiàn)段長(zhǎng)度的乘積：若 A,B,C共線(xiàn)，則線(xiàn)段的乘積可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，(要注意向量的夾角)二 AC AB，例如：AC ABAC BC二-AC BC、典型例題:例1:如圖:A, B分別是橢圓22xyC r2ab=1 a b 0的左右頂點(diǎn)，AF , FB的等差中項(xiàng)， J3是AF , FB的等比中項(xiàng)（1）求橢圓C的方程（2）已知P是橢圓C上異于代B的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A且垂直于x軸，若過(guò)F

5、作直線(xiàn)FQ _ AP，并交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q。證明：F為其右焦點(diǎn)，2是Q,P,B三點(diǎn)共線(xiàn)解: ( 1)依題意可得： A -a,0 ,B a,0 ,F c,0二 AF = c +a, BF =a -c7 2是AF , FB的等差中項(xiàng).a = 2；J3是AF , FB的等比中項(xiàng)、4 = AF + FB = a + c + a c= 2a二（同=AFFB =(a+cj(a_c)=a2_c2 = b2橢圓方程為:2 2x_. y_43(2)由(1)可得：A -2,0 ,B 2,0 ,F 1,0設(shè)AP: k x 2，設(shè)P X1,y1 ，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得:3x2 4y2 二 12y = k x 2二 4k

6、23 x22 216k x 16k -12 =0xAx116k2 -124k23X16 -8k24k2312k4k23P 6 -8k212k、l4k2 +34k2 +3 丿另一方面，因?yàn)镕Q _ AP.FQ : y - -1 x -1，聯(lián)立方程:k3kj1y x -1/ k' 芻 Q -2J x = 22 -24kkBP。一嚴(yán)4k23-12k.B,Q,P三點(diǎn)共線(xiàn)x2例2 :已知橢圓二22-6316k24k=1(a b 0)的右焦點(diǎn)為F ,M為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若1 OMF的面積為一，且橢圓的離心率為2 2(1 )求橢圓的方程;(2)是否存在直線(xiàn)l交橢圓于P , Q兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)F

7、PQM的垂心？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1 ) S OMF OM OF = be =2 2橢圓方程為:(2)設(shè) P(x1，yj, Q(X2,y2),由(1)可得：M 0,1 ,F 1,0kM -1, F PQM 的垂心MF _ PQ丄=1kMF由F PQM的垂心可得： MP _ FQMP hXi,yi-1FQ = X2 -1,討2MP fQ x2 -1 亠 iy -1 y2 =0因?yàn)镻,Q在直線(xiàn)y =x - m上代入可得:X x2 -1 | 亠洛 m -1 x2 m =02即 2x1X2 (X1 X2)(m-1) m -m=0 考慮聯(lián)立方程：y = x + m22&

8、lt; 22得 3x2 +4mx+2m2-2 = 0 .x2 2y2 =2=16m2 -12 2m2 -20= m2 ： 34m.X1 X2 :3X1X22m2 - 23.代入可得:m -14解得：m 或m = 13當(dāng)m =1時(shí)， PQM不存在，故舍去44當(dāng)m時(shí)，所求直線(xiàn)l存在，直線(xiàn)I的方程為y = x 3 3小煉有話(huà)說(shuō)：在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì)，為垂心與三角形頂點(diǎn)的連線(xiàn)垂直底邊，所以對(duì)垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算(或是斜2每=1(a b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)是b2率關(guān)系)2X例3:如圖，橢圓冷aF 1,0 , O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)

9、與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形,橢圓的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線(xiàn)l交橢圓于 代B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有2OA + OB < AB ,求a的取值范圍.解：(1)由圖可得：M0,-b由正三角形性質(zhì)可得：.MFO,kMF6kMF-b-°2 2二 b c= 4橢圓方程為:A Xi，yi ,B X2，y227 OA +|OB2< AB.cosAOB =oa|2 +|ob|2 - |ab2 OA OB2<0-AOB為鈍角OA OB = x1x2 y1 y2 : 0|y =k(x 1 )2 22 222 2聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程：。oo o=b 2 2 2 . 2 2

