《高等數(shù)學(xué)》單元測(cè)試題及詳細(xì)解答

1、高等數(shù)學(xué)單元測(cè)試及詳細(xì)解答陸航學(xué)院數(shù)理教研室編第一單元函數(shù)與極限2第一單元函數(shù)與極限測(cè)試題詳細(xì)解答6第二單元導(dǎo)數(shù)與微分12第二單元導(dǎo)數(shù)與微分測(cè)試題詳細(xì)解答15第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用21第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答25第四單元不定積分31第四單元不定積分測(cè)試題詳細(xì)解答34第五單元定積分39第五單元定積分測(cè)試題詳細(xì)解答42第六單元定積分的應(yīng)用47第六單元定積分的應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答50第七單元空間解析幾何與向量代數(shù)39第七單元空間解析幾何與向量代數(shù)測(cè)試題詳細(xì)解答42第八單元多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用47第八單元多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答50第九單元重積分81第九單元重積

2、分測(cè)試題詳細(xì)解答86第十章曲線積分與曲面積分91第十單元曲線積分與曲面積分測(cè)試題詳細(xì)解答96第十一章無窮級(jí)數(shù)91第十一單元無窮級(jí)數(shù)測(cè)試題詳細(xì)解答96第十二單元微分方程104第十二單元微分方程單元測(cè)試題詳細(xì)解答121第22頁(yè)第一單元函數(shù)與極限一、填空題X、,一一1、已知“sin)1cosx,則f(cosx)，一、22、lim)_。xx(1x)3、x0時(shí)，tanxsinx是x的階無窮小。L14、limxsin0成乂的k為。x0x5、limexarctanx。xe1x0.6、f(x)e,x0在x0處連續(xù)，則b。xb,x0丁ln(3x1)7、lim-。x06x8、設(shè)f(x)的定義域是0,1,則f(ln

3、x)的定義域是9、函數(shù)y1ln(x2)的反函數(shù)為10、設(shè)a是非零常數(shù)，則lim(a)x。xxa1則常數(shù)a11、已知當(dāng)x0時(shí)，(1ax2)31與cosx1是等價(jià)無窮小,3x12、函數(shù)f(x)arcsin的定義域是。1x13、limJx22Jx22nx2a14、設(shè)lim(工a)x8,則a。xxa15、lim(VnVn1)(n27n)=n、選擇題1、設(shè)“*)3儀)是l,l上的偶函數(shù)，八屋)是l,l上的奇函數(shù)，則中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。(A) f (x) g(X);(B) f (x)h(x)；(C)f(x)g(x)h(x)；(D)f(x)g(x)h(x)。.1x2、(x),(x)13/x,則當(dāng)x1時(shí)有

4、1x(A) 是比高階的無窮小;(B) 是比低階的無窮小;(C)與是同階無窮??；(D)3、函數(shù)f (x)x 0(x1)在x 0處連續(xù)，則k x 032(A) - ;(B);23(C) 1;(D) 0。4、數(shù)列極限 lim nln( n 1) In n(A) 1;(B)1;5、 f(x)sin x x x01 xcos- x(C);0是f (x)的(D)不存在但非(A)連續(xù)點(diǎn)；(B)可去間斷點(diǎn)；(C)跳躍間斷點(diǎn)；(D)振蕩間斷點(diǎn)。6、以下各項(xiàng)中f(x)和g(x)相同的是()(A) f(x)lgx.2,g(x)2lgx；(B) f(x)x,g(x)Jx2;(C)f(x)vx4x3,g(x)xVx1；

5、(D)f(x)sinx/、7、 lim=()x0|x|(C)0;(D) 不存在。(A)1;(B)-1;18、 lim(1x)x()x0(A)1;(B)-1;(C)e；(D)e9、f(x)在xq的某一去心鄰域內(nèi)有界是limf(x)存在的()xxq(A)充分必要條件；(B)充分條件;(C)必要條件；(D)既不充分也不必要條件10、limx(.x21x)x(A)1；(B)2;(C)(D)0。11、設(shè)an，bn，Cn均為非負(fù)數(shù)歹U,且limann0,limbnn1,limcn，則必有(n(A)anbn對(duì)任意n成立;(B)bncn對(duì)任意n成立;(C)極限limancn不存在；n(D)極限limbncn不

