應(yīng)變狀態(tài)分析

1、第三章 應(yīng)變狀態(tài)分析內(nèi)容介紹本章討論彈性體的變形，物體的變形是通過應(yīng)變分量確定的。因此，首 先確定位移與應(yīng)變分量的基本關(guān)系幾何方程。 由于應(yīng)變分量和剛體轉(zhuǎn)動都是通 過位移導(dǎo)數(shù)表達(dá)的， 因此必須確定剛體轉(zhuǎn)動位移與純變形位移的關(guān)系， 才能完全 確定一點(diǎn)的變形。對于一點(diǎn)的應(yīng)變分量，在不同坐標(biāo)系中是不同的。因此，應(yīng)變狀態(tài)分析 主要是討論不同坐標(biāo)軸的應(yīng)變分量變化關(guān)系。這個關(guān)系就是應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公 式；根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可以確定一點(diǎn)的主應(yīng)變和應(yīng)變主軸等。當(dāng)然，由于應(yīng)變分量 滿足二階張量變化規(guī)律，因此具體求解可以參考應(yīng)力狀態(tài)分析。應(yīng)該注意的問題是變形協(xié)調(diào)條件，就是位移的單值連續(xù)性質(zhì)。假如位移 函數(shù)不是基本未知量

2、， 由于彈性力學(xué)是從微分單元體入手討論的， 因此變形后的 微分單元體也必須滿足連續(xù)性條件。 這在數(shù)學(xué)上， 就是應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié) 調(diào)方程。在彈性體的位移邊界，則必須滿足位移邊界條件。二 . 重點(diǎn)1. 應(yīng)變狀態(tài)的定義：正應(yīng)變與切應(yīng)變；應(yīng)變分量與應(yīng)變張量；2. 幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動；3. 應(yīng)變狀態(tài)分析和應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式；4. 應(yīng)變狀態(tài)特征方程和應(yīng)變不變量；主應(yīng)變與應(yīng)變主軸；5. 變形協(xié)調(diào)方程與位移邊界條件；知識點(diǎn)位移與變形 正應(yīng)變純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動位移 應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公 式主應(yīng)變齊次方程組 體積應(yīng)變變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程證明多連域的變形協(xié)調(diào)變形與應(yīng)變分量切應(yīng)變 幾何方程與應(yīng)變張量位移增量的

3、分解 應(yīng)變張量 應(yīng)變狀態(tài)特征方程 變形協(xié)調(diào)的物理意義變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義§ 3.1 位移分量與應(yīng)變分量 幾何方程學(xué)習(xí)思路 :由于載荷的作用或者溫度的變化， 物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化， 就是產(chǎn)生位移。 這一移動過程， 彈性體將同時發(fā)生兩種可能的變化： 剛體位移和變形位移。 變形位移是與彈 性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。彈性體的變形通過微分六面體單元描述，微分單元體的變形分為兩個部 分，一是微分單元體棱邊的伸長和縮短； 二是棱邊之間夾角的變化， 分別使用正 應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。由于是小變形問題，單元變形可以投影于坐標(biāo)平面分析。根據(jù)正應(yīng)變和切應(yīng)變定義，不 難得到應(yīng)變與位移的

4、關(guān)系幾何方程，或者稱為柯西方程。幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。 幾何方程可以表示為張量形式， 應(yīng)該注意的是， 正應(yīng)變與對應(yīng)應(yīng)變張量分量相等； 而切應(yīng)變等于對應(yīng)的應(yīng)變張量 分量的兩倍。幾何方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 位移函數(shù) ； 2. 變形與應(yīng)變分量 ； 3. 正應(yīng)變表達(dá)式 ；4. 切應(yīng)變分量 ； 5. 幾何方程與應(yīng)變張量 。由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化， 即產(chǎn)生位移。這個移動過程，彈性體將可能同時發(fā)生兩種位移變化。第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相 對位置不變，這種位移是物體在空間做剛體