10、 2 2 2a k -a b k b -a b k : 0 恒成立x2 a2k2x-1-a2b2，整理可得:.2 22 222b x a y a ba2k2 b2 x2 _2a2k2x a2k2 _a2b2 =022 2, 2 2 22a ka k -a b2. 272 , x1x2 -2 2,2a k ba k b2 2 2 2 y-i y2 = k 捲 一 1x2 -1 = k x.f x2 - kx1x2k2.2 2 2 2. 2,2 a k -a b , 2 2a k , 2 -k22 2 k 222 ka2k2 b2a2k2 b2:0a2k2 a2b2 +k2b2 a2b2k2a2k

11、2b2人2y22 2 . 2 2. 2 2. 2 , 即k a b -a b : a b 恒成立2, 22,2ii,22ab-ab：；O p b a -11亠-5.2 a 一 1 一 a a -1 : 0 解得：a.a的取值范圍是15,-22 2X y例4：設(shè)A, B分別為橢圓 2 -1 a b 0的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,a b且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為1（1 ）求橢圓的方程；（2）設(shè)P為直線(xiàn)x =4上不同于點(diǎn) 4,0的任意一點(diǎn)， 若直線(xiàn)AP, BP分別與橢圓相交于異于A, B的點(diǎn)M ,N，證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)解：（1）依題意可得a =2c,且到右焦點(diǎn)距離的最小

12、值為a - c = 1可解得：a=2,c=1. b=.32 2橢圓方程為-y 14 3（2）思路：若要證 B在以MN為直徑的圓內(nèi)，只需證明 MBN為鈍角，即 MBP為銳聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理即可用k表示出M的坐標(biāo)，從而 BM BP可用k1表示。即可判斷角，從而只需證明BM BP 0，因?yàn)榇鶥坐標(biāo)可求，所以只要設(shè)出 AM直線(xiàn)（斜率為k），BM BP的符號(hào),進(jìn)而完成證明解：由（1）可得A -2,0 ,B 2,0，設(shè)直線(xiàn)AM , BN的斜率分別為k，M x1,y1 ，則AM : k x 2 聯(lián)立AM與橢圓方程可得:y = k x 22 23x 4y =12消去y可得:4k2 3 x2 16k2x 16

13、k2 -12 =016k2 126-8k2xAx12= x12A 1 4k231 4k23.y. = kxi 2k 挙，即 M4k 3J 8k212k,4k2 +34k2 +3設(shè)P 4,y0，因?yàn)镻在直線(xiàn)AM上，所以yk 42=6k，即P 4,6kBP =（2,6k）BM* =廣-16k212k 、,4k2 +3 4k2 +3 .BP BM =-32 k24k236k12k4k2340k24k23-MBP為銳角，一 MBN為鈍角 .M在以MN為直徑的圓內(nèi)例5:如圖所示，已知過(guò)拋物線(xiàn) X3線(xiàn)相交于代B兩點(diǎn)，與橢圓一y24存在直線(xiàn)l使得AF CF程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：依題意可知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F

14、0,1，設(shè)丨：y =kx 1|AF| |CF=BF DFAFBFDF，不妨設(shè)CFAF| _|DFBF| jCF|T T T TAF FB,DF FC設(shè) A X1,y1 ,B X2,y2 ,C 化、乂 ,D X44AF - -花,1 -y1 ,FB hx2,y2 -1TTCF h-X3,1 -y3 ,FD hX4,y4 -1_X1 二'X2考慮聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程:-X3 二'X4y = kx +1x2=4y 二2x 4kX4 二 0x1 x2 二 1 - ' ?x2 = -4k-_ 2，消去X2可得:x<|X2 = - x2 = -421 _ 24k2一九y =

15、kx 1_22聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程：22=> 6x 3(kx+1)=4，整理可得:6x 3y = 43k26 x2 6kx -1 = 06kX3 * X4 二 1 ' X423k2621X3X4 = - x423k26.221 -_36k 2丸 3k +6由可得:36k23k26，解得:k2 =1= k =： 1所以存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，其方程為：y二x 12 1例6：在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線(xiàn)x = 2 py p，0的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y ，過(guò)2點(diǎn)M 4,0作拋物線(xiàn)的切線(xiàn) MA，切點(diǎn)為A （異于點(diǎn)O ），直線(xiàn)丨過(guò) 點(diǎn)M與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn) P, Q，與直線(xiàn)OA交于點(diǎn)NMN+MNMP