6、存在。n12、當(dāng)X1時(shí),x21函數(shù)x一1ex1177的極限()(A)等于2;三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限(C)為；(D)不存在但不為(1)limncn2sin(2)cscxlimx0cotX(3)limx1x(ex1);(4)limx2x(5)lim28cosx2cosx1xi2cosxcosxlim0limn12n(n1)(8)limx23、試確定a,b之值，使limxax4、利用極限存在準(zhǔn)則求極限(1)limn1231n_1o13x設(shè)x1xnn1期(ri1,2,2x11xsinxxtanxln(132x),3,2°arctan.4x),證明limxn存在，并求此極限值。nxx5、

7、討論函數(shù)f(x)limnxnx的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。nnn6、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且af(x)b,證明在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使f()、填空題1、八.22sinx。f(x)2、3、高階。4、5、6、7、8、9、第一單元函數(shù)與極限測(cè)試題詳細(xì)解答xf(sin-)12-22xf(cosx)-2.(43x)lim2xx(1x2)2x(12sin-)22sin22c222cosx2sinx。-2_-9x24x16lim3xxxtanxsinxlimlxm00。tanx(1cosx)lim(1cosx)x00,tanx,1，sin一為有界函數(shù),xlimx10、e2a11、asinx是x

8、的高階無窮小。所以要使limxkx0exarctanx0Pmf（x）河依f(0)b,b06x根據(jù)題意2。xey原式=lim(1x.1sin一x(limxb)b3xlimx06xln(x2),2,只要limx00,即k0。0,arctanxlimx0f(x)!im(e1)2,”)a1由(1ax2)3lnx(yax2a2axa1)ln(x2ae。11ax2與cosx3所以ln(x2),ey2）的反函數(shù)為2。以及112(1ax2)31r3ax2dlimlim3-a1,x0cosx1 x a x x a0123x23可信ao2“11，一A-，一12、-x-由反三角函數(shù)的定義域要求可得42汽1解不等式組

9、可得x 011x -42，x 1，、一，11f(x)的定義域?yàn)?x-o4213、limx22x22nlimn(,x22_x22)(x22x2_2)x22x22limnx2_2_(x2_2)_x22x220。14、 ln 23a ln81 , c a ln 83ln23ln2。15、2lim (、. n , n 1)(. n 2 n、n)limn(n n 1) 2(.n 2 . n)xa3axlim(Xa)Xmoa)右轉(zhuǎn)3a12(11)lim三nn2Jn1二、選擇題1、選(D)令 F(x)f(x)g(x)h(x),由f(x),g(x)是l,l上的偶函數(shù),h(x)是l,l上的奇函數(shù),F(x)f(x

10、)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)。(x)1x1x2、選(c)limlimlimx1(x)x1(1x)(13x)x1(1x)131(1x)(11x1x)(1x)33、選(A)limf(x)x0limx01x31x4、選(B)limnln(n1)Innlim1xlim-2x01x31ln(1一)n5、選(C)f(0)1,f(0)0,f(0)06、選（C）在（A）中f(x).2.、lnx的定乂域?yàn)閤0,而g(x)21nx的定義域?yàn)閤0,f(x)g（x）故不正確在(B)f（x）x的值域?yàn)椋?),g(x)vx的值域?yàn)閤0,故錯(cuò)在（C）中f（x）1的定義域?yàn)镽g(x)sec2xtanx的

