第二章 非線性微分方程動(dòng)力系統(tǒng)的一般性研究

1、第二章 非線性微分動(dòng)力系統(tǒng)的一般性研究 在對(duì)一個(gè)由非線性微分方程所描述的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算格式之前，在對(duì)該模型所表示的控制系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)或其他工作之前，人們往往希望對(duì)該系統(tǒng)可能呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性有一個(gè)清楚的了解。特別是當(dāng)系統(tǒng)模型包含若干個(gè)可變參數(shù)時(shí)，人們又希望知道，這些參數(shù)的變化將如何影響整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。本章主要介紹非線性微分方程的一般理論，它將是進(jìn)一步研究和討論以下幾章的基礎(chǔ)。本章中將研究非線性常微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)：其中，是定義在某個(gè)開(kāi)集中的一階連續(xù)可微函數(shù)。首先，介紹系統(tǒng)(2.1)的流在任何常點(diǎn)鄰域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的共同特征。然后，分別介紹非線性微分方程的解的動(dòng)態(tài)特性研究中的三個(gè)主要的內(nèi)

2、容，即方程的平衡點(diǎn)、閉軌以及軌線的漸近性態(tài)分析。2.1 常點(diǎn)流、直化定理本節(jié)介紹系統(tǒng)(2.1)的流在任何常點(diǎn)鄰域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的共同特征，即證明如下的直化定理。定理2.1 設(shè)有定義在開(kāi)集上的動(dòng)力系統(tǒng)(2.1)，是它的一個(gè)常點(diǎn)，則存在的鄰域及其上的微分同胚，它將內(nèi)的流對(duì)應(yīng)為內(nèi)原點(diǎn)鄰域的一族平行直線段。證明：由于是常點(diǎn)，是中的非零向量，通過(guò)非奇異線性變換（坐標(biāo)軸的平移、旋轉(zhuǎn)和拉伸），可將對(duì)應(yīng)為新坐標(biāo)系的原點(diǎn)，且化為列向量（簡(jiǎn)記為），其中表示向量的轉(zhuǎn)置，代表維零向量，而微分系統(tǒng)可化為與此同時(shí)，的鄰域，在線性變換的作用下化為原點(diǎn)參見(jiàn)圖2.1(b)。根據(jù)解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在的鄰域和包含的

3、區(qū)間，使得系統(tǒng)(2.1) 從中任何一點(diǎn)出發(fā)的解在上存在，且關(guān)于其變量是連續(xù)可微的。 進(jìn)一步，即對(duì)任意的，其中，系統(tǒng)(2.1)過(guò)點(diǎn)有解曲線滿足。 令，則得到映射?？疾鞂?dǎo)算子，因。又由于，故有，其中表示階單位方陣。于是導(dǎo)算子。由反函數(shù)定理知，在的一個(gè)鄰域，為局部微分同胚。取的鄰域。由于均為微分同胚，因而也是微分同胚，且它將中(2.1)的常點(diǎn)的鄰域內(nèi)的流映射為中開(kāi)集內(nèi)的一族平行于軸的直線段（見(jiàn)圖2.1）。證畢。圖2.1 對(duì)于離散系統(tǒng)的常點(diǎn)，有類似結(jié)論。只需改為：在常點(diǎn)鄰近的離散軌道在微分同胚之下，都相應(yīng)分布在一族平行直線段上。2.2平衡點(diǎn)及其動(dòng)態(tài)特性2.2.1 基本概念 考慮以下非線性常微

