橢圓地幾何性質(zhì)知識點歸納及典型例題及練習(xí)

1、（一）橢圓的定義:1、橢圓的定義：平面與兩個定點Fi、F2的距離之和等于定長（大于 IRF2I）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點 Fi、F2叫做橢圓的 焦點，兩焦點的距離IRF2I叫做橢圓的 焦距。對橢圓定義的幾點說明：（1） “在平面”是前提，否則得不到平面圖形（去掉這個條件，我們將得到一個橢球面）；（2） “兩個定點”的設(shè)定不同于圓的定義中的“一個定點”，學(xué)習(xí)時注意區(qū)分；（3） 作為到這兩個定點的距離的和的 “常數(shù)”，必須滿足大于| FiF2|這個條件。若不然， 當(dāng)這個“常數(shù)”等于| FiF2|時，我們得到的是線段 F1F2；當(dāng)這個“常數(shù)”小于| FiF2|時，無 軌跡。這兩種特殊情況，同學(xué)

2、們必須注意。（4）下面我們對橢圓進(jìn)行進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)它本身具備對稱性，有兩條對稱軸和一個對稱中心，我們把它的兩條對稱軸與橢圓的交點記為A, A2，Bi, B2，于是我們易得| AiAz|的值就是那個“常數(shù)”，且|B2F2|+|B 2Fi|、|BiF2|+|B iFi|也等于那個“常數(shù)”。同學(xué)們想一想 其中的道理。（5）中心在原點、焦點分別在x軸上，y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為:2 2 2 2i （a b 0）,77 i （a b 0）,a ba b相同點是：形狀相同、大小相同；都有a > b > 0， a2 c2 b2。不同點是：兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不同（

3、第一個橢圓的焦點坐標(biāo)為（一c, 0）和（c, 0）,第二個橢圓的焦點坐標(biāo)為（0, c）和（0, c）。橢圓的 焦點在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項的分母較大。（二）橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的幾何性質(zhì)可分為兩類：一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點、焦點、中心坐標(biāo)； 一類是與坐標(biāo)系無關(guān)的本身固有性質(zhì)，如長、短軸長、焦距、離心率.對于第一類性質(zhì)，只2 2要X2 每 i （a b 0）的有關(guān)性質(zhì)中橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y互換，就可以得出 a b2 222 i （a b 0）的有關(guān)性質(zhì)。總結(jié)如下：a b方程嚴(yán) + 召 h1¥LJfjI 0A儀0SinKt曲 1對稱+

4、T關(guān)丁片軸加曼標(biāo)靡虛那稱黃于r軸y軸，坐標(biāo)陽點對稱U點Ai f u j )C a iO)Af (Op Jci)幾點說明:(1) 長軸：線段 AiA，長為2a ；短軸：線段 B1B2，長為2b ；焦點在長軸上。(2) 對于離心率e,因為a>c>0，所以0<e<1,離心率反映了橢圓的扁平程度。l21由于e Ji 2 ，所以e越趨近于1， b越趨近于0，橢圓越扁平；ea a . a越趨近于0，b越趨近于a，橢圓越圓。(3)觀察下圖，|OB2| b,|OF2| c，所以|B2F2| a，所以橢圓的離心率 e = cos/ O缶(三) 直線與橢圓:直線 I : Ax By C0

5、( A、B不同時為0)2 2橢圓 C :2 1 (a b 0)a b那么如何來判斷直線和橢圓的位置關(guān)系呢？將兩方程聯(lián)立得方程組,個數(shù)來判斷直線和橢圓交點的情況。方法如下：通過方程組的解的Ax By C 022 a消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，化簡后形式如下mx2 nx p 0(m0) ,n2 4mp(1) 當(dāng)0時，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個交點；(2) 當(dāng)0時，方程組有一解，直線與橢圓有一個公共點(相切)(3) 當(dāng)0時，方程組無解，直線和橢圓沒有公共點。注：當(dāng)直線與橢圓有兩個公共點時，設(shè)其坐標(biāo)為A(x,y,),B(x2,y2)，那么線段AB的長度(即弦長)為|AB| (為X2)2 (

