協(xié)方差相關(guān)系數(shù)

1、問題問題 對于二維隨機(jī)變量(X ,Y ):已知聯(lián)合分布邊緣分布 對二維隨機(jī)變量,除每個隨機(jī)變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系. ( )( )EXE XYE Y數(shù)X,Y獨立時，值獨立時，值0 0；若0，則：X,Y一定不獨立；故該值反映了隨機(jī)變量 X , Y 之間的某種關(guān)系4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 稱( )( )E XE XY E Y為 X ,Y 的協(xié)方差. 記為: cov( , )( )( )X YE XE XYE Y稱)(),cov(),cov()(YDYXYXXD為（X , Y ）的協(xié)方差矩陣可以證明可以證明: 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 為為 半正

2、定矩陣半正定矩陣協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義定義定義常用的協(xié)方差的計算公式常用的協(xié)方差的計算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX (2)()()( )2Cov(, ).D XYD XD YX Y證明證明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) );,Cov(),Cov()1(

3、XYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(為為常常數(shù)數(shù)baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,稱)()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE為X ,Y 的 相關(guān)系數(shù)，記為:cov(,)()( )XYX YD XD Y事實上，),cov(YXXY 若, 0XY 稱 X ,Y 不相關(guān).無量綱 的量相關(guān)系數(shù)的定義相關(guān)系數(shù)的定義()XXXq )()(| ),cov(|2YDXDYX證證 令2( )( )()g tEYE Yt XE X)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)

4、(tg對任何實數(shù) t , Cauchy-Schwarz不等式0)()(4),(cov42YDXDYX即)()(| ),cov(|2YDXDYX相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì). 1)1( XY. 1,:1)2( bXaYPbaXY使使存在常數(shù)存在常數(shù)的充要條件是的充要條件是證明證明(1) Cauchy-Schwarz不等式保證. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存在常數(shù)存在常數(shù)的充要條件是的充要條件是1, XY事實上事實上20000200)()( )(0XbaYEXbaYDXbaYE , 0)(00 XbaYD. 0)(00 XbaYE由方差性質(zhì)知由方差性質(zhì)知. 100 XbaYP或或0)(2

5、00 XbaYE, 10)(00 XbaYP使使若存在常數(shù)若存在常數(shù)反之反之 ba ,1 XbaYP. 0)(2 XbaYE)(min2,bXaYEba )(200XbaYE )()1(2YDXY . 1 XY, 10)(2 XbaYP, 10)( XbaYP故有故有)(02XbaYE 求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 1 已知 X ,Y 的聯(lián)合分布為XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解 1 0 p qX Y P ,)(,)(,)(,)(pqYDpqXDpYEpXE,)(pXYE1,),cov(XYpqYX

6、 .),(),(222121相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的的與與試求試求設(shè)設(shè)YXNYX解解 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf由由,e21)(21212)(1 xxfxX.,e21)(22222)(2 yyfyY例例2.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而而.ddee)(1212112222121)1(212)(21221xyyxxyx ,1111222 xyt令令,11xu ututuYXtudde )1(21),Cov(2222122122 tuutudede22222122

7、ttuutudede212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是結(jié)論結(jié)論;,)1(的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與代表了代表了參數(shù)參數(shù)中中二維正態(tài)分布密度函數(shù)二維正態(tài)分布密度函數(shù)YX. )2(相互獨立相互獨立與與等價于等價于相關(guān)系數(shù)為零相關(guān)系數(shù)為零與與二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量YXYX.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 設(shè)設(shè)分別服從分別服從已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量?)3(.)2(.)1(為什么為什么是否相互獨立是否相互獨立與與問問的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與求求的數(shù)學(xué)期望和方差的數(shù)學(xué)期望和方差求求Z

8、XZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例3)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 Cov(,) ()( )0.XZX ZD XD Z故:,)3(可知可知立兩者是等價的結(jié)論立兩者是等價的結(jié)論關(guān)系數(shù)為零和相互獨關(guān)系數(shù)為零和相互獨由二維正態(tài)隨機(jī)變量相由二維正態(tài)隨機(jī)變量相.是相互獨立的是相互獨立的與與ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 例例4（略）（略） ?,),cos(,cos,2, 0的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)和和求求是常數(shù)是常數(shù)這里這里的均勻分布的均勻分布服從服從設(shè)設(shè) aa 解解, 0dcos21)(20 xxE ,21dcos21)(2022 xxE , 0d)(cos21)(20 xaxE ,21d)(cos21)(2022 xaxE ,cos21d)cos(cos21)(20axaxxE 數(shù)為數(shù)為由以上數(shù)據(jù)可得相關(guān)系由以上數(shù)據(jù)可得相關(guān)系.cos