4、分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)：定義2.1 假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，它是“穩(wěn)定的”是指：如果對(duì)的任一個(gè)鄰域，存在個(gè)子鄰域，使沿系統(tǒng)(2.1)的任何個(gè)滿足初始條件：的解對(duì)皆在存在且位于之中(圖2.2)。進(jìn)而，如果可選得一個(gè)，使得對(duì)任何都有那么被稱為是浙近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)或匯(圖2.3)。 圖2.2 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 圖2.3 漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)定義2.2 假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，且沒(méi)有零特征值和純虛數(shù)特征值，那么被稱為是雙曲型的平衡點(diǎn)或非退化平衡點(diǎn)。 顯然，對(duì)雙曲型平衡點(diǎn)而言如果所有特征值皆有負(fù)實(shí)部，那么是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而當(dāng)?shù)奶卣髦抵心承┚哂胸?fù)實(shí)部，另一些卻具有正實(shí)部時(shí)，是不穩(wěn)定的，它被稱為鞍點(diǎn)(

5、saddle)；進(jìn)而，如果所有持征值皆有正實(shí)部，那么是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，此時(shí)被稱之為源(source)。例題2.1 (Lienard方程)考慮的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性。 易推得，Lienard方程的等價(jià)形式為其中，。從定義可知，該方程平衡點(diǎn)是，同時(shí)該系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處Jacobian矩陣為其兩個(gè)特征值沒(méi)分別是所以，當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)是匯；而時(shí)，是源。2.2.2平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析 對(duì)于雙曲型平衡點(diǎn)而言，其穩(wěn)定性完全可以由相應(yīng)的線性化系統(tǒng)來(lái)判斷。假設(shè)是系統(tǒng)(1.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，那么在點(diǎn)系統(tǒng)的線性化系統(tǒng)定義為其中是的Jacobian矩陣，。以下定理給出了個(gè)十分有用的結(jié)論，即雙曲型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與其相應(yīng)的線性近似系統(tǒng)在原

6、點(diǎn)的穩(wěn)定性樣。定理2.2 如果沒(méi)有零或純虛數(shù)特征值，那么存在一對(duì)一連續(xù)可逆變換(稱之為同胚)，它定義于中的某個(gè)鄰域之內(nèi)，將非線性方程的解映射為相應(yīng)線性方程(1.2)的解，并保持解的性態(tài)不變。 以上定理的證明可以在Hartman P在1964年出版的專著中找到。這里不再引述。 然而，當(dāng)不是雙曲型不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，就無(wú)法應(yīng)用上述定理，從線性化系統(tǒng)來(lái)判斷其穩(wěn)定性，下面的Liapunov定理給出了條途徑。定理2.3 假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，如果存在一個(gè)可微函數(shù)，它定義于的某個(gè)鄰域內(nèi)，且，當(dāng)時(shí)。，在中，其中是(2.1)的軌線。那么是穩(wěn)定的。進(jìn)而，如果在中，那么是漸近穩(wěn)定的。 上述定理給出了一個(gè)并不需要

7、求解而判斷不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性的方法，但是定理中的函數(shù)(被稱為L(zhǎng)iapunov函數(shù))的構(gòu)造卻是一件不容易的事。上述定理的證明可參見(jiàn)常微分方程有關(guān)穩(wěn)定性理論的部分。2.2.3平衡點(diǎn)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形定義2.3 系統(tǒng)(2.1)的穩(wěn)定子空間記作，不穩(wěn)定子空間記作，而中心子空間記作。其中是對(duì)應(yīng)于具有負(fù)實(shí)部特征值的廣義特征向量，是對(duì)應(yīng)于正實(shí)部特征值的廣義特征向量，而是對(duì)應(yīng)于具有零實(shí)部的特征值的廣義特征向量。它們分別又稱為不變穩(wěn)定、非穩(wěn)定和中心子空間。例題2.2 如果那么如圖2.4所示。圖2.4 廣義特征空間定義2.4 假設(shè)是(2.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，系統(tǒng)(2.1)的流是，那么的局部穩(wěn)定流形和局部非穩(wěn)定流形分別