6、% y2)2，設(shè)直線的斜率為k，可得：|AB| (為X2)2 k(% X2)2.1 k2 | x-j X21，然后我們可通過求出方程的根或用韋達(dá)定理求出。典型例題一例1橢圓的一個頂點為 A 2,0，其長軸長是短軸長的 2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置.解：(1 )當(dāng)A 2,0為長軸端點時，a 2 , b 1,2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 1;41(2)當(dāng)A 2,0為短軸端點時，b 2 , a 4,2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1;416說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個， 給出一個頂點的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.典型例題二例2 一個橢圓

7、的焦點將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率.2 a12 22c2 - 3c ac3解:說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比二是列含a和c的齊次方程，再化含 e的方程，解方程即可.典型例題三例3已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與直線 x y 10交于A、B兩點，M為AB中點，0M的斜率為0.25，橢圓的短軸長為 2，求橢圓的方程.解：由題意，設(shè)橢圓方程為y2 1,X由X2a，得2x22a2xkOMX2X12yMXMX22a-2a，yM1XMy21為所求.(1)此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；(2)直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦

8、中點、弦斜率問題.說明:典型例題四例4橢圓2X2591上不同三點 AX1,y1, B4, CX2,y 與焦點F4,0的距離5成等差數(shù)列.(1)求證X1x2(2)證明：(1)由橢圓方程知若線段AC的垂直平分線與x軸的交點為T，求直線BT的斜率k .3 C 4 .由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知:AF2aX1CAFHI 二 理 同卷4 )5CFAF CF 2BFx24- 55即x1x28.(2)因為線段 AC的中點為 4,，1 y2 ，所以它的垂直平分線方程為2yiy22XiX2yiy2又點T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為x0,O，代入上式，得Xo 42 2%y22 xix2又點A Xi, yi , B X2, y

9、都在橢圓上,2yi25252Xi292y225 x225229yiy2XiX2 Xi25X2將此式代入,并利用xi x28的結(jié)論得Xo3625kBT9542 5Xo 4例5已知橢圓典型例題五2i , Fi、F2為兩焦點，問能否在橢圓上找一點3M，使M到左準(zhǔn)線I的距離MN是MFi與MF2請說明理由.解：假設(shè)M存在，設(shè)Ma 2, b .3 , c i ,左準(zhǔn)線I的方程是x 4,又由焦半徑公式知:MF1MF2a ex-!212x1，a ex12122X例6已知橢圓一2分析一：已知一點求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k，利用條件求k 2MNMF1 MF2 ,x14 2212 x12丄捲2整理得5x12

10、32x1480 解之得x14或%125另一方面2x12 則與矛盾，所以滿足條件的點M不存在.說明：(1) 利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程.(2) 本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條 件進(jìn)行推理和運(yùn)算進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷.(3)本例也可設(shè)M 2cos , 3sin 存在，推出矛盾結(jié)論(讀者自己完成)典型例題六1 i1，求過點p 1 ,丄 且被p平分的弦所在的直線方程.2 21解法k x - 代入橢圓方程，并2設(shè)所求直線的斜率為 k，則直線方程為y 12整理得422.21 , 2 ,31 2k x 2k2k xk k0222k2 2k由韋達(dá)疋理得X

11、1X22 12k2P是弦中點，X1X21.故得k12所以所求直線方程為 2x 4y 30 分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為x-i,%、x2,y2,列關(guān)于x1、x2、y1、y2的方程組，從而求斜率：y1X1y2X解法二11：設(shè)過p 1212的直線與橢圓交于A X1, y1、B X2, y2 ,則由題意得2XL2y112T2y21X1X21y1y21.2 2一得X1X22y1y 0.2將、代入得企一少1，即直線的斜率為1.Xi x222所求直線方程為2x 4y 30 .說明：(1) 有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點 軌跡；過定點的弦中點軌跡.(2) 解法二是“點差法”，

