2013年西城區(qū)高三數(shù)學(xué)一模試卷文答案

1、市西城區(qū) 2013 年高三一模試卷高三數(shù)學(xué)（文科）參考及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2013.4，每小題 5 分，共 40 分.一、選擇題：本大題1 B；2A；3D；4B；5C；6C；7A；8B二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.10 - 7 ；413 24 ；11 x =- 1 ， 2 ；214 5 ， 7n + 22 9 0 ；12 80% ；注：11、14 題第一問(wèn) 2 分，第二問(wèn) 3 分.三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.15（本小題滿分 13 分）3（）解：依題意，得 f () = 0 ，41 分即sin 3 +

2、a cos 3 =2 -22a = 0 ，3442分解得a = 15 分（）解：由（）得 f (6 分g(x) = f (x)2 - 2sin2 x= (sin- 1 -= sin 2x + cos 2x8 分=2 sin(2x +) 410 分由 2k -£ 2x +£ 2k +，2423得 k -£ x £ k +，k Î Z 8812 分3所以 g(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為k -, k +，k Î Z 8813 分16（本小題滿分 14 分）（）證明：在 ABC 中，因?yàn)?AC =3 ， AB = 2 ， BC = 1，所以 AC

3、 BC 又因?yàn)?AC FB ，所以 AC 平面 FBC 2 分4 分（）解：因?yàn)?AC 平面 FBC ，所以 AC FC 因?yàn)镃D FC ，所以 FC 平面 ABCD 6 分在等腰梯形 ABCD 中可得 CB = DC = 1，所以 FC = 1BCD所以的面積為34S =7 分13所以四面體 FBCD 的體積為：VF -BCD = 3 S × FC = 12 9 分（）解：線段 AC 上點(diǎn) M ，且 M 為 AC 中點(diǎn)時(shí)，有 EA / 平面 FDM ，證明如下： 10 分- 2 -連結(jié)CE ，與 DF 交于點(diǎn) N ，連接 MN 因?yàn)?CDEF 為正方形，所以 N 為CE 中點(diǎn)11

4、分所以 EA / MN 12 分因?yàn)?MN Ì 平面 FDM ，EA Ë 平面 FDM ，13 分EA /平面 FDM 所以所以線段 AC 上點(diǎn) M ，使得 EA /平面 FDM 成立14 分17（本小題滿分 13 分）臨時(shí)停車付費(fèi)恰為6 元”為A ，（）解：1 分151則 P( A) = 1- ( +) =3124所以甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為6 元的概率是144 分（）解：停車付費(fèi)a 元，乙停車付費(fèi)b 元，其中a,b = 6,14, 22,30 6 分則甲、的停車費(fèi)用的基本空間為：(6, 6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14, 6),(14,14),(14,

5、 22),(14,30),(22, 6),(22,14),(22, 22),(22,30),(30, 6),(30,14),(30, 22),(30,30) ，共16 種情形10 分其中，(6,30),(14, 22),(22,14),(30, 6) 這4 種情形符合題意12 分停車付費(fèi)之和為36 元”的概率為 P = 1 1644故“甲、13 分- 3 -18.（本小題滿分 13 分）（）解： f (x) 的定義域?yàn)镽 ， 且 f ¢(x) = ex + a 2 分 當(dāng)a = 0 時(shí)， f (x) = ex ，故 f (x) 在R 上單調(diào)遞增從而f (x)沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小4

6、分值 當(dāng)a < 0 時(shí)，令 f ¢(x) = 0 ，得 x = ln(-a) f (x) 和 f ¢(x) 的情況如下：故 f (x) 的單調(diào)減區(qū)間為(-¥, ln(-a)；單調(diào)增區(qū)間為(ln(-a), + ¥)從 而 f (x)的 極 小 值 為 f ( l-n a( = )-a) + a；沒(méi) 有 極 大值6 分（）解：g(x) 的定義域?yàn)?0, +¥) ，且 g¢(x) = a - 1 = ax -1 xx8 分 當(dāng)a = 0 時(shí)， f (x) 在R 上單調(diào)遞增， g(x) 在(0, + ¥) 上單調(diào)遞減，不合題意

7、9 分 當(dāng)a < 0 時(shí)， g¢(x) < 0 ， g(x) 在(0, + ¥) 上單調(diào)遞減當(dāng)-1 £ a < 0 時(shí)， ln(-a) £ 0，此時(shí) f (x) 在(ln(-a), + ¥) 上單調(diào)遞增，由于 g(x) 在(0, + ¥)上單調(diào)遞減，不合題11 分意當(dāng) a < -1 時(shí)， ln(-a )>， 此時(shí) f (x) 在 (-¥, ln(-a) 上單調(diào)遞減， 由于 f (x) 在(0, + ¥) 上單調(diào)遞減，符合題意- 4 -x(-¥, ln(-a)ln(-a)(ln