8、是其中是的一個(gè)鄰域。 不難看出和給出了線性化系統(tǒng)(2.1)的穩(wěn)定子空間和不穩(wěn)定子空間的非線性的模擬。以下定理給出了更確切的描述。定理2.4 (平衡點(diǎn)穩(wěn)定流形定理) 假設(shè)有一個(gè)雙曲平衡點(diǎn)，那么存在局部穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形和，其維數(shù)為和，分別與線性化系統(tǒng)的子空間和的維數(shù)相等，且與和相切。同時(shí)，和與具有相同的光滑性。上述結(jié)論如圖2.5所示，其證明可參閱Hartman1964和7。圖2.5 穩(wěn)定流形進(jìn)而還有如下的中心流形定理。定理2.5 假設(shè)是上定義的一個(gè)向量場(chǎng)，。讓，其譜分解為又設(shè)和的廣義特征空間分別是和。那么，存在著穩(wěn)定的不變流形和不穩(wěn)定的不變流形分別在與和相切和個(gè)中心流形與在相切。其中和是唯確定，而

9、并非唯一(如圖2.6)。圖2.6中心流形、穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形定義2.5 全局穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形分別為 根據(jù)微分方程(2.1)的解的存在性和唯一性可知，兩個(gè)不同的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定(或非穩(wěn)定)流形不能相交；(或)也不能自我相交；而不同的平衡點(diǎn)或同一個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形卻可能相交。例題2.3考慮二維系統(tǒng)原點(diǎn)是其唯一的平衡點(diǎn)，其線性化系統(tǒng)為易得分別如圖2.7所示。圖2.7 穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形2.3 閉軌及其動(dòng)態(tài)特性2.3.1 基本概念 從線性微分方程內(nèi)容已知，常微分方程除了平衡點(diǎn)是其解外，還有可能出現(xiàn)周期解，即假設(shè)為系統(tǒng)(2.1)的解，且存在一個(gè)常數(shù)，使得，那么就是(2.1)的一個(gè)周期解，該軌

10、線稱之為閉軌（閉環(huán)）或周期軌線。類同平衡點(diǎn)的情況，有：定義2.6 讓為系統(tǒng)(2.1)的一個(gè)閉軌(closed orbit)，為的某一個(gè)鄰域。那么，它的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形分別為 定義2.7 假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個(gè)閉環(huán)，為系統(tǒng)的流。如果對(duì)某一個(gè)開(kāi)集，存在一個(gè)開(kāi)子集：，使得，那么是個(gè)穩(wěn)定的閉環(huán)；若對(duì)任一個(gè)開(kāi)集，都有上述性質(zhì)，并且其中為流與閉軌間的距離，那么，就稱為一個(gè)漸近穩(wěn)定的閉環(huán)（如圖2.8所示），或周期吸引子。圖2.8 周期吸引子2.3.2 Poincare映射 在經(jīng)典的常微分方程理論中，人們比較詳細(xì)地研究了線性系統(tǒng)及部分類型非線性系統(tǒng)的周期解的存在性和穩(wěn)定件，以下所述的Poincare映

11、射法從幾何的觀點(diǎn)分析了閉執(zhí)的存在性和穩(wěn)定性。假定是中由非線性系統(tǒng)的某個(gè)流的一個(gè)閉軌，又設(shè)為一個(gè)維的超曲面，且對(duì)所有的皆成立，其中是在處的單位法向量（此時(shí)，稱之為流與處處橫截）。設(shè)與有唯一的交點(diǎn)，為的某個(gè)鄰域。那么對(duì)上某點(diǎn)的Poincare映射定義為其中是經(jīng)點(diǎn)的軌線首次回到所需的時(shí)間(一般說(shuō)來(lái)，依賴于，也不定等于閉軌的周期，然而，當(dāng)時(shí)將有)。圖2.9 Poincare映射顯然，點(diǎn)是Poincare映射的一個(gè)平衡點(diǎn)。同時(shí)，由定義知道，Poincare映射可以從微分方程的通解來(lái)取得。例題2.4 考慮一個(gè)平面系統(tǒng)：取橫截超曲面是。利用極坐標(biāo)，將上述方程改寫(xiě)成此時(shí)超曲面就是，于是可解得全局流為。取，那么