12、解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率.(3) 有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點差法” 有關(guān)二次曲 線問題也適用.典型例題七求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)長軸長是短軸長的 2倍，且過點 2, 6 ；(2)在X軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6.分析：當(dāng)方程有兩種形式時，2X應(yīng)分別求解，如(1)題中由a2丄b21 求出 a2148 ,2Xb 37，在得方程2y_148371后，不能依此寫出另一方程2y1482X37解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2X2a2 y b2由已知a 2b.又過點2,6，因此有22a621或上a22孑1由、，得a2148,2

13、2 2b 37或a 52 , b13 故所求的方程為2x1482y3721或522x13(2)設(shè)方程為2x2a2 y b21 由已知，c 3, bc 3，所以a218 故所求方程2為y- 1.189說明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是"選標(biāo)準(zhǔn)，關(guān)鍵在于焦點的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程2 2xy2. 2ab典型例題八2例8橢圓162話 1的右焦點為F，過點A1, 3，點M在橢圓上，當(dāng)AM| 2MF為最小值時，求點M的坐標(biāo).1分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率 e ，把2MF|轉(zhuǎn)化為M到右準(zhǔn)線的距離，從而得1AM - MF均可用此法.e最小值.一般地，求以 M 2.3,. 3 .1說

14、明：本題關(guān)鍵在于未知式|AM| 2MF|中的“ 2”的處理事實上，如圖， e , 即MF|是M到右準(zhǔn)線的距離的一半， 即圖中的MQ，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點 M，使M到A的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值.典型例題九2例9求橢圓y21上的點到直線x y 60的距離的最小值.3分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程， 由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值.解：橢圓的參數(shù)方程為x3cos '設(shè)橢圓上的點的坐標(biāo)為43 cos ,sin，則點到y(tǒng)sin .直線的距離為dJ3 cossin62sin 36當(dāng)sin1時，d最小值 2 2 .3說明：當(dāng)直接設(shè)點的坐標(biāo)不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方

15、程.典型例題十3例10設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在 x軸上，離心率e，已知點P 0 到2 '2這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是 -.7，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點P的距離等于 7的點的坐標(biāo).分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求d的最大值時，要注意討論b的取值圍此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善 于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強(qiáng)等價轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力.2 2解法設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是務(wù)% 1，其中a b 0待定.a bb212可得a2 2由e2a b2a1，即 a 2b .2.2223

16、2 /2y29dxy -a 1.2y3y -29b4214b23y2 3y3 y4b2 342其中by b .12如果b ，則當(dāng)y b時，d2 （從而d ）有最大值.由此得b . 7，與b 1矛盾.2 2 2因此必有b 1成立,于是當(dāng)y 1時，d2 （從而d ）有最大值.2由題設(shè)得,74b23，可得 b 1, a 2.所求橢圓方程是x22 y-i.i1-及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點21到點23P 0,的距離是 7 .2解法二：根據(jù)題設(shè)條件,可取橢圓的參數(shù)方程是acosbsi n，其中a0，待定，為參數(shù).由e22 c2 a2可得a設(shè)橢圓上的點d2 x24b213.1 e2122 a到點P0號

17、2 a cos2b.的距離為bsi n3b2si n23bsi n-14b- 3-b3b- sin如果-b由題設(shè)得1-，則當(dāng)sin1 時，d-2，由此得b . 7（從而d）有最大值.111，與b矛盾，因此必有1-b成立.rZ曰、【/-于疋當(dāng)sin-b時d-（從而d）有最大值.4b-所求橢圓的參數(shù)方程是x -cosy sin由sin1,cos-，可得橢圓上的是-典型例題十例11-x- 3y- 6x，求 x- y-x的最大值和最小值.分析:本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程- -x 3y 6x與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致.設(shè)x- y- -x m，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān) 系

18、求得最值.解：由-x- 3y- 6x，得-3x -93可見它表示一個橢圓，其中心在，0點，焦點在x軸上，且過（0, 0）點和（3, 0）-占八、設(shè) x- y- -x m，貝Ux 1 - y- m 1它表示一個圓，其圓心為（一 1, 0）半徑為、m 1 m在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示.觀察圖形可知，當(dāng)圓過（0,0）點時，半徑最小，即 m 11，此時m 0;當(dāng)圓過（3,0）點時，半徑最大，即 m 14，二 m 15 . x22y 2x的最小值為0，最大值為15.典型例題十二例122x已知橢圓C：ra2 y b20 , A、B是其長軸的兩個端點.（1）過一個焦點F作垂直于長軸的弦PP，求證：