11、定義域?yàn)閤R,xf(x)g(x),故錯(cuò)7、選（D）limx0sinx|x|sinxlimlimsinx|x|limx0sinx-lim不存在x0|x|8、選（D）1lim(1x)xx0呵1(x)x1)9、選（C）由函數(shù)極限的局部有界性定理知,limf(x)存在,xXo則必有Xo的某一去心鄰域使f（x）有界，而f（x）在Xo的某一去心鄰域有界不一定有l(wèi)imf(x)存在,例如xXo1-，limsin一,函數(shù)x0x10、選(C)1sin_1有界，但在x0點(diǎn)極限不存在x(limx(x21xX)limxC"21少x21x)x-x1xlimxlimx121x11、選（D）充分大時(shí)”(A)、(B)

12、顯然不對(duì)，因?yàn)橛袛?shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列“當(dāng)?shù)那闆r，不可能得出“對(duì)任意（C）也明顯不對(duì)，因?yàn)椤盁o窮小無窮大”n成立”的性質(zhì)。是未定型，極限可能存在也可能不存在。12、選（D）limx1ex11lim(x1威x12xlimx1x1xnPm(x11)ex-i當(dāng)x1時(shí)函數(shù)沒有極限,三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限：也不是(1)解:n.xlim2sinn2n,lim2nn(2)解:cscxcotxlimx2n1sinx2Xocosxsinx(3)解:1limx(exx(4)解:limx2x(5)1cosxxsinx2xlim-22x0x22x11)3xlim1x4)x212解:lim8cos2x-

13、2cos2x4cosx1limx-cosx13limx1。lim(1xlimx2cosx2x1)3xlim(1)“1)x21T。cosx14112二121.)23(2cosxlim1)(4cosx1)x-(2cosx1)(cosx1)2。(6)1xsinxcosx解：limxtanx1xsinxcosxxtanx(x1xsinxcosx)(8)xsinx1cosx解：limxlim(1xlim(1x解:3、解:limx4、（1）.2x2(23)ln(13.2x)arctanV4limx(1(a而limxxsinxlim2x02xn(n%(1n1m)1cosx2x2lim一32-xlim(x2&

14、#39;21-rx心4。(=x1axb)limx2d2x1ax(ab)xb、2a)x(ab)x(1b)b)13。limx（2）先證有界（數(shù)學(xué)歸納法）n1時(shí)，x24axiJaa設(shè)nk時(shí)，xka,則xkaxk數(shù)列七有下界,a2再證1單調(diào)減,xn1xnaxna1xn：.：xn且xn0xnXn即4單調(diào)減,limxn存在，設(shè)limxnA,則有l(wèi)imnxn5、解:先求極限得f(x)2x.nlim-27nnlimf(x)x0limx0f(x)f(x)的連續(xù)區(qū)間為,0)(0,0為跳躍間斷點(diǎn).o6、解:令F(x)f(x)而F(a)f(a)F(b)f(b)由零點(diǎn)定理,即f()，亦即f(F(x)在f(0)a,b上連

15、續(xù)第二單元導(dǎo)數(shù)與微分一、填空題f (0)存在，有f(0)2、3、1、已知f(3)2,則limf(3h)一曲=h02hyxxarctan,貝Uyx)=4、f(x)二階可導(dǎo)，yf(1$*),則丫=；y=5、曲線yex在點(diǎn)處切線與連接曲線上兩點(diǎn)(0,1),(1,e)的弦平行。6、ylnarctan(1x),貝Udy=。2.24dydy7、ysinx,貝U=,T"=。dxdx8、若f(t)limt(1-)2tx,則f(t)=。xx9、曲線yx21于點(diǎn)處的切線斜率為2。10、設(shè)yxex,則y(0)。11、設(shè)函數(shù)yy(x)由方程exycos(xy)0確定，則dy。dx2212、設(shè)t則d4。yco

16、stdx二、單項(xiàng)選擇1 一21、設(shè)曲線y一和yx在匕們交點(diǎn)處兩切線的夾角為，則tan=()。x(A)1;(B)1;(C)2；(D)3。k>3、函數(shù)f(x)e，且f(一)e,則k()。41，、-(A)1;(B)1;(C);(D)2。24、已知f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且limf(1x)f2,則曲線yf(x)在(1,2)x02x處切線的方程是(A)y4x6；(B)y4x2；(C)yx3;(D)yx5、設(shè)f(x)可導(dǎo),則limx 0-2- 2f (x x) f (x)_(A)0;(B) 2f(x) ；(C)2f (x)；(D) 2f(x) f(x)。6、函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，且f (x) f