12、Poincare映射便為.易見(jiàn)時(shí)的一個(gè)平衡點(diǎn)，即表示原系統(tǒng)有一個(gè)半徑為1的圓閉軌。2.3.3映射的動(dòng)態(tài)特性和閉軌的穩(wěn)定性定義2.8 假設(shè)映射，其中為開(kāi)集，如果，那么，稱之為映射的一個(gè)平衡點(diǎn)。定義2.9 假設(shè)是映射的一個(gè)平衡點(diǎn)，如果對(duì)的每一個(gè)鄰域，存在一個(gè)于鄰域，使得，且那么稱是漸近穩(wěn)定的，或稱之為匯。定理2.6 假設(shè)是映射的一個(gè)平衡點(diǎn)，且，那么是漸近穩(wěn)定的。證為敘述方便起見(jiàn)，設(shè)，由條件及線性代數(shù)理論，在中適當(dāng)選定一個(gè)范圍后，對(duì)某個(gè)常數(shù)將有讓，根據(jù)Taylor定理，存在的一個(gè)鄰域，使得于是對(duì)的任一個(gè)鄰域，選為以為中心，半徑為充分小的超球，且。所以即及故，且 由此定理可見(jiàn)，倘若是Poincare映

13、射的一個(gè)匯，那么所對(duì)應(yīng)的閉軌是漸近穩(wěn)定的。根據(jù)此結(jié)論由例題2.4中Poincare映射可算得所以閉軌是漸近穩(wěn)定的。這樣一來(lái)，我們證明了例題2.4中的系統(tǒng)存在一個(gè)漸近穩(wěn)定的閉軌。 利用Poincare映射研究閉軌的存在性和穩(wěn)定有其幾何直觀上的優(yōu)點(diǎn)，而從形式上的研究，平均化方法不失也是一個(gè)有效的手段。2.3.4平均化定理和擾動(dòng)系統(tǒng)閑軌在振蕩器研究中人們常常會(huì)遇到如下形式的微分方程動(dòng)力系統(tǒng)：(2.4)其中是（）函數(shù)，它在有界集上有界，且關(guān)于是周期為的函數(shù)。于是，可以根據(jù)下述定理來(lái)判斷閉軌的存在性和穩(wěn)定性。定理2.7 系統(tǒng)(2.4)的平均化方程為(2.5)（1） 如果是系統(tǒng)(2.5)的一個(gè)雙曲型平衡點(diǎn)

14、，那么存在，使得對(duì)所有的，系統(tǒng)(2.4)有唯一的雙曲型周期軌線，并且具有與相同的穩(wěn)定性。（2） 如果是系統(tǒng)(2.4)的位于雙曲周期軌線的穩(wěn)定流形上的解，而是系統(tǒng)(2.5)的位于雙曲平衡點(diǎn)的穩(wěn)定流形上的解，并且，那么。（類似結(jié)論對(duì)不穩(wěn)定流形上的解也成立，只是）證 如下一章定理3.7所述，存在一個(gè)坐標(biāo)變換它可使式(2.4)變?yōu)?2.6)其中是時(shí)間的周期函數(shù)，周期為。 這里將式(2.5)和(2.6)改寫(xiě)成：(2.7)和(2.8)其中是長(zhǎng)度為的圓周。 很清楚，如果能證明式(2.7)雙曲型閉軌的存在性意味著式(2.8)具有相同類型的周期軌線，那么本定理之(1)就能得證。于是考慮它們的Poincare映射