19、不論a、b如何變化,APB 120 .（2）如果橢圓上存在一個點Q，使AQB 120，求C的離心率e的取值圍.分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從APB和 AQB的正切值出發(fā)做出估計，因此要從點的坐標(biāo)、斜率入手.本題的第（2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率e滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：a , y b，根據(jù) AQB 120得到2ay-222x y a2a 2 y代入，消去x，用a、b、c表示y ,以便利用y b b列出不等式.這里要求思路清楚,計算準(zhǔn)確，一氣呵成.解：（1 ）設(shè)Fc,0 ,a,0,B a,0 .x cb2x2a2b2Pega是kAPb2，kBPa c ab2APB是A

20、P到BP的角.b2b2- tanAPBa c a a c a2a22 c1 2 T 2a c a 22-ac tanAPB2故 tanAPB3APB 120(2)設(shè) Q x, y ,則 kQA , kQBx a由于對稱性，不妨設(shè) y 0,于是AQB是QA到QB的角.y tan AQB -1 -yx a2_y2x22ay2yxAQB120 ,2ayx2y2a2.3整理得,3x2a22ay 0 ya22ay- y2ab23c2 y2ab2 3c22ab4a ac23c2 4c44a2c2 4a4c 4,23e 4eI 或 e22(舍),典型例題十三2 2例i3已知橢圓'k 891i的離心率

21、e ,求k的值.2分析：分兩種情況進(jìn)行討論.解:當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，a22i,b 9'得c k i由e 丁得k 4.當(dāng)橢圓的焦點在 y軸上時,9 , b2k 8，得 c2i k .滿足條件的k 4或k因為 k 8與9的大小關(guān)系不定，所以橢 y軸上.故必須進(jìn)行討論.例142已知橢圓二4b2 y b21上一點P到右焦點F2的距離為b (b 1)，求P到左準(zhǔn)線的距離.分析:利用橢圓的兩個定義,或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解.解法一：由2x4b2訂3得 a 2b , c 3b , e 32由橢圓定義,PFi 4bPFiPF2由橢圓第二定義,PFi-diePF24bPFidi2、3b

22、,2a 4b，得di為P到左準(zhǔn)線的距離,54 .說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是: 圓的焦點可能在x軸上，也可能在典型例題十四即P到左準(zhǔn)線的距離為 2,3b.解法二：/ -e, d2為P到右準(zhǔn)線的距離, d2d2PF2-2力bj 2e32又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為 2 c趣b3 P到左準(zhǔn)線的距離為 8 b 2 b 2.3b3 3說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會產(chǎn)生誤解.橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征， 解題時要靈活選擇，運(yùn)用自如.一般地, 如遇到動點到兩個定點的問題， 用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題， 貝U用 橢圓的第二定義.典型例題十五

23、x 4 cos ,例15設(shè)橢圓（為參數(shù)）上一點P與x軸正向所成角POx ，求y 23si n .3P點坐標(biāo).分析：利用參數(shù) 與 POx之間的關(guān)系求解.解：設(shè)P（4cos , 2 3sin ），由P與x軸正向所成角為，32 . 3sin4 cos，即 tan而 sin0, cos0 ,由此得到cos、5.,sin52、55利用橢圓第二定義,可將橢圓上點到焦點的距離轉(zhuǎn)化解：P點到橢圓的左準(zhǔn)線I: xPQ2 a Xoc由橢圓第二定義,PF!PQP點坐標(biāo)為（口，口）.55分析：本題考查橢圓的兩個定義, 為點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離. A ePQ a exo，由橢圓第一定義，q 2a匚 a ex。.說明：本題求證