17、(x)2,則f(x) =(A) nf(x)n1； (B) n!f(x)n1； (C) (n 1) f (x)n 1 ； (D) (n1)!f(x)2。7、若 f (x)x2,則 limx 0f(xo 2 x) f(xo)_(A)2xo ；(B) xo ；(C) 4xo ；(D) 4x o8、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處存在f (xo)和 f (xo),則 f (xo)f (xo)是導(dǎo)數(shù) f (%)存在的(A)必要非充分條件；(C)充分必要條件;(B)充分非必要條件；(D)既非充分又非必要條件。9、設(shè) f (x) x(x 1)(x2)(x99)則 f (o)(A) 99;(B)99(C) 99!;(

18、D)99。10、若f(u)可導(dǎo)，且yf(A) xf ( x2)dx ； (B)2xf，2、(x )dx ； (C)22、.2 f ( x )dx； (D) 2xf ( x )dx。11、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f'(o)0,使得(A) f (x)在(o,)內(nèi)單調(diào)增加;(B)f(x)在(,o)內(nèi)單調(diào)減少;(C)對(duì)任意的x (。，)有£仁)f (。)；(D)對(duì)任意的x(Q)有 f(x) f(。)。12、設(shè) f(x)x2s”o在x o處可導(dǎo)，則(A)a 1,bax(B) a 0,b為任意常數(shù);(C)a0,b0；(C)a1,b為任意常數(shù)。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題.212一、sinT

19、.xlnt-dy(1)ye，求dy；(2)3，求一2t1；ytdx(3)xarctanyy,dy;(4)ysinxcosx,求y(50)；dx(5)y(-x-)x，求y;1x(6)f(x)x(x1)(x2)(x2005),求f(0);f(x)(xa)(x),(x)在xa處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求f(a)、f(a)；(8)設(shè)f (x)在x 1處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且,df(1)2,求limf(cosvx1)。x1dx2、試確定常數(shù)a,b之值，使函數(shù)f(x)0處處可導(dǎo)。0b(1sinx)a2xaxe1x3、證明曲線x2y2a與xyb(a,b為常數(shù))在交點(diǎn)處切線相互垂直。4、一氣球從距離觀察員500米處離

20、地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上升到500米空中時(shí)，問觀察員視角的傾角增加率為多少。5、若函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)1,證明f(x)f(x)。6、求曲線yx33x25上過點(diǎn)(1,3)處的切線方程和法線方程。高等數(shù)學(xué)單元測(cè)試及詳細(xì)解答陸航學(xué)院數(shù)理教研室編第二單元導(dǎo)數(shù)與微分測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、12、f (0)3、 ln xlim f(3 h) f lim f(3 h) f(1)h 0 2hh 0 h2liiimf(x) f(0)f(0)x 0 x x 0 x 0 x1y in x y |x 1 in x11f (3)12

21、4、 f (1 sin x) cos x , f (1 sin x) cos2 x f (1 sin x) sin x2y f (1 sin x) cosx, y f (1 sinx) cos x f (1 sinx) sin x、e.一 e 15、(ln(e 1),e 1)弦的斜率 k J e 1 1 0_x、 _xy (e ) e e 1x ln(e 1),當(dāng) x ln(e 1)時(shí)，y e 1。6、dx2-arctan(1 x) 1 (1 x)dyarctan(1 x)darctan( 1x)arctan(1x)1 (12d(1 x) x)dxarctan(1x)1(1x)dxdydy24