15、。 定義一個(gè)截面，并設(shè)和分別是由式(2.7)和(2.8)所定義的Poincare映射，其中是某個(gè)開(kāi)集。 因?yàn)槭?2.8)的解是式(2.7)的解的-接近（），所以也是-接近。如果是式(2.5)的雙曲平衡點(diǎn)，那么它也是的雙曲不動(dòng)點(diǎn)，因此，可逆，這意味著有唯一解且是-接近。 進(jìn)而，由于的特征值連續(xù)地依賴于，所以兩個(gè)平衡點(diǎn)具有相同的穩(wěn)定性。于是式(2.8)有周期軌線且-接近于。 綜上所述，式(2.5)有雙曲型平衡點(diǎn)表示式(2.6)有同類型的閉軌。而上面論述指出，此時(shí)式(2.8)也有具有相同類型的閉軌。從式(2.7)的由來(lái)知道式(2.6)有相同穩(wěn)定性的雙曲型周期軌線，當(dāng)然作為對(duì)逆變換后的系統(tǒng)(2.4)也

16、具有相同穩(wěn)定性的雙曲型周期軌線且-接近于，即第(1)點(diǎn)得證。 (2)的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)2。該結(jié)論同時(shí)也是Hirsch，1977一書(shū)中定理4.1的直接推論。故而這里不再?gòu)?fù)述了。利用平均化定理，對(duì)周期軌線的研究有時(shí)就變得十分簡(jiǎn)單。例題2.5考慮。因?yàn)槠淦骄匠淌鞘瞧湟粋€(gè)穩(wěn)定的雙曲型平衡點(diǎn)，所以原系統(tǒng)在附近有一個(gè)穩(wěn)定的雙曲型閉軌。例題2.6 考慮Van der Pol振蕩器系統(tǒng)：令，那么，原系統(tǒng)變?yōu)?2.9)消去可得(2.10)從而可應(yīng)用平均化定理。不難算得，在讓后的平均方程為顯然它的平衡點(diǎn)是，而由于的無(wú)意義及的平凡性，平均方程只有不穩(wěn)定的雙曲型平衡點(diǎn)，從而式(2.10)有個(gè)位于鄰域的不穩(wěn)定的周期軌線

17、。由于增加時(shí)隨之減少，所以對(duì)應(yīng)的式(2.9)的周期軌線存在且穩(wěn)定。例題2.7 考慮受迫的Van der Po1系統(tǒng)：在坐標(biāo)變換之下，系統(tǒng)變?yōu)橐韵碌南到y(tǒng)，如果定義那么系統(tǒng)的平均方程將為其平衡點(diǎn)分布如圖2.10.圖2.10 Van der Po1系統(tǒng)平衡點(diǎn)分布I： 唯一穩(wěn)定平衡點(diǎn)；II：兩個(gè)平衡點(diǎn)，其一為匯，另一為鞍點(diǎn)；III：唯一不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；IVb：三個(gè)平衡點(diǎn)：匯、源和鞍點(diǎn)。系統(tǒng)平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的周期軌線，也對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的周期軌線。2.4軌線的漸近性態(tài)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析中，除了判定平衡點(diǎn)、閉軌的存在性與穩(wěn)定性之外，軌線的漸近性態(tài)分析也是一項(xiàng)主要的內(nèi)容。2.4.1 基本概念定義2.10 (非游

18、蕩集和游蕩集) 一個(gè)點(diǎn)對(duì)于系統(tǒng)流非游蕩是指：如果對(duì)的任一個(gè)鄰域，都存在任意大的使得。由所有這樣的非游蕩點(diǎn)組成集合就稱之為非游蕩集。否則，被稱之為游蕩點(diǎn)和游蕩集。 顯然穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和周期軌道是非游蕩集。 又如阻尼調(diào)和振蕩器系統(tǒng)方程是，或可寫(xiě)成是其唯一的非游蕩點(diǎn)。而對(duì)無(wú)阻尼振蕩器而言，平面上所有的點(diǎn)諧是非游蕩點(diǎn)。定義2.12 (吸引集) 一個(gè)閉的不變集被稱之為吸引集是指：存在的某個(gè)鄰域，使得和對(duì)所有的皆成立。繼而，定義是的吸引域(即是的不變流形)。 同樣，排斥集是指和對(duì)所有的皆成立的集合。 根據(jù)定義可知，分離的吸引集的吸引域必然不相交，它們是由非吸引集的穩(wěn)定流形所分隔(如圖2.11)。圖2.11