8、(-a), + ¥)f ¢(x)-0+f (x)綜上，a 的取值范圍是(-¥, -1) 13 分19（本小題滿分 14 分）（）解：依題意，直線 AB 的斜率，設(shè)其方程為 y = k(x +1) 1 分x2y2將其代入+= 1，整理得 (4k + 3)x + 8k x + 4k -12 = 0 2222433 分-8k 2設(shè) A(x1, y1 ) ，B(x2 , y2 ) ，所以 x1 + x2 = 4k 2 + 3 4 分x + x-4k 2故點(diǎn)G 的橫坐標(biāo)為 12 =24k 2 + 3-4k 21=-，依題意，得4k 2 + 346 分解得k =±

9、1 2（）解：假設(shè)直線 AB ，使得7 分S1 = S2 ，顯然直線 AB 不能與 x, y 軸垂直-4k 23kG(4k 2 + 3 4k + 3,) 由（）可得28 分因?yàn)?DG AB ，3k4k 2 + 3´ k = -1，所以-4k 2- xD4k 2 + 3-k 2-k 2=， 即4k 2 + 3解得 xDD(, 0) 4k 2 + 310 分- 5 -因?yàn)?GFD OED ，所以 S1 = S2 Û| GD |=| OD |11 分-k 2-4k 2-k 23k-) + (2) =2(4k 2 + 34k + 3所以，4k + 34k + 322212 分整理得

10、 8k 2 + 9 = 0 13 分因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解，所以不直線 AB ，使得 S1 = S2 14 分20（本小題滿分 13 分）5（）解：當(dāng)n = 5 時(shí)，由d ( A, B) = å| ai - bi |，i=1得 d(A, B) =|1- 2 | + | 2 - 4 | + |1- 2 | + | 2 -1| + | 5 -3| = 7 ，所以d(A, B) = 7 3 分（）證明：設(shè) A = (a1, a2, an ) ， B = (b1,b2 ,bn ) ， C = (c1, c2 , cn ) 因?yàn)?$l > 0 ，使 AB = l BC ，所以 $l > 0

11、 ，使得(b1 - a1,b2 - a2 ,bn - an ) = l(c1 - b1, c2 - b2 ,cn - bn ) ，所以 $l > 0 ，使得bi - ai = l(ci - bi ) ，其中i = 1, 2, n bi - ai與 ci - bi (i = 1, 2, n)同 為 非 負(fù) 數(shù) 或 同 為 負(fù)所 以6 分?jǐn)?shù)nn所以 d ( A, B) + d (B, C) = å| ai - bi | +å| bi - ci |i=1i=1- 6 -n= å(| bi - ai | + | ci - bi |)i=1n= å| ci

12、- ai | = d ( A,C) i=18 分20（）解法一： d ( A, B) = å| bi - ai |i=1設(shè) bi - ai (i = 1, 2, 20) 中有 m (m £ 20)項(xiàng)為非負(fù)數(shù)， 20 - m 項(xiàng)為負(fù)數(shù) 不妨設(shè)i = 1, 2,m 時(shí)bi - ai ³ 0 ； i = m +1, m + 2,20, 20 時(shí)， bi - ai < 0 d ( A, B) = å| bi - ai |i=1所以=(b1 + b2 + bm ) -(a1 + a2 + am ) +(am+1 + am+2 + a20 ) -(bm+1 +

13、 bm+2 + b20 )因?yàn)?d(I, A) = d(I, B) =13 ，20202020所以 å(ai -1) = å(bi -1) ，åaii=1= åbi i=1整理得i=1i=120d ( A, B) = å| bi - ai |= 2b1 + b2 +i=1+ bm - (a1 + a2 + am )所以10 分b1 + b2 + bm = (b1 + b2 + b20 ) -(bm+1 + bm+2 + b20 )因?yàn)?#163; (13 + 20) -(20 - m)´1 =13 + m ；+ am ³ m

14、´1 = m ，又 a1 + a2 +所以 d(A, B) = 2b1 + b2 + bm -(a1 + a2 + am )£ 2(13 + m) - m = 26 即 d(A, B) £ 26 12 分對(duì) 于A = (1,1,1,14) ， B = (14,1,1,A ， B Î S20 ， 且,1)， 有d( =I, B， d(A, B) = 26 A=)d( I,綜上，d ( A, B) 的最大值為26 - 7 -13 分解法二：首先證明如下引理：設(shè) x, y Î R ，則有| x + y |£| x | + | y |證明：因?yàn)?- |x | ， - | y |£ y £| y |，所以 -(| x |+ | y |) £ x + y £| x | + | y |，即 | x + y |£| x | + | y |2020d ( A, B) = å| bi - ai |= å| (bi -1) + (1- ai ) |所以i=1i=120£ å(| bi -1| +