16、MQ（2）試問(wèn)的值是否為定值？若是，求出定值；若不（1 ）求拋物線(xiàn)的方程是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由準(zhǔn)線(xiàn)方程可得：一卩=一丄=p才2 2-拋物線(xiàn)方程：X2 =2y1 2（2）設(shè)切點(diǎn)A x0,y0，拋物線(xiàn)為yx22 y二x 切線(xiàn)斜率為X）12切線(xiàn)方程為：y-yoxn，代入M4,0及yosxo可得：-丄訐=x° 4 -X。，解得：X0 =0 （舍）或 X0 =82.A 8,32 OA: y =4x設(shè) PQ : x = my 4T M ,P, N,Q共線(xiàn)且M在x軸上MNMNMPMQ聯(lián)立PQ和拋物線(xiàn)方程:yN=ryPyN_ = yNyQ丄丄y yQyPyQ二 yN2 _x =2yx = my

17、4 2= my 42 y，整理可得:2 2m y8m -2 y 16 = 02 8mYp Yq2 ，Ypm16yQ 2m再聯(lián)立OA,PQ直線(xiàn)方程:y =4xx 二 my 416MN+MN|MPMQ|例7：在L ABC中,=yN2 -8m2-jm_ =2162mA, B的坐標(biāo)分別是 -.2,0 , .2,0 ，點(diǎn)G是L ABC的重心，y軸上ypyPyQYq161 -4m一點(diǎn)M滿(mǎn)足GM /AB，且 MC = MB(1 )求ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程(2)直線(xiàn)丨：y =kx m與軌跡E相交于P,Q兩點(diǎn)，若在軌跡 E上存在點(diǎn)R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形(其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的取值范圍解：

18、(1 )設(shè)C x,y由G是L ABC的重心可得:由y軸上一點(diǎn)M滿(mǎn)足平行關(guān)系，可得M叱由MCMB可得：x2 + I2y化簡(jiǎn)可得：2 2xy1 y = 0262 2-x y.C的軌跡E的方程為：1 y = 02 6(2)/四邊形OPRQ為平行四邊形OR =OP oQ設(shè) Pyi ,Q X2,y2Rx?,%y?*,*R在橢圓上2 23 花 X2yiy2 i； =62 2 2 23x1y1 廠(chǎng) 3x2y26X22 % y2 = 6 2 2因?yàn)镻,Q在橢圓上，所以，代入可得:3xiyi =62 23x2 y2 = 66x1x2 2y1y2 12 =6二 3x1x2 yiy2 = -3 聯(lián)立方程可得:y =

19、 kx m3x2 y2 =6二 k2 3 x222kmx m 6=0x-i2 kmx2_3 k2m2 _6k23-2i2Y-iY kx1 m kx2 m 二 k 論 x2 km x1 x2 m3m2 - 6k2k23代入可得:2 2 23 m2 -6 . 3m2 -6k2 k23 k232m2 二 k23222k 3 x ' 2kmx m - 6 =0有兩不等實(shí)根可得:=4k2m2 -4 k2 3 m2 -6 0 ,即-3m2 6k2 18 0，代入 k2 -3m2 6 2m2 -3 18 0 m2 0= 2m2 -3另一方面：2m2 - 3 二 k2=0m2_Lm_上或m 一屋2 2

20、 2例8:已知橢圓11，直線(xiàn) l 過(guò)點(diǎn) A 4,0 ,B 0,2，p/1,22 2C :冷爲(wèi)=1 a b 0的離心率為a b且與橢圓C相切于點(diǎn)P(1)求橢圓C的方程(2)是否存在過(guò)點(diǎn)A 4,0的直線(xiàn)m與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N ，使得36 AP=35 AM | AN| ?若存在，求出直線(xiàn) m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解(1)e=c=. a:b:c=2:、,3:1a 22 2x y222.橢圓方程化為：22 =1= 3x 4y =12c4c45 再由A(4,0 )可知AP，若要求得k (或證明不存在滿(mǎn)足條件的 k)，則可通過(guò)等式 36 AP： =35 AM| AN I列出關(guān)于k的方程。對(duì)于A