19、吸引域2.4.2非線性系統(tǒng)的軌線非線性常微分方程動(dòng)力系統(tǒng)(1.1)的軌線會(huì)呈現(xiàn)出許多的動(dòng)態(tài)特性和漸近特性，但是從軌線的形式而言，以下定理指出其軌線只能是屬三類：平衡點(diǎn)、閉軌和不封閉軌線之一。定理2.8 系統(tǒng)(1.1)的執(zhí)線必為以下三類型之一： (1)平衡點(diǎn)：對(duì)所有皆成立； (2) 閉軌：存在一個(gè)常數(shù)，使得，但對(duì)任何的，(即為此閉軌的周期)； (3) 非閉軌線：即時(shí)。證 若流不是類型(3)，那么有，使得所以令，顯然，且令是一切使上式成立的正數(shù)的集合，因?yàn)榧嫌钟邢陆?，所以必有下確界，即在內(nèi)存在個(gè)數(shù)列，使得。若，那么意味著，即軌線為閉軌。若，由于（其中方括號(hào)表示取整數(shù)部分)對(duì)任意固定的皆成立，即有

20、，即，軌線為平衡點(diǎn)。2.5 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性 一個(gè)系統(tǒng)中小所涉及到的函數(shù)在受到小擾動(dòng)后，系統(tǒng)能否仍然保持其定性性態(tài)的問(wèn)題已引起科方而研究的關(guān)注，例如自動(dòng)控制理論中的魯棒性(Robustness)的研究。本節(jié)作一簡(jiǎn)介，說(shuō)明系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問(wèn)題所關(guān)系到的概念和某些結(jié)論。2.5.1 基本概念定義2.13假設(shè)，那么被稱為的一個(gè)的-攝動(dòng)是指：存在個(gè)緊集，使得(在集合上)并且對(duì)所有的皆有。定義2.14兩個(gè)映射和是等價(jià)(或共扼)()是指：存在個(gè)的一對(duì)一可逆連續(xù)映射 (即微分同胚)，使得若和是等價(jià)，那么稱它們?yōu)橥負(fù)涞葍r(jià)。定義2.15 兩個(gè)向量場(chǎng)和說(shuō)是等價(jià)是指：存在個(gè)的一對(duì)一可逆連續(xù)映射 (即微分同胚)，使得的軌線與的

21、軌線對(duì)應(yīng)且保持性態(tài)不變(即對(duì)任何的和，存在使得)。定義2.16 (結(jié)構(gòu)穩(wěn)定) 映射(或一個(gè)向量場(chǎng))稱為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定是指：存在小參數(shù)，使得(或)所有的所有-攝動(dòng)都與(或)拓?fù)涞葍r(jià)。2.5.2 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性定理定理2.9假設(shè)是開(kāi)集上的一個(gè)向量場(chǎng)，其中且滿足以下條件： (1)在中只有一個(gè)平衡點(diǎn)，且它是一個(gè)匯； (2)沿著的邊界，向量場(chǎng)指向內(nèi)部，即。 (3)，是的流，那么在上結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。 該定理的證明在文獻(xiàn)1中可以查到，此基本思路是證明對(duì)一對(duì)非常接近的向量場(chǎng)而言，存在唯一的平衡點(diǎn)，它位于之鄰近；其次的所有在內(nèi)的軌線都趨于。一旦上述結(jié)論得證，就可以定義一個(gè)一對(duì)一的可逆連續(xù)映射(同胚映射)，且對(duì)應(yīng)于-軌線和-軌線

