函數(shù)定義域幾種類型及其求法

1、函數(shù)定義域幾種類型及其求法河北省承德縣一中黃淑華一、已知函數(shù)解析式型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組，解此不等式(或組)即得原函數(shù)的定義域。Jx2 _ 2x _15例1、求函數(shù)y二二-的定義域。|x +3| - 8解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足” 2x -2x 15 啟0即丿x +38式0x 5 或 x ： -3x 5 且 x 11解得 x . 5 或 x ： -3 且 x - -11即函數(shù)的定義域為x5或 x ： -3且 x -11二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能用常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個抽 象函數(shù)的定義域求另

2、一個抽象函數(shù)的定義域，一般有兩種情況。(一)已知f (x)的定義域，求f g (x) 1的定義域。即為其解法是：已知f(x)的定義域是a,b求f g(x) 1的定義域是解a乞g(x)乞b， 所求的定義域。例2、已知f (x)的定義域為-2,2，求f (x2 -1)的定義域。解：；2空x乞2， /乞x2 1乞2，解得3乞x乞3即函數(shù)f(x2 -1)的定義域為&(二)已知f g(x) 的定義域，求f (x)的定義域。其解法是：已知f lg(x) 1的定義域是a,b求f (x)的定義域的方法是：a _ x求g (x)的值域，即所求f (x)的定義域。例3、已知f(2x - 1)的定義域為1,2，求f

3、 (x)的定義域。 解：寫 1ExE2，” . 2 蘭 2x 蘭 4，二 3 蘭 2x+1 蘭 5。即函數(shù)f (x)的定義域是| 3 _ x _ 5 /。三、逆向思維型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對于已知定義域為R ,求參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決。例4、已知函數(shù)y二.mx? 6mx m 8的定義域為R求實數(shù)m的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域為R，表明mx2 _6mx m 8 _ 0，使一切x三R都成立，由x?項的系數(shù)是 m，所以應(yīng)分m =0或m = 0進行討論。 解：討論：函數(shù)的定義域為 R；當m =0時，當m = 0時,mx 2 - 6 mx - m

4、8 _ 0是二次不等式，其對一切實數(shù)x都成立的充要條件是2二 0 V m 蘭1.: = ( 一6 m) - 4m(m 8) _ 0綜上可知：0 _ m _1。評注：不少學(xué)生容易忽略 m =0的情況，希望通過此例解決問題。例5、已知函數(shù)f (x):的定義域是R，求實數(shù)k的取值范圍。kx +4kx +3kx - 72解：要使函數(shù)有意義，則必須kx 2 4 kx 3 = 0恒成立，. - 2因為f (x)的定義域為R，即kx 4 kx0無實數(shù)解23討論：當k = 0時，. -16k-4 3k : 0恒成立，解得0 : k ：4當k = 0時，方程左邊 =3=0恒成立。綜上得：3k的取值范圍是0 _

5、k ：4四、實際問題型這里函數(shù)的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實際意義對自變量的限制，這點 要加倍注意，并形成意識。例6、將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積 y關(guān)于一邊長x的函數(shù)的解析式，并求 函數(shù)的定義域。1解：設(shè)矩形一邊為 x，則另一邊長為(a -2x)于是可得矩形面積。21 122 丄 1y = x _ (a - 2 x) = ax - x = x ax。2 2 2由問題的實際意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)滿足x 01(a 2x) . 02”x 0anoa _2x 021 a故所求函數(shù)的解析式為：y = _x2 ax，定義域為(0, ) o2 2五、含參數(shù)型對于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時，必須對分母分類討論。例7、已知f (x)的定義域為0,1，求函數(shù)F (x) = f (x a) f ( a)的定義域。解：因為的定義域為0,1，即0 乞1。故函數(shù)F (x)的定義域為下列不等式組的解集:即兩個區(qū)間La,1 _a與la,1 - a 1的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點：1(1 )當a _ 0時，f (x)的定義域為| -a _ x _