湖南省長沙市2019屆高三上學(xué)期統(tǒng)一檢測文科數(shù)學(xué)試題(共22頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上長沙市2019屆高三年級統(tǒng)一模擬考試文科數(shù)學(xué)第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（ ）A. B. C. D. 2.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（ ）A. B. C. D. 4.某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺的整點(diǎn)報(bào)時(shí)，則他等待的時(shí)間不多于5分鐘的概率為（ ）A. B. C. D. 5.設(shè)，表示不同直線，表示不同平面，下列命題：

2、若，則；若，則；若，則；若，則.真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.若，滿足，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 7.已知，是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則的面積為（ ）A. B. C. D. 8.若，則的最小值為（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 89.已知是函數(shù) 圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，是與相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn).若，則的圖象對稱中心可以是（ ）A. B. C. D. 10.在中，且是的外心，則 （ ）A. 16 B. 32 C. -16 D. -3211.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn) 在上，.若直線與交于另一點(diǎn)，則的值是（ ）A

3、. 12 B. 10 C. 9 D. 4.512.已知，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 _14.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則 _15.在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則異面直線與所成角的取值范圍是_16.中，內(nèi)角，所對的邊分別為，.已知，且，則面積的最大值是_三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且對任意的，都有，數(shù)列滿足，.（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（

4、）求使成立的最小正整數(shù)的值.18.如圖，已知三棱錐的平面展開圖中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（）證明：平面平面；（）求三棱錐的表面積和體積.19.為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)好下表：超過1小時(shí)不超過1小時(shí)男208女12m（）求，；（）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過1小時(shí)與性別有關(guān)？（）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查6名學(xué)生，試估計(jì)6

5、名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的人數(shù).附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.已知橢圓 的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且 .（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，過、分別作軸的垂直、，橢圓的一條切線與、交于、兩點(diǎn)，求證：的定值.21.已知函數(shù)， .（）試討論的單調(diào)性；（）記的零點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求證.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過原點(diǎn)且傾斜角為的直線交于、兩點(diǎn).（）求和的極坐標(biāo)方程；（

6、）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.23.已知函數(shù).（）當(dāng)，求的取值范圍；（）若，對，都有不等式恒成立，求的取值范圍.長沙市2019屆高三年級統(tǒng)一模擬考試文科數(shù)學(xué)第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】寫出集合N，然后對集合M,N取交集即可得到答案.【詳解】,則故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡單題.2.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)

7、算將復(fù)數(shù)化簡為a+bi的形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，即可得到m范圍.【詳解】,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為（），若點(diǎn)位于第二象限，只需m>0,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)和單調(diào)性對四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到答案.【詳解】由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱知函數(shù)為奇函數(shù)，選項(xiàng)B，函數(shù)定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不具有奇偶性，故排除；選項(xiàng)C，因?yàn)閒(x)=f（-x）,函數(shù)為偶函數(shù)，故排除；選項(xiàng)A，函數(shù)為奇函數(shù)且f(x)=co

8、sx-1可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，故排除；選項(xiàng)D，函數(shù)為奇函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題.4.某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺的整點(diǎn)報(bào)時(shí)，則他等待的時(shí)間不多于5分鐘的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于電臺的整點(diǎn)報(bào)時(shí)之間的間隔60分，等待的時(shí)間不多于5分鐘，根據(jù)幾何概型的概率公式可求【詳解】設(shè)電臺的整點(diǎn)報(bào)時(shí)之間某刻的時(shí)間x，由題意可得，0x60，等待的時(shí)間不多于5分鐘的概率為P，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，先要判斷概率模型，對于幾何概型，它的結(jié)果要通過長度

9、、面積或體積之比來得到，屬于基礎(chǔ)題5.設(shè)，表示不同直線，表示不同平面，下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則.真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用線面平行和線線平行的性質(zhì)和判定定理對四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇【詳解】對于,由平行公理4,可知正確；對于，若a，顯然結(jié)論不成立，故錯(cuò)誤；對于，若a，b，則a，b可能平行，可能相交，可能異面，故錯(cuò)誤；對于，a，a，b，a與b平行或異面，故錯(cuò)誤；真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題6.若，滿足，則的取值范圍是