22、。從而和是拓?fù)涞葍r(jià)，即為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。綜上所述，很清楚地可看到具有非雙曲型平衡點(diǎn)的向量場(chǎng)不可能是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，同樣，該向量場(chǎng)所有的閉軌必須是雙曲型的。2.5.3平衡點(diǎn)和閉軌的保留性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系統(tǒng)具有許多“優(yōu)秀”的品質(zhì)，任何允分靠近的系統(tǒng)具有相同的定性性態(tài)。其一是平衡點(diǎn)的保留性：。定理2.10假設(shè)是一個(gè)向量場(chǎng)，是的一個(gè)雙曲平衡點(diǎn)，那么，對(duì)任何，總存在的一個(gè)鄰域以及的一個(gè)鄰域，使得對(duì)任何，有唯一平衡點(diǎn)，它也是雙曲型平衡點(diǎn)，且。對(duì)于閉環(huán)也有類似的結(jié)論。定理2.11讓是一個(gè)向量場(chǎng)，其流是。我們又假設(shè)存在閉軌，周期為(為方便起見(jiàn)，沒(méi)在上)。讓為局部截割在處的一個(gè)Poincare映射，為閉軌的一個(gè)鄰域，并設(shè)不是映

23、射的特征值。那么存在的一個(gè)鄰域，使得對(duì)每個(gè)，都有一個(gè)閉軌。不一定是唯的閉軌，然而當(dāng)是周期吸引子且g充分接近時(shí)，也是周期吸引子且唯一。2.6 二維流在本節(jié)中，考慮以下的二維常微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)：(2.11)其中和充分光滑。多年來(lái)，人們對(duì)二維系統(tǒng)作了許多探索，揭示了其復(fù)雜和豐富的動(dòng)態(tài)特性。本節(jié)既是一個(gè)基本小結(jié)又是如何進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析的演示，使讀者能更直觀地理解前面的論述。2.6.1 二維線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性二維線性系統(tǒng)的形式為(2.12)其中是常數(shù)；記稱之為系統(tǒng)(2.12)的系數(shù)矩陣。對(duì)系統(tǒng)(2.12)的分析已經(jīng)全部完成，其結(jié)論如下。假定矩陣的秩等于(對(duì)于的秩小于的情況，讀者易得所有結(jié)論)。那么為系

24、統(tǒng)(2.12)的唯一平衡點(diǎn)，并且根據(jù)矩陣的特征值，該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和軌線性態(tài)有以下類型：(1)具有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)特征值：，那么被稱為鞍點(diǎn)其軌線圖如圖2.12所示。圖2.12 鞍點(diǎn) (2)具有兩個(gè)帶有負(fù)實(shí)部的特征值時(shí)，有以下4種情況出現(xiàn)，此時(shí)點(diǎn)被稱為匯（sink）。有兩個(gè)負(fù)的實(shí)特征值，且互不相等，那么稱為結(jié)點(diǎn)，其執(zhí)線圖如圖2.13所示。有兩個(gè)相等的負(fù)的實(shí)特征值，且可對(duì)角化，被稱為臨界結(jié)點(diǎn)，共軌線圖如圖2.14所示。有重的負(fù)特征值，但不能對(duì)角化，此時(shí)稱為非正常結(jié)點(diǎn)，其軌線圖如圖2.15所示。有兩個(gè)帶有負(fù)實(shí)部復(fù)特征值，那么被稱為焦點(diǎn)，其軌線如圖2.16所示。 (3)具有兩個(gè)帶正實(shí)部的特征值時(shí)，也有與上