22、2 2x sin 2xdx2xdx8、e2t2te2t f(t) lim t(1 1)2txte2t f(t)e2t2te2tx x9、(1,2)y 2x,由 2x02 x01,y0121 2y x 1在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為2x xx x xy e xe , y e e xe3424dy44334、4xsin2x,2xsin2x2sinxcosx4x4xsin2x10、2第23頁(yè)高等數(shù)學(xué)單元測(cè)試及詳細(xì)解答陸航學(xué)院數(shù)理教研室編第86頁(yè)11、12、1、3、4、5、6、y(0)e02exyysin(xy)exyxsin(xy)解得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得exyysin(xy)exyxsin(xy)x

23、y(1y')sin(xy)(yxy')0sinttcost4P由參數(shù)式求導(dǎo)公式得再對(duì)x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得d2ydx2選擇題選（D）tand(yx')dx(Yx')t'xt'|tan(1)|11(x)f(4)(A)lim幺x0dydxYl'xt'sint2t，1tcostsint1sinttcostt22t3°4t3交點(diǎn)為k2k1Ik1k2tankxe由limx02x1x)f(1)切線方程為：y2選（D）(1,1),k1(-)|x1x.21,k2(x)|x12ktank1x2、，secxf(1)limf(1x)f(1

24、)1)(2x42f(1)44(x1)即y4x-2x)f(x)f2(x)2f(x)f(x)f(x)f(x)23(x)2f(x)22f(x)f(x)-2-3f(x)f(x)2f3(x)一一-423f(x)設(shè)f(x)n!fn1(x),則f(n1)(x)(n1)!fn(x)f(x)(n1)!fn2(x)f(n)(x)n!fn1(x)7、選(C)limf(x02x)一f-x0)lim2f(x02x)-f(2f(x0)x0xx02x又f(x)(x2)2x,2f(x0)4x08、選(C)f(x)在x0處可導(dǎo)的充分必'要條件是f(x)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)f(x0)和右導(dǎo)數(shù)f(x0)都存在且相等。9、選(D

25、)f(x)(x1)(x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(x99)x(x1)(x2)(x98)f(0)(01)(02)(099)(1)9999!99!另解：由定義，f(0)limf(x)f(0)lim(x1)(x2)(x99)x0x0x099(1) 99!99!10、選(B)f(x2)f(x2)(x2)2f(x2)dy2xf(x2)dx11、由導(dǎo)數(shù)定義知f'(0)limf(xf-(0)0,x0x再由極限的保號(hào)性知0,當(dāng)x(,¥f(x)f(0)0,x從而當(dāng)x(,0)(x(0,)時(shí)，f(x)f(0)0(0),因此C成立，應(yīng)選Co12、由函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，

26、知函數(shù)在x0處連續(xù)-91limf(x)limxsin0,limf(x)lim(axb)b,所以b0。x0x0xx0x0又f(0)limx0f(x)f(0)所以a0。應(yīng)選三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題x0Colim(1)dy21d(sin-)x(2)dydx3t2彳3t3d2ydx2(3)兩邊對(duì)(4)設(shè)y(n)9t2丁tx求導(dǎo):2y3y2ysinxcosx3(y1sin2x2cos2xsin(2x)2n12sin(2x則y(n1)n2cos(2x(50)y_49_2sin(2x502)(5)兩邊取對(duì)數(shù):lnyxln兩邊求導(dǎo):lnx2.1xsinx2sin-cos-0,f(0)lim1,2)dxxf

27、(x)f(0)ax9t31)12sin2-2sin-exdxxxd2ydx2|t1(士2cos(2x2nsin(2x(n_49.一2sin2xln(1x)ln(1x)1)2)2sin(2x2-)2y(廣1x(6)利用定義：)xlnxln(1x)1f(x)f(0)xim°f(0)xm0(x1)(x2)(x3)(x2005)2005!f(x)(x)(xa)(x)f(a)(a)f(x)f(a)乂f(a)limxaxa(x)(a)lim-(x)xaxalimxa(a)(x)(xa)(x)(a)(a)2(a)注：因（x）在xa處是否二階可導(dǎo)不知,故只能用定義求。(8)limf(cos.x1)l