21、M AN，盡管可以用兩點(diǎn)間距離公式表示出 AM , AN，但運(yùn)算較為復(fù)雜。觀(guān)察圖形特點(diǎn)可知A,M , N共線(xiàn)，從而可想到利用向量數(shù)量積表示線(xiàn)段的乘積。因?yàn)锳M , AN同向，所以 AM 'AN =AM AN。寫(xiě)出 3c27l 過(guò) A 4,0 , B 0,2x y1設(shè)直線(xiàn)I :1=x 24 223x2+4y2 =12c2f 1、2聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程：<1消去y可得：3x2+4 I-1 x + 2 =12c2|y = -x+2l2丿I 2整理可得：x2 -2x 4 - 3c2 =0tl與橢圓相切于P.:=4 一4 4 3c2 =0= c =12 2x y橢圓方程為:1，且可解得43I

22、 3(2)思路：設(shè)直線(xiàn) m為 y = k(x4 ), M (,% ),N (x2, y2 )，由(1)可得：P. 1- l 2丿的坐標(biāo)即可進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，然后再聯(lián)立m與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體代入即可得到關(guān)于k的方程，求解即可解：由題意可知直線(xiàn) m斜率存在，所以設(shè)直線(xiàn)m: y =k x -4 ,M 冷 ,N 人百由（1）可得：p ''1 3 iI 2丿3一0 二2:代M , N共線(xiàn)且aM,AN二 AP同向454A AM ANAMyyANf*AM AN 二 -4 x24 %y2 二 x2 %丫24 x x2 16聯(lián)立直線(xiàn)m與橢圓方程:J3x +4y _12消去 y并整理可得：(4

23、k2+3)x2 _32k2x+64k2 _12 = 0 y = k x _42 232k64k -12x1 22, x1 X2 24k234k2336 k2 yy廠(chǎng)k -4 x4 二產(chǎn)AM AN = 64 .零4k +3 4k +3一4卓任生二4k 34k 3:36 AP=35 AMAN，代入AP2卒，AM AN二空二可得:424k 336 k2 14k2 3-二，另一方面,42 1可解得：k8若方程4k2 3 x2'32k2x 64k2 12 = 0有兩不等實(shí)根則 I = 32k2 $ - 4 4k2 3 64k2 -12011解得： k :22.直線(xiàn)m的方程為:二手x 4 ，即:y

24、 2x - 2或42例9：設(shè)橢圓C:令篤 "a b 0的左，右焦點(diǎn)分別為Fi,F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)Aa b與AF2垂直的直線(xiàn)交x軸負(fù)半軸與點(diǎn)Q，且2RF2 F2Q =0(1) 求橢圓C的離心率(2) 若過(guò)A,Q, F2三點(diǎn)的圓恰好與直線(xiàn)I : x - 3y - 3 = 0相切，求橢圓C的方程(3)在(2)的條件下，過(guò)右焦點(diǎn) F2作斜率為k的直 線(xiàn)I與橢圓C交于M , N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P m,0使得以PM , PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出 m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng) 說(shuō)明理由 解:（ 1 ）依題意設(shè) A 0,b F -c,0 ,F2 c,0 ,Q x0,0

25、.£ 2c,0 民 x° c,0：2屜忌 04c x0 -c =0二 x0 = -3cQ _3c,0 -kAQ ,kAF2 - -一 由 AQ _ AF2可得:3cckAQ kAF23c=3c2 =（2 ）由（1）可得：a:b:c=2:-、3:1.A,Q,F2的外接圓的直徑為 QF2，半徑設(shè)為rQ _3c>0 > F2 C,01r = QF2 = 2c，圓心（c,0 ）2 /-c 一 3由圓與直線(xiàn)相切可得：d= =2cn c+3=4c2解得：c=1. a=2)b = '、322橢圓方程為一y i43(3)由(2)得 R -1,0 ,F2 1,0 :設(shè)直線(xiàn)

26、 I: y = k x-1設(shè)M x1,y1 ,N x2,y2，若PM , PN為鄰邊的平行四邊形是菱形則P為MN垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)3x14 y1 -12222222= 3 X1 - X2 4 y1 - y2 =03x； 4y； =123 X1 X2 石 -X2 4 y1 y2 y-y = 0設(shè)M,N中點(diǎn)xo，yo-3xo 4ky° =0= y°3x04k-MN的中垂線(xiàn)方程為:1y - y°x - X。，即 x ky - ky° - x° = 0k1代入 P m,0 可得：m - ky0 -x0 =0= m x0 =48%X2聯(lián)立方程：3X 4y =12y =k(x1 )2 2 2 2- 4k 3 x - 8k