25、相應(yīng)的4種情況出現(xiàn)。此時(shí)為源(source)。有兩個(gè)正的實(shí)特征值，且互不相等，那么稱為結(jié)點(diǎn)，其執(zhí)線圖如圖2.17所示。有兩個(gè)相等的正的實(shí)特征值，且可對(duì)角化，被稱為臨界結(jié)點(diǎn)，共軌線圖如圖2.18所示。圖2.13穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) 圖2.14穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn)圖2.15穩(wěn)定非正常結(jié)點(diǎn) 圖2.16穩(wěn)定焦點(diǎn)有重的正特征值，但不能對(duì)角化，此時(shí)稱為非正常結(jié)點(diǎn)，其軌線圖如圖2.19所示。有兩個(gè)帶有正實(shí)部復(fù)特征值，那么被稱為焦點(diǎn)，其軌線如圖2.20所示。 (4)的特征值是兩個(gè)相互共扼的純虛數(shù)。那么為中心，其軌線圖如圖2.21所示。 綜上所述1情況(1)和(3)中的原點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，情況(2)中的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而情況

26、(4)中的原點(diǎn)是穩(wěn)定而非漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。圖2.17不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) 圖2.18不穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn)圖2.19不穩(wěn)定非正常退化結(jié)點(diǎn) 圖2.20不穩(wěn)定焦點(diǎn)圖2.21中心 2線性二維流的軌線如各圖所示，在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)處沒(méi)有其它動(dòng)態(tài)出現(xiàn)，即軌線圖是全局性態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 3當(dāng)沒(méi)有零實(shí)部特征值時(shí)，線性系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的（即情況(1),(2)和(3)）。2.6.2 二維非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 如上所述，對(duì)二維非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析的第步就是尋找其平衡點(diǎn)，即從和求解。繼而系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的線性化系統(tǒng)就是(2.13)或其中。如果矩陣的所有特征值皆無(wú)零實(shí)部，那么不僅是展示系統(tǒng)(2.11)的解的漸近性態(tài)，而且還提供了相位圖的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。然而

27、，當(dāng)線性化系統(tǒng)(2.13)的對(duì)應(yīng)的特征值是對(duì)純虛數(shù)（即系統(tǒng)(2.13)的平衡點(diǎn)是中心）時(shí)，可能不再是系統(tǒng)(2.11)的中心，其性質(zhì)的判斷有后繼判別法和形式級(jí)數(shù)判別法，讀者可考文獻(xiàn)4。另則，利用Liapunov方法可斷定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。這一類的論述可在一般的常微分方程論著中發(fā)現(xiàn)，此處不再?gòu)?fù)述了。 第二步探索就是判定該系統(tǒng)的周期解的存在性。對(duì)此，已有許多結(jié)論，而較為常用的有：定理2.12(Bendixson準(zhǔn)則) 如果在一個(gè)單連通區(qū)域上，不恒等于零也不改變符號(hào)，那么系統(tǒng)(2.11)在內(nèi)沒(méi)有閉軌。定理2.13(Dulac準(zhǔn)則) 如果有函數(shù)連續(xù)，且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，使得在單連通區(qū)域內(nèi)不變號(hào)，則系統(tǒng)(2.11)在內(nèi)沒(méi)有閉軌。例題2.8 研究系統(tǒng)：并畫(huà)出相位圖。圖2.22 全局相位圖解系統(tǒng)有平衡點(diǎn)，其中是鞍點(diǎn)，皆是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。在第一象限內(nèi)，用Dulac準(zhǔn)則，取可得。它在第一象限內(nèi)不變號(hào)，所以系統(tǒng)在第一象限內(nèi)無(wú)閉軌。類似可證在其他象限內(nèi)亦無(wú)閉軌。 又由于與都是該系統(tǒng)的軌線，所以不可能存在與軸或軸相交的閉執(zhí)。即系統(tǒng)在上無(wú)閉軌，其軌線圖必然如圖2.22所示。例題2.9 研究系統(tǒng)：解 系統(tǒng)平衡點(diǎn)是，其中，與是鞍點(diǎn)，是不穩(wěn)定焦點(diǎn)，用Dulac準(zhǔn)則，又可斷定系統(tǒng)在上無(wú)閉軌。其軌線圖如圖2.23所示。 然而二維流的動(dòng)態(tài)遠(yuǎn)比上述更豐富。例題2.10研究：。它是一個(gè)Hamilton系