5、運(yùn)動引起的，因此稱為 剛體位移 。第二種位移是彈性體形狀的變化， 位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位 置，而且改變了物體內(nèi)部各個點(diǎn)的相對位置， 這是物體形狀變化引起的位移， 稱 為變形。一般來說，剛體位移和變形是同時出現(xiàn)的。當(dāng)然，對于彈性力學(xué)，主要 是研究變形，因?yàn)樽冃魏蛷椥泽w的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)， 彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。 那么彈性體中某點(diǎn)在變形過程 中由M (x, y, z)移動至M' (x', y, z'),這一過程也將是連續(xù)的，如圖所示。wM9Cf-MCMCV在數(shù)學(xué)上，x', y , z'必為x, y, z的單值連續(xù)函數(shù)

6、。設(shè) MM'= S為位移矢量，其三個分量 u, v, w為位移分量。則u=x'（x，y，z） -x=u（x，y，z）v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）顯然，位移分量 u，v，w也是x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移 函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假設(shè)從彈性體中分割出一個微分六面體單元，其六個面分別與三個坐標(biāo)軸垂直。對于微分單元體的變形，將分為兩個部分討論。一是微分單元體棱邊的 伸長和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用 正應(yīng)變和切應(yīng)變表示 這兩種變形的。對于微

7、分平行六面體單元，設(shè)其變形前與 x，y，z坐標(biāo)軸平行的棱邊分 別為MA，MB，MC,變形后分別變?yōu)?M'A'，M'B'，M'C'。假設(shè)分別用表示x，y，z軸方向棱邊的相對伸長度，即正應(yīng)變;分別用xy yz zx表示X和y， y和Z，Z和X軸之間的夾角變化，即切應(yīng)變。則MrAf-MAg " MA ?& 二扌-"論。顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的 轉(zhuǎn)動，但我們討論的是小變形問題，這種轉(zhuǎn)動所帶來的影響較小。特別是物體位 移中不影響變形的計(jì)算，假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定， 則

8、這種微分線段的轉(zhuǎn)動的誤差是十分微小的， 不會導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯 的變化。首先討論Oxy面上投影的變形設(shè)ma, mb分別為MA, MB的投影，m'a', m'b'分別為M'A', M'B'，即 變形后的MA, MB的投影。微分單元體的棱邊長為dx, dy, dz, M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y, z), u (x, y, z), v(x, y, z)分別表示M點(diǎn)x, y方向的位移分量。則A點(diǎn)的位移為u(x+dx, y, z), v(x+dx, y, z), B點(diǎn)的位移為u(x, y+dy, z) , v(x, y+dy, z)。按

9、泰勒級數(shù)將A, B兩點(diǎn)的位移展開，并且略去二 階以上的小量，貝U A, B點(diǎn)的位移分別為因?yàn)樗酝砜傻胐v卽由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)微分線段的相對伸長度，即正應(yīng)變。顯然微分線段伸長，則正應(yīng)變x, y, ；z大于零，反之則小于零。以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。假設(shè)0yx為與x軸平行的微分線段ma向y軸轉(zhuǎn)過的角度，0xy為與y軸平 行的mb向x軸轉(zhuǎn)過的角度。則切應(yīng)變711T壯二廠乙二廠乙咖二0八耳因?yàn)閙'a'V + OX -Vdx + dxdx0vdx+盪 &c3x上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同 理可得護(hù)和為可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號的幾何意義為

10、：lyx大于零，表示位移V隨 坐標(biāo)x而增加，即x方向的微分線段正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表 達(dá)式，則dvdu同理可得dv? 3v8u 3w dz dx切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為du9vif*1氐,i澤dx3v9ll5 二+& dx上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程?？挛鞣匠探o出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位 移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；但是如果已知應(yīng)變，由于六個應(yīng)變分量對應(yīng)三個 位移分量，則其求解將相對復(fù)雜。這個問題以后作專門討論。幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。如果使用張量符號，則幾何