28、imf(cos.xx1dxx11)(sinx1)12、xlimf(cos.x1)limsinx12.xf(1)1(2)12、易知當(dāng)x0時(shí)，f（x）均可導(dǎo)，要使f(x)在x0處可導(dǎo)f(0)f(0),且f(x)在x0處連續(xù)。即limf(x)x0limx0f(x)f(0)limf(x)balimx0f(x)0(0)limx0f(x)f(0)lim(1sinx)(0)ax.elim3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為對(duì)x2y2曲線limaxe1limx0axax又由x(x0,y0),則x0a兩邊求導(dǎo)：2x2y2y。x°y0a在（x0,y0）處切線斜率k1|xx0x0y0曲線xyb在（Xo,yO）處切線斜率

29、k2y|xX0b2x0又k1k2(2)y。x0兩切線相互垂直。4、設(shè)t分鐘后氣球上升了兩邊對(duì)t求導(dǎo)：sec2ddt72cos25500m時(shí),500m時(shí),%y。x米，則tanddt5、證明：f顧°him01500dt252f(xh)f(x)f(x)f(h)f(x)f(0)f(x)f(0)f(x)6、解：由于y3x2k13x26x|x從而所求切線方程為又法線斜率為dxdt750x500140500725（弧度/分）f(x)f(h)f(x0)hf(h)f(0)6x,于是所求切線斜率為3,3(x3xy60k2ki所以所求法線方程為3(x3yx80第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、填空題1、2、

30、函數(shù)2x cosx在區(qū)間單調(diào)增。3、函數(shù)4 8x3 3x4的極大值是4、曲線x46x2 3x在區(qū)間是凸的。5、函數(shù)cosx在x 0處的2m 1階泰勒多項(xiàng)式是6、曲線3xxe 3x的拐點(diǎn)坐標(biāo)是7、在含x0的a, b(其中a b)內(nèi)恒有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且，則 f xoa,b上的最大值。8、y x3 2x 1 在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)。-)xtan x9、11、limcotx(-)x0sinxx“，.，110、lim(二x0x211、曲線yx2的上凸區(qū)間是12、函數(shù)yexx1的單調(diào)增區(qū)間是二、單項(xiàng)選擇1、函數(shù)f(x)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且f(0)0,f(0)1,f(0)f(x)x(A)不存在；(B)0;(C)-1;(D

31、)-2。2、設(shè)f(x)(x1)(2x1),x(A)單調(diào)增凹的;(C)單調(diào)增凸的;1),則在(一,1)內(nèi)曲線2(B)單調(diào)減凹的；(D)單調(diào)減凸的。f(x)(3、f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，x0(a,b),f(x0)f(x0)0,則f(x)在xx0處(A)取得極大值；(B)取得極小值；(C)一定有拐點(diǎn)(Xo，f(Xo);(D)可能取得極值，也可能有拐點(diǎn)。4、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則I：在(a,b)內(nèi)f(x)0與n：在(a,b)上f(x)f(a)之間關(guān)系是()(A) I是n的充分但非必要條件；(c) I是n的充分必要條件；5、設(shè)f(x)、g(x)在a,b連續(xù)可導(dǎo),(B) I是

32、n的必要但非充分條件；(D) I不是n的充分條件，也不是必要條件。f (x)g(x) 0,且 f(x)g(x) f(x)g(x),則xb時(shí)，則有(A)f(x)g(x) f(a)g(a)；(B)f (x)g(x) f(b)g(b)；g(x) g(a)(D)g(x) g(a)麗而。6、方程x33x10在區(qū)間(，)內(nèi)()(A)無實(shí)根；(B)有唯一實(shí)根；(C)有兩個(gè)實(shí)根；(D)有三個(gè)實(shí)根。7、已知f(x)在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)0,limf(x)2,則在點(diǎn)x0x01cosx處f(x)()(A)不可導(dǎo)；(B)可導(dǎo)，且f'(0)0;(C)取得極大值；(D)取得極小值。8、設(shè)f(x)有二階

