中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明方法

1、中學(xué)不等式證明方法探究摘 要不等式，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用。因此不等式應(yīng)用問題表達(dá)了一定的綜合性、靈活多樣性，對(duì)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)融會(huì)貫穿，起到了很好的促進(jìn)作用。在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明。而不等式的證明，方法靈活多樣，還和很多內(nèi)容結(jié)合，它既是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)的難點(diǎn)，近年也演變?yōu)楦傎惷}的熱點(diǎn)，因其證明不僅蘊(yùn)涵了豐富的邏輯推理、非常講究的恒等和不等變形技巧，而且證明過程千姿百態(tài)，極易出錯(cuò)，因此，有必要對(duì)不等式的證明方法和技巧進(jìn)行總結(jié)歸納并與大家一起分享交流。本文通過對(duì)不等式的進(jìn)一步

2、研究，同時(shí)在前人的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的證明方法進(jìn)行再探討，得出了幾點(diǎn)新方法，再有就是對(duì)于一些題目，很多人都是用一些常用的方法來解決，而筆者則是通過另外的一種方法來解，并且解題過程相對(duì)簡單，在正文的例題當(dāng)中，我用方法二給出了我的證明過程，以饗讀者。關(guān)鍵詞：不等式；證明方法；證明技巧；換元法；微分法學(xué)習(xí)文檔 僅供參考證明不等式的方法靈活多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的

3、、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч保瑸闇贤?lián)系的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，到達(dá)欲證的目的通過不等式的基本知識(shí)、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識(shí)中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫穿，從而提高分析問題解決問題的能力在應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)1、比較法比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比較法證明的。其難點(diǎn)在第二步的“變形”上，變形的

4、目的是有利于第三步判斷，求差比較法變形的方向主要是分解因式、配方。1作差比較法的理論依據(jù)有：2作商比較法的理論依據(jù)有：3作差商比較法的步驟：作差商變形判斷符號(hào)與1的大小例1：求證：證明：法一： 法二： 說明：法一的變形主要是因式分解，其難點(diǎn)在于分解的因式，判斷的符號(hào)除用配方法外，還可用判別式法此法我們后面再述。證法二的變形主要是配方法，難點(diǎn)在于拆項(xiàng)，此法筆者又將其歸納為裂項(xiàng)法。通過本例，可以了解求差比較法的全貌，以及關(guān)鍵的第二步變形。例2：已知，求證：證明： 說明：觀察不等式的特點(diǎn)，充當(dāng)了真數(shù)和底，聯(lián)想到，進(jìn)而用了作商比較法，作商比較法的變形主要是利用某些運(yùn)算性質(zhì)和性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性等，我們

5、再看：例3：假設(shè)，求證：12證明：1， 又 2由1的結(jié)果，有 兩邊分別相乘得 2、綜合法利用某些證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所求證的不等式，這種證明方法叫做綜合法，綜合法的思考路線是“由因?qū)Ч?。?：1已知 2已知，求證：證明：1證法一： 且上面三個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立， 得證；證法二： 得證。2證法一： 證法二： 得證。說明：1題兩種方法的差異主要在于對(duì)不等式左邊施行不同的恒等變形，其目的都是為了有效地利用基本不等式，靈活地運(yùn)用均值不等式，這也是綜合法證明不等式的主要技巧之一；2題是條件不等式的證明，要找出條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析已知與求證，不等式左邊與右邊的差異與

6、聯(lián)系，去異求存同，找到證題的切入口，此題合理運(yùn)用條件的不同變形。3、分析法從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可判定所求證的不等式成立，這種證明方法叫做分析法，分析法的思路是“執(zhí)果索因”。例5：已知函數(shù)，假設(shè)求證：證明：要證原不等式成立，只需證明 事實(shí)上， 得證。4、換元法換元法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本方法。在不等式的證明過程中，按照所證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將不等式中的變量作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，可使不等式的結(jié)構(gòu)明朗，從而使不等式變得容易證明，這種方法稱為換元法。換元法的目的是把合命題化簡、化熟，把復(fù)雜的

7、、不熟悉的命題化為簡單的、熟悉的命題。換元法在許多實(shí)際問題的解決中可以起到化難為易、化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，但假設(shè)通過換元法的思想與方法來解就很方便，換元法多用于條件不等式的證明中，一般有增量換元、三角換元、和差換元、向量換元、利用對(duì)稱性換元、借助幾何圖形換元等幾種方法。1增量換元對(duì)對(duì)稱式任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變和給定字母順序的不等式，常用增量換元，換元的目的是通過換元到達(dá)減元，使問題化難為易，化繁為簡。例6：已知分析：考慮到，由此可以令這時(shí)問題轉(zhuǎn)化為“”。證明：令，下面只要證明：即可。 例7：假設(shè)分析：如何利用已知不等式是證明此題的關(guān)鍵，因?yàn)?，這樣可把已知的不等式關(guān)系換