24、的是橢圓的焦半徑公式, 題時，有著廣泛的應(yīng)用.請寫出橢圓焦點在在解決與橢圓的焦半徑（或焦點弦）的有關(guān)問 y軸上的焦半徑公式.典型例題十七標(biāo).是目標(biāo)函數(shù)當(dāng),分析：本題考查橢圓中的最值問題， 通常探求變量的最值有兩種方法：即代數(shù)方法.二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法.本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解 決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解.解：如上圖，2a 6 , F2（2,0） , AF2I 42，設(shè)P是橢圓上任一點，由PF, PF2 2a 6,PA PF2 AF2,PAI PF,PF,PF2AF22aAF26 <2，等號僅當(dāng)PA PF?AF?時成立，此時P、A、F2

25、共線.由 PAPF2AF2, PAPF,PF,PF2AF22aAF26V 2，等號僅當(dāng)PA PF2 AF2時成立，此時P、A、F2共線.x y 20,建立A、F2的直線方程x y 2 0，解方程組22得兩交點5x 9y 45p,（9電5 %、p（9匹血,5些應(yīng)）.7474747 ,4綜上所述， P點與p重合時， PA PF,取最小值6 J2 , P點與P2重合時， PA PF2取最大值6 J2 .（2）如下圖，設(shè)P是橢圓上任一點，作PQ垂直橢圓右準(zhǔn)線，Q為垂足，由a 3, c 2 ,2PF,23e 一 .由橢圓第二定義知e ,PQPF23PQ323PA -|PF2PA PQ，要使其和最小需有

26、A、P、Q共線，即求 A到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為 x -.2 A到右準(zhǔn)線距離為 7 此時P點縱坐標(biāo)與 A點縱坐標(biāo)2相同為1，代入橢圓得滿足條件的點P 坐標(biāo)（6 5,1） 51說明：求pa -PF?的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過A向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段巧e用焦點半徑PF2與點準(zhǔn)距PQ互化是解決有關(guān)問題的重要手段.典型例題十八例182 2(1)寫出橢圓L941的參數(shù)方程;(2)求橢圓接矩形的最大面積.分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用.為簡化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題.”x 3cos解:（1）y 2sin（ R）(2)設(shè)橢圓接矩形面積為

27、S，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設(shè)(3cos ,2sin )為矩形在第一象限的頂點，(0-),則 S 4 3cos2sin12sin 212故橢圓接矩形的最大面積為 12 說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便.典型例題十九例19已知F1 , F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且F1PF2 60 (1)求橢圓離心率的取值圍；(2)求證 PF1F2的面積與橢圓短軸長有關(guān).分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為2 2xy221（ a b 0）, P（x1 , y1） （ y10 ） a b思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條

28、直線的夾角公式，即tan60 蘭理 仏 3，設(shè)1 Kpf2 Kpf1P(Xi,yJ , F, c,0) , F2(c,0),化簡可得，3x/ .、3yj 2c% .3c2 0 .又2 2篤 爲(wèi) 1，兩方程聯(lián)立消去xi2得、3c2yi2 2b2cyi . 3 b4 0，由yi (0, b，可以 a b確定離心率的取值圍；解出y1可以求出 PF1F2的面積，但這一過程很繁.思路二：利用焦半徑公式PF1ae，PF2aex,，在PF1F2中運(yùn)用余弦定理，求X1，再利用X1 a , a，可以確定離心率e的取值圍，將為代入橢圓方程中求 y1，便可求出 PF1F2的面積.思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合

29、PF1PF22a求解.2 2解:(法1)設(shè)橢圓方程為篤爲(wèi) 1 (a ba b 0), P(x , yj , F, c , 0) , F2(c,0),則PF1a ex1,PF2 a exi.在 PF1F2中，由余弦定理得cos60221 (a exj(a ex1)22(a4c2exj(a exi)'2解得X14c2 a23e2(1) x/(0,a2,2 2 0a2，即3e24c2a20.故橢圓離心率的取圍是 e,1).22將X12甘代入b22 b4y13?，即 y1.3c二 S pf/21 _ b222C 3c92 -即PR F2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).(法 2)設(shè) PF, m ,

30、PF2 n, PF2F,PF,F2則120(1)在 PF1F2中，由正弦定理得m n 2csin sin sin 60 m n2csin sin sin 60 m n 2a,. 2a2csin sin sin 60c sin60二 e -a sin sinsin 602sincos2 22cos2當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.在(2c)2PF1F2 中，由余弦定理得2mn cos 602 m2 n22mnmn(mn)23mn1故橢圓離心率的取值圍是e 丄，1).2m n 2a, 4c22424a 3mn，即 mn 3(ac2)養(yǎng).3S PRF213 2mnsin60 b .即PFi F2的面積與橢圓短軸