33、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f'(0)0,limf31,則()x0|x|(A)f(0)是f(x)的極大值；(B)f(0)是f(x)的極小值;(D) f (0)不是f (x)的極值點(diǎn)。(C)(0,f(0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn);9、設(shè)a,b為方程f(x)0的二根，f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f'(x)在(a,b)內(nèi)(A)只有一實(shí)根;(B)至少有一實(shí)根;(Q沒有實(shí)根；(D)至少有2個(gè)實(shí)根。10、在區(qū)間1,1上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是(A)f(x)；x(B)f(x)|x|；2(C)f(x)1x2；2(D)f(x)x2x1。11、函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)f

34、'(x)0是函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加的(A)必要但非充分條件;(C)充分必要條件；(B)(C)充分但非必要條件;無關(guān)條件。12、設(shè)yf(x)是滿足微分方程y'esinx0的解，且f'(x0)0,則f(x)在()(A)xo的某個(gè)鄰域單調(diào)增加;(B)xo的某個(gè)鄰域單調(diào)減少;(C)x0處取得極小值;(D)xo處取得極大值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限limx1一arccosx(2)lncotxlim;xxsinxeelim;x0xln(1x)(4)0lnx11limx0xxln(1x)；xarctanxlim3;x0x3(6)lntan(ax)lim。x0lntan

35、(bx)2、證明以下不等式(1)、設(shè)b(2)、當(dāng)0x一時(shí)，有不等式tanx22sinx3x。3、已知ysinx,利用泰勒公式求y(6)(0)。4、試確定常數(shù)a與n的一組數(shù)，使得當(dāng)x0時(shí)，axn與ln(1x3)x3為等價(jià)無窮小。5、設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo)，試證存在(a.331babaf(a)f(b)223f()f()。6、作半徑為r的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時(shí)，其體積V最小，并求出該體積最小值。7、若f(x)在0,1上有三階導(dǎo)數(shù)，且f(0)f(1)0,設(shè)F(x)x3f(x),試證：在(0,1)內(nèi)至少存在一個(gè)，使F"'()0。、填空題1、2、3、4、5、6、7、第三單

36、元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答0limxlnxx0limx0lnx!f(x)20f(x)24x2sinx012x3令f(x)0X0,x22當(dāng)x2時(shí),極大值為(1,1)y(x)0；當(dāng)f(2)204x312x3,當(dāng)x1時(shí)，y0.當(dāng)x曲線在（1,1）上是凸的11x2工x42!4!(1)mlim(x)0x0f(x)在(12x2(x2時(shí)，f12x2）上單調(diào)增2)(x)121,1)時(shí),y12mx(2m)!,2223x3x3x(,e)ye3xee333xy3e(1而當(dāng)xf(x0)3x)3e3x3x/八e(9x12(x1)(x1)x(1,）時(shí)，y0(13x),6)9e3x(x二)3f"(x。

37、)2g一時(shí)，y30;22拐點(diǎn)為（一,一e332)limf(x)f(x0)xx0xx0lim小x%xx0f(x)xXo當(dāng)xX0時(shí),f(Xo)0,f(x)單調(diào)增加；當(dāng)xXo時(shí)，f(x)0,f(x)單調(diào)減少8、y3x220,)上單調(diào)增加9、10、11、12、又limyxlimyx)內(nèi)有i個(gè)零點(diǎn)。1一原式lim6x0cosx(xsinx).2xsinxxsinxlimcosxlim；x0x0x3lim1cosx3x21tanxx一原式=lim23x0xtanxlxm0tanxx2secx1lim2-x03x1lim3x0,2tanx2-x.22xx2(-2-<2-)y'2xex2.2x(

38、Tf)時(shí)y"0，上凸'(0,)且y'ex二、選擇題1、選(C)2、選(B)2x22x)2e令y"其它區(qū)間y"函數(shù)yexx1的定義區(qū)間為(1,因?yàn)樵?0,)內(nèi)丫'0,所以函數(shù)0,上凹，故應(yīng)填入(),在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo),x1在(0,)上單調(diào)增加。lxm0f(x)x2x1,、,(_,1)時(shí),2limfLJx02xf(x)0,又f_1，一f(x)在(-,1)上單調(diào)減且為凹的。3、選(D)f(x)x3,則f'(0)f"(0)0,則f'(0)f"(0)0,而x0是f(x)(x)2(x)4x1x0是f(x)4x的極