8、成相等關(guān)系。證明： 得證。2三角換元三角換元就是根據(jù)已知的一些三角等式、三角代換來解決題目中的某些問題，如，問題中假設(shè)已知；假設(shè)已知；假設(shè)已知?jiǎng)t條件可設(shè)其中的范圍取決于的取值范圍，等等。例8：已知分析：由，可以聯(lián)想到的關(guān)系作三角代換。證明： ，即原不等式成立。3和差換元例9：對(duì)任意實(shí)數(shù)分析：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，令。證明：設(shè)，下面只需證 得證。4向量換元例10：已知分析：將不等式變形為，觀察其結(jié)構(gòu)我們可聯(lián)想到學(xué)習(xí)兩個(gè)向量的內(nèi)積是有這樣一個(gè)性質(zhì)：。證明：設(shè)， 則有 5利用對(duì)稱性換元例11：設(shè)分析：經(jīng)過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，把中的兩個(gè)互換，不等式不變，則可令證明：令 當(dāng)時(shí)，有否則中必有兩個(gè)不為正值，不妨設(shè)

9、則，這與矛盾因此：則有：綜上，恒有，把的值代人上式得：得證。6借助幾何圖形換元例12：已知是三邊的長，求證：分析：如圖，作，令其中，則原不等式可轉(zhuǎn)化為： 1再利用均值不等式：。證明：設(shè)為切點(diǎn)，令則原不等式可化為1的形式，又因?yàn)?，則有，所以1式成立，故原不等式成立。得證。7代數(shù)換元例13：已知，且 分析：引入?yún)?shù)，配湊成二次方程轉(zhuǎn)化為二次不等式證明：設(shè)則可令所以即所以，解得，即。得證。8分式換元例14：設(shè)分析：因?yàn)樗杂梅质綋Q元，轉(zhuǎn)化為均值不等式證明。證明：設(shè)，則，即9比值換元法對(duì)于在已知條件中含有假設(shè)干個(gè)等比式的問題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式即可。例15：已知證明：

10、設(shè)，于是把代入得：。得證。5、放縮法為了證明不等式，有時(shí)需舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性到達(dá)證題的目的，這種方法稱為放縮法，放縮時(shí)主要方法有：1舍去或加上一些項(xiàng)，如：2將分子或分母放大縮小，如：例16：設(shè)求證：證明： 又說明：在使用放縮法時(shí)，需要注意的是放縮要適度，不能放得過大或太小。6、反證法反證法就是從否認(rèn)結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定原命題成立，反證法必須考慮各種與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一個(gè)可能都是不完全的，如，要證不等式,先假設(shè)，根據(jù)題設(shè)及其他性質(zhì)推出矛盾，從而肯定成立。例17：已知證明：假設(shè)由于另一方面：由假設(shè)得顯然，是錯(cuò)誤的故。得證。說

11、明：對(duì)于存在、不都是、至少多、不全小大、某個(gè)反面：任意的等問題，通常從正面難尋突破口，可變換角度，巧用反證法往往會(huì)見奇效。7、判別式法如果所要證明的不等式可轉(zhuǎn)化為形如：的函數(shù)值域，或轉(zhuǎn)化為一元二次方程有實(shí)數(shù)根等問題，則可用判別式法到達(dá)證題目的。例18：假設(shè)求證都是不大于的非負(fù)數(shù)。證明：由，可得8、構(gòu)造法有些不等式可構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)，或構(gòu)造復(fù)數(shù)利用復(fù)數(shù)向量有關(guān)性質(zhì)，或構(gòu)造幾何圖形利用集合知識(shí)，還可以構(gòu)造數(shù)列利用數(shù)列相關(guān)性質(zhì)來證明不等式。1利用函數(shù)的單調(diào)性例19：求證：分析：由不等號(hào)兩邊形式可歸納為的形式，因此可考慮函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性。證明：構(gòu)造函數(shù)，設(shè)，在上是增函數(shù)，且令，則有 得證。2構(gòu)造復(fù)數(shù)利用復(fù)數(shù)向量有關(guān)性質(zhì)例20：求