11、方程可以表達(dá)為上式表明應(yīng)變分量j將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與 工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為1-21-21 - 2§ 3.2純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動位移學(xué)習(xí)思路:應(yīng)變分量通過位移的偏導(dǎo)數(shù)描述了一點(diǎn)的變形，對微分平行六面體單元 棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。 但是這還不能完全描述彈性體的 變形，原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動。通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動位移 與純變形位移之間的關(guān)系。剛體轉(zhuǎn)動通過轉(zhuǎn)動分量描述。岡性轉(zhuǎn)動位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點(diǎn)沒有變形，貝U無限鄰近它 的任意一點(diǎn)的位移由兩部分組成， 平動位移和轉(zhuǎn)動位移。如果發(fā)生

12、變形，位移中 還包括純變形位移。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1.剛體轉(zhuǎn)動位移；2.轉(zhuǎn)動位移分量；3.純變形位移與轉(zhuǎn)動位移;4.位移的分解。應(yīng)變可以描述一點(diǎn)的變形，即對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之 間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形， 原因是應(yīng)變分 析僅僅討論了棱邊伸長和夾角變化， 而沒有考慮微分單元體位置的改變，即單元 體的剛體轉(zhuǎn)動。通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動位移 與純變形位移之間的關(guān)系。設(shè)P點(diǎn)無限鄰近0點(diǎn)，P點(diǎn)及其附近區(qū)域繞0作剛性轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過微小角度。設(shè)轉(zhuǎn)動矢量為CD, OP之間的距離矢量為，如圖所示。引入拉普拉斯算符矢量孔窘炸尹軟設(shè)p點(diǎn)的位移矢

13、量為u，有U = ui +uj +uk由于位移矢量可以表示為 U = dX',所以p-O0OVxAr = Vx(6*Xp)= (V -/>)w -(w V)P = 3<t» -(少 X + £D * 吆一)(xf + 方 + zfc) dx y 8y dz二 3 m (zyj + 億 k) = 2v>其中J d ¥V1 ,dw dv2 Sy dz1 ,du aw、1 z3v diL.G3v -(-),07.二(-)*2氐 &c，"2認(rèn)卽'X, - -y, - -Z為轉(zhuǎn)動分量，是坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體

14、的剛性轉(zhuǎn)動。設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），位移（u, v, w）。與M點(diǎn)鄰近的N點(diǎn)，坐標(biāo)為（x+dx, y+dy, z+dz）， 位移為（u+du，v+dv，w+dw）。則MN兩點(diǎn)的相對位移為（du，dv，dw）。因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所 以孤、1 ,3v du、.1加、+ )dz -(-Jay -(-)azaz2 dx oy 1 oz oxdu 1 .dvdu. t 1=ax +(+)dy + dx2 dxdy 2二g十”呼如+ ”少-叫如+哄同理可得冊二幻如氣&阿占+吆dx dw二務(wù)占+扌乙cbc + 扌弘如-以上位移增量公式中，前三項(xiàng)為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項(xiàng)是某點(diǎn) 鄰近區(qū)域的材料繞該點(diǎn)像剛體一樣轉(zhuǎn)動的剛性轉(zhuǎn)動位移。剛性轉(zhuǎn)動位移的物理意義為，如果彈性體中某點(diǎn)及鄰近區(qū)域沒有變形，則與某點(diǎn)無限鄰近這一點(diǎn)的位移， 根據(jù)剛體動力學(xué)可知，是由兩部分組成。分別 是隨這點(diǎn)的平動位移和繞這點(diǎn)的轉(zhuǎn)動位移。 對于彈性體中某一點(diǎn)，一般還要發(fā)生 變形，因此位移中還包括純變形位移?？偟脕碇v，與M點(diǎn)無限鄰近的N點(diǎn)的位移由