39、值點(diǎn)。4、選(C)由f(x)在(a,b)內(nèi)f(x)0的充分必要條件是在，1、C4(x)0x43x的拐點(diǎn)；設(shè)f(x)(a,b)內(nèi)f(x)C(C為常數(shù))，又因?yàn)閒(x)在a,b內(nèi)連續(xù)，所以Cf(a),即在(a,b)上f(x)f(a)。5、選(C)由f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)01M0上)單調(diào)減少，x(a,b)g(x)g(x)f(x)f(a).g(x)f(b)6、選(D)令f(x)x33x1,則f(x)3x233(x1)(x1)；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0,f(x)單調(diào)增加，當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)0,f(x)單調(diào)減少當(dāng)x(1,)時(shí)，f(x)0,f(x)單調(diào)增加.而f

40、(1)3,f(1)1limf(x),limf(x)xxf(x)在(，1)上有一實(shí)根，在1,1上有一實(shí)根，在(1,)上有一實(shí)根。7、選(D)利用極限的保號(hào)性可以判定f(x)的正負(fù)號(hào)：-1 mo HXf(x)cosxf(x)1 cosx0 (在x 0的某空心鄰域)；由1cosx0,有f(x)0f(0),即f(x)在x0取極小值。8、選(B)由極限的保號(hào)性：lim上二區(qū)10f30(在x0的某空心鄰域)；由此f"(x)0(在x0|x|x|x0的某空心鄰域)，f'(x)單調(diào)增，又由f'(0)0,f'(x)在x0由負(fù)變正，由極值第一充分條件，x0是f(x)的極小點(diǎn)。9、選

41、(B)由羅爾定理保證至少存在一點(diǎn)(a,b)使f'()0。10、選(C),A選項(xiàng)f(x)在x0不連續(xù)，B選項(xiàng)f(x)在x0處不可導(dǎo)，D選項(xiàng)f(1)f(1)。3.11、選(B),如yx在(,)單增，但f'(0)0,故非必要條件。12、選(C),由 f'(X0)0有 y"(X0) esinx0y'(x0)esinx00,所以f(x)在X0處取得極小值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算極限(1)解：lim arccosxx 1(2)解:解:(4)解:解:(6)解:limx 1ximlim12、arccosx12、x 1ln cotxIn xlimcotxx sin x e

42、 ex2 ln(1limx)x)x arctanxlimlimx 11.arccosxcsc2 x)sin x x sin x (e3xlimln(1-2xlimx sin xcosx sin1。1)x)1lim 一x 00 3x12 x22 x23x2(1x sin x3x1_x2xx2)尸01 cosx3x22(1 x)ln tan(ax)ln tan(bx)limtan(ax)12/sec (ax) atan(bx)2八sec (bx) blimx 0tan(bx)sec2 (ax) a2tan(ax) sec (bx) bX1bxsec2(ax)a/lim21x0axsec(bx)b2

43、、(1)證明：abbablnaalnb令f(x)xlnaalnx,則f(x)在a,b上連續(xù)af(x)lna0xa,bxf(x)在a,b上單調(diào)增加，f(b)f(a)得blnaalnbalnaalna0,即abba(2)令f(x)tanx2sinx3x在x(0,)時(shí)2f(x)2secx2cosx31cosxcosxcosx133cos,cosxcosx30x3、解:4、解:f(x)f(x)在0,-)上單調(diào)增5、即證:(0,2)f(x)f(0)即tanx2sinx3x泰勒公式f(x)3而sinxx3!對(duì)比x6f(0)5x5!(0)xf(0)2x2!f(n)(0)n!xno(xn)1)m2m11x(2m1)!o(x2m)一一4sinxx的導(dǎo)數(shù)