31、長有關(guān).說明：橢圓上的一點P與兩個焦點Fi, F2構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關(guān)焦點三角形問題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理.解題過變形，使之出現(xiàn)PF1 PF2的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義， 從而可得到有關(guān)a , c的關(guān)系式，使問題找到解決思路.典型例題二十例202橢圓篤ab21 (ab 0）與x軸正向交于點 A，若這個橢圓上總存在點使OP AP（ O為坐標(biāo)原點），求其離心率e的取值圍.分析：/ O、A為定點，P為動點，可以P點坐標(biāo)作為參數(shù)，把OP AP，轉(zhuǎn)化為P 點坐標(biāo)的一個等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的圍建立關(guān)于 a、b、c的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 的不等式為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用

32、橢圓參數(shù)方程.x a cos解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是(a b 0),y bsi n則橢圓上的點 P(a cos , bsin ), A(a , 0),/ OPAPbsi nbsina cosa cosa即（a22 2b )cosa2 cos2b 0，解得cos 1 或 cosb2"Vcos 11 （舍去），1又b22 0a_2，c，又02說明:若已知橢圓離心率圍（，1），求證在橢圓上總存在點2P使OPAP .如何證明？例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個焦點的坐標(biāo)分別是（一 4, 0）, （4, 0）,橢圓上一點P到兩焦點的距離的和等 于10;(2)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0，

33、 2), (0, 2),并且橢圓經(jīng)過點(一5 )；2(3)焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點 A (3，- 2)和B (-2 3 , 1)分析：根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點位置，后設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 即可。若判斷不出焦點在哪個軸上，可采用標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。,3，求出橢圓中的a、b解析：(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2a2y_ = 1(a>b>0)2a= 10, 2c = 8,. a= 5,b2 = a2 c2 = 52 42 = 9所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y25(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2X = 1 (a>b>0)由橢圓的定義知,

34、2a=(2)(22)2A。2. 10又c= 2,. b2= a2- c2= 10 4= 62所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y_102(3)解法一：若焦點在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為工=1 (a> b> 0)b2兩點在橢圓上可得:由 A ( . 3， 2)和 B ( 2 3， 1)(-3)2 ( 2)22a(2 3)22ab2b21解之得a215b25若焦點在y軸上，設(shè)所求橢圓方程為2=1 (a>b> 0),同上可解得b2a25b215 '不合題意，舍去。2故所求的橢圓方程為 Z5解法二：設(shè)所求橢圓方程為2y_ = 152 I2mx+ ny = 1(m>0, n&

35、gt;0 且n)。由A ( . 3 , - 2)和B (- 2 . 3 , 1)兩點在橢圓上可得m ( .3)2 n ( 2)212 2m ( 2 .3) n 111即3m 4n 1，解得口 15 12m n 11n _52 2故所求的橢圓方程為x_= 1155點評：(1 )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先應(yīng)明確橢圓的焦點位置，再用待定系數(shù)法求a、b。(2)第(3)小題中的橢圓是存在且惟一的，為計算簡便，可設(shè)其方程為mX+ ny2= 1(m>0, n> 0),不必考慮焦點位置，直接可求得方程.想一想，為什么？例2已知B、C是兩個定點，| BC = 6,且厶ABC的周長等于 16,求頂點A的

36、軌跡方程。分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點的軌跡方程， 要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，常常需要畫出草 圖。如圖所示，由厶ABC勺周長等于16, | Bq = 6可知，點A到BC兩點的距離的和是常數(shù)，即 |AB + |Aq = 16-6= 10,因此，點 A勺軌跡是以B C為焦點的橢圓，據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫出草圖。解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，使 x軸經(jīng)過點B C,原點O與BC的中點重合。由已知 |AB + |AC + | BQ = 16, |BC = 6，有 |AB + | AC| = 10,即點 A 的軌跡是以 B、C 為焦點的橢圓，且 2c = 6, 2a = 10,2 2 2