10、（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由約束條件畫出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組得到最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如圖，即y=2x-z,由圖得當(dāng)z2xy過點(diǎn)O（0，0）時(shí)，縱截距最大，z最小為0當(dāng)z2xy過點(diǎn)B（1，-1）時(shí)，縱截距最小，z最大為3故所求z2xy的取值范圍是故選：A【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值和范圍，求目標(biāo)函數(shù)范圍的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，

11、最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值，從而得到范圍.7.已知，是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由雙曲線方程得到漸近線方程和以為直徑的圓的方程，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P在漸近線上和圓上，得點(diǎn)P坐標(biāo)，從而可得三角形的面積.【詳解】等軸雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在漸近線上，則以為直徑的圓為又在圓上，解得，故選：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程和漸近線的簡單應(yīng)用，考查三角形面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.8.若，則的最小值為（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案

12、】B【解析】【分析】利用基本不等式即可直接得到所求最小值.【詳解】，于是或（舍），當(dāng)時(shí)取等號，則a+b的最小值為4，故選.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，屬于基礎(chǔ)題.9.已知是函數(shù) 圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，是與相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn).若，則的圖象對稱中心可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)周期，從而得點(diǎn)B,C的坐標(biāo)，即是圖象的對稱中心.【詳解】因?yàn)镻是函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，是與相鄰的兩最低點(diǎn)，可知|BC的周期，半個(gè)周期為3，則得，由圖像可知（-1,0），都是圖象的對稱中心，故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù) 的周期性和對稱性，屬于基礎(chǔ)題.10.在中，且是的外心

13、，則 （ ）A. 16 B. 32 C. -16 D. -32【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積公式和投影的定義計(jì)算即可得到答案.【詳解】，又是的外心，由投影的定義可知?jiǎng)t故選.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查投影定義的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn) 在上，.若直線與交于另一點(diǎn)，則的值是（ ）A. 12 B. 10 C. 9 D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)A在拋物線上得點(diǎn)A坐標(biāo)，又F(2,0)，設(shè)直線AF方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線的定義即可得到弦長.【詳解】法一：因?yàn)?在上，所以，解得或（舍去），故直線的方程為，由，消去，得，解得，由拋物線的定義

14、，得，所以.故選.法二：直線過焦點(diǎn)，又，所以，故選.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查利用拋物線定義求過焦點(diǎn)的弦長問題，考查學(xué)生計(jì)算能力.12.已知，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道題將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，即可?！驹斀狻坑腥齻€(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)，故，有兩個(gè)零點(diǎn)，代入的解析式，得到，構(gòu)造新函數(shù)，繪制這兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖可知因而介于A,O之間，建立不等關(guān)系，解得a的范圍為，故選A?！军c(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，難度加大。第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.設(shè)曲線

15、在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 _【答案】1【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)(1,a)處的切線斜率，根據(jù)兩條直線垂直斜率乘積為-1即可得a值.【詳解】，所以切線的斜率，又切線與直線垂直得，解得.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則 _【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)定義可得和，然后利用正弦的二倍角公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】由三角函數(shù)定義可得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義和二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于簡單題.15.在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)

16、動(dòng)，則異面直線與所成角的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由得為異面直線與所成角，求解即可.【詳解】在正方體中，連、，則，所以為異面直線與所成角，點(diǎn)與重合，最大，且最大為，當(dāng)點(diǎn)與無限接近時(shí)，趨近于零，故異面直線與所成角的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角，求異面直線所成角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解.16.中，內(nèi)角，所對的邊分別為，.已知，且，則面積的最大值是_【答案】【解析】【分析】由正弦定理將已知化簡可得角B，再由余弦定理和基本不等式得ac的最大值，即可得到面積的最大值.【詳解】由及正弦定理得，即，又