37、c= 3, a= 5, b = 5 3 = 16o由于點A在直線BC上時，即y= 0時，A B、C三點不能構(gòu)成三角形，所以點 A的軌跡方程2 2是丄匕=1 (y豐0)o25 16點評：橢圓的定義在解題中有著廣泛的應(yīng)用，另外，求出曲線的方程后，要檢查一下方程的曲線上的點是否都符合題意， 如果有不符合題意的點，應(yīng)在方程后注明，常用限制條件 來注明。. . . . 2 2 . - 2 2例3 動圓與已知圓 O: (x + 3) + y = 1外切，與圓 O: (x 3) + y = 81切，試求動 圓圓心的軌跡方程。分析：兩圓相切時，圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，可以找到動圓圓心滿足的條件。解析：

38、兩定圓的圓心和半徑分別為 O ( 3, 0), r 1 = 1; O (3, 0),2= 9設(shè)動圓圓心為M(x, y),半徑為R則由題設(shè)條件可得|MO = 1 + R, |MO = 9 R | MO + | MO = 10由橢圓的定義知：M在以O(shè)、O為焦點的橢圓上，且a= 5 , c = 3。 .2 2 2 b = a 一 c = 25一 9= 162 2故動圓圓心的軌跡方程為 乂 仏=1o25 16點評：正確地利用兩圓切、外切的條件，合理地消去變量R運(yùn)用橢圓定義是解決本題的關(guān)鍵，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。2例4已知P是橢圓L252y = 1上的一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，且/ FP=

39、30°，求16 PFF2的面積。分析：如圖所示，已知/ P= 30° ,要求 PFF2的面積， 如用1 | FF2| |yp|，因為求P點坐標(biāo)較繁，所以用S =21 |PF| -| P| -sin30 ° 較好，為此必須先求出 | PF| -| PF|，2從結(jié)構(gòu)形式可看出用余弦定理可得出夾30 °角的兩邊的乘積。2解析：由axx設(shè) P （X1, y1）,2ba bX1+ X2 =by 1 得（a+ b） x2 2bx+ b 1 = 0 y 1Q （X2, y2）,貝U,X!X2 = a b2 2解析：由方程乞乞=1,得a= 5, b= 4,25 16c=

40、 3,. | F1F2I = 2c = 6|PF| + | PF = 2a= 10/ RPF= 30°在厶 FFF中，由余弦定理得 廳問2 = |PF|2 + |PF|2 2| PF| | P| cos30即 62= | PF| 2+ 2| PF| I PFF + | PF| 2 2| PF| | PF| 罷 | PF| T PFF2（2+ 血）| PF| | PF| =（ | PF| + | PF ） 36= 100 36= 64,64|PF| |PR| = 6 = 64 （2力）23F1PF2 S f1pf2 =IPFI |PF| sin30 ° = 1 64 （2方）

41、 1 = 16 （2閃）2 2 2例5橢圓ax2 + by2= 1與直線x + y = 1相交于P、C兩點，若| PQ = 2 2，且PC的中點C與橢圓中心連線的斜率為 2，求橢圓方程。2a、b之值即可分析：該題是求橢圓方程，即利用題設(shè)中的兩個獨立條件，求出,2b ）2a b|PQ = . 1 12（x1 x2）2 4x1x22 、（=2 寸21 a b ab ? 2 a b ab = a+ b 又PQ勺中點C (b,i - b)，即C(b , a )ababa b a ba2koc= a ba由得a= i , b=、2bb233a b所求橢圓方程為蘭 ' 2亍=i3 3例6中心在原點

42、的橢圓 C的一個焦點是F (0, J50)，又這個橢圓被直線I : y= 3x 2截 得的弦的中點的橫坐標(biāo)是 1，求該橢圓方程。2分析：本題中涉及到弦的中點及弦所在直線的斜率，故可采用“平方差法”。2 2解析：據(jù)題意，此橢圓為焦點在 y軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓，設(shè)其方程為jL = 1 (a>b2 .2a b> 0)設(shè)直線I與橢圓C的交點分別為A (X1, yi), B( X2, y2),貝U有：2 2 2 2 yiXi = i, yX2iabab兩式相減得：iVi一y2)(yi一也2a. yi ya2(Xi x?)Xi X2b2(yi y2)2 .即 3 = a一i一 a2= 3b22

43、b ( i)又因為橢圓焦點為F ( 0,50)則 a2 b2 = 50由解得：a2= 75, b2= 252 2該橢圓方程為仝£ = i(XiX2)(Xi例7設(shè)P是橢圓2X2a2y_b2i (a> b>0)上的一點，F(xiàn)i、F2是橢圓的焦點,且/ FiPF=90求證：橢圓的離心率e 二2.75 25證明： P是橢圓上的點，F(xiàn)、F2是焦點，由橢圓的定義，得| PF|+| PF|=2a在Rt FiPB中，| PF, |2 | PF2 |2 | F.F2 |2 (2c)2 4c22222由，得 | PFi |2| PFi | PF2 | PF2 | 4a|PF| | PFJ=2

44、(a2-c2)由和，據(jù)韋達(dá)定理逆定理，知|PF| |PR|是方程z2-3az+2 (a2-c2) =0的兩根,2 2 2則厶=4a 8 (a c )0,.( £) 2 > 1，即 e>-a 221. 如果方程x2 + ky2= 2表示焦點在A. (0,+)C. (1,+)22. 已知橢圓x25B.D.y軸上的橢圓，那么實數(shù) k的取值圍是(0, 2)(0,1)a V n =,則厶A. 1023橢圓jL2= 1,9Fi、F2分別為它的兩焦點，過 Fi的焦點弦CD! x軸成角(0 vF2CD勺周長為B. 122= 1C. 20D.不能確定的一個焦點為F1,點P在橢圓上，如果線段

45、PF的中點M在y軸上，那么12點M勺縱坐標(biāo)是A. ±3B.424.設(shè)橢圓045| PF|等于=120± 32的兩焦點分別是C. ± _24F1和F2, P為橢圓上一點，并且 PF丄PR,則| PF|B. 2 .5D. 2、55.直線y = x與橢圓A. 2B.2I+V=44、51相交于AB兩點,則| AB等于C. 4 1052壬 =1上一點，F(xiàn)1、F2是其焦點，且/ FPFa= 60°，則 RPR的面 6410.11.26. 點P是橢圓丄100積為。7. ABC勺兩頂點B( 8, 0), C(8, 0), A(邊上的中線BM與AB邊上的中線CN勺長度之和

46、為30,則頂點A的軌跡方程為。8. F1、F2為定點，|RF2| = 6,動點M滿足|MF| + | MF| = 6，則M點的軌跡是 9. 以兩坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點P ( 3 , 4)和Q ( 4 , 3),則此橢圓的方程是552 2在橢圓 L L = 1，過點(2, 1)且被這點平分的弦所在的直線方程是 164 ABC勺兩個頂點坐標(biāo)分別是 B( 0, 6)和C( 0, 6),另兩邊AB AC勺斜率的乘積是-4，求頂點A的軌跡方程。912.在面積為1的厶PM中，tanM= 1 , tan N= 2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以 M N為2焦點并且過點P的橢圓方程。參考答案2y2 = 1,又焦點

47、在y軸上,k2x1. 解析：將方程x2+ ky2 = 2化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 2 >2，解之得 0<k<1。k2. 解析：由橢圓方程知 a= 5, |CF| + |CF| = 2a = 10, | DF1| + | DF| = 2a = 10,則厶 F2CD 的周長 | F2C| + | F2D| + I CD = | CFI + I CF| + I DF| + | DF>| = 10+ 10 = 20。3. 解析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程易知c =3,不妨設(shè)F1( 3,0)、F2(3, 0),因為線段PF的y = 1 解得 yp=±3，故 M點縱322中點在y軸上，由中點坐標(biāo)公式知 xp= 3,由橢圓方程12I坐標(biāo)為土3。44. 解析：從方程中可得 a= 3 5 , b= 2 5 , c= 52|PF| +1 PF = 2a= 6亦，( |P