17、，于是可得，即，.在中，由余弦定理得，即，又因?yàn)?，由此可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，面積，故面積最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，考查利用基本不等式求最值問題，屬于?？碱}型.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且對任意的，都有，數(shù)列滿足，.（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）求使成立的最小正整數(shù)的值.【答案】（），;（）10【解析】【分析】（）由已知的遞推關(guān)系式可知數(shù)列為等差數(shù)列，從而可得的通項(xiàng)公式，代入可得的通項(xiàng)公式；（）利用分組求和法和等比數(shù)列的求和公式得到數(shù)列的前n項(xiàng)和,通過判斷數(shù)列的單

18、調(diào)性可得滿足條件的n的值.【詳解】（）令得，解得.又由知 ，故數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，于是，.（）由（）知，.于是 .令，易知是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，又，故使成立的最小正整數(shù)的值是10.【點(diǎn)睛】本題考查等差，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及數(shù)列單調(diào)性的判斷，考查學(xué)生推理和計(jì)算能力.18.如圖，已知三棱錐的平面展開圖中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（）證明：平面平面；（）求三棱錐的表面積和體積.【答案】（）詳見解析（）表面積，體積【解析】【分析】（）由題意知和為等腰三角形，可取AC中點(diǎn)O，連接PO,OB，可證明平面然后利用面面垂直的判定定理

19、即可得到證明；（）求各個(gè)面的面積之和即可到棱錐的表面積，由平面，利用棱錐的體積公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：（）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.由題意，得，.因?yàn)樵谥校瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)樵谥?，所?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（）三棱錐的表面積 ，由（）知，平面，所以三棱錐的體積為 .【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直，面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查棱錐的表面積和體積的計(jì)算，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.19.為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)好

20、下表：超過1小時(shí)不超過1小時(shí)男208女12m（）求，；（）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過1小時(shí)與性別有關(guān)？（）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查6名學(xué)生，試估計(jì)6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的人數(shù).附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（），（）沒有95%把握（）4人【解析】【分析】（）由已知得該校女生人數(shù)，利用分層抽樣的原則列等式得m值，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得n值；（）由列聯(lián)表計(jì)算的值，對照臨界值，即可得出結(jié)論；（）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小

21、時(shí)的概率，從而得到6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的人數(shù).【詳解】解：（）由已知，該校有女生400人，故，得從而.（）作出列聯(lián)表如下：超過1小時(shí)的人數(shù)不超過1小時(shí)的人數(shù)合計(jì)男20828女12820合計(jì)321648 .所以沒有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過1小時(shí)與性別有關(guān).（）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的概率，故估計(jì)這6名學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的人數(shù)是4人.【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題20.已知橢圓 的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且 .（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓

22、的左、右頂點(diǎn)為、，過、分別作軸的垂直、，橢圓的一條切線與、交于、兩點(diǎn)，求證：的定值.【答案】（）（）詳見解析【解析】【分析】（）由和離心率以及進(jìn)行計(jì)算即可得到橢圓的方程；（）由已知可得點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后將切線l方程與橢圓方程聯(lián)立，利用0可得，利用的夾角公式進(jìn)行計(jì)算可得到為定值.【詳解】（），得.又，解得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）由題可知，的方程為，的方程為.直線與直線、聯(lián)立得、，所以，.所以.聯(lián)立得.因?yàn)橹本€橢圓相切，所以 ，化簡得.所以，所以，故為定值.（注：可以先通過計(jì)算出此時(shí)，再驗(yàn)證一般性）【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓相切問題和橢圓中的定值問題，考查學(xué)生推理和計(jì)算能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)， .（）試討論的單調(diào)性；（）記的零點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求證.【答案】（）詳見解析（）見解析【解析】【分析】（）對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，分和a<0進(jìn)行討論，可得函數(shù)單調(diào)性；（）對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理可確定的零點(diǎn)即極小值點(diǎn)，從而得到a與的等量關(guān)系，將等量關(guān)系代入中，利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性即可得到證明.【詳解】解：（） .若，則，在上單調(diào)遞增；若，則必有一正一負(fù)兩根，且正根為.當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單調(diào